STATISIK LV Nr.: 1375 SS 2005 1.März 2005

Literatur Bleymüller, Gehlert, Gülicher: „Statistik für Wirtschaftswissenschaftler“, Verlag Vahlen Hartung: „Statistik. Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik“, Oldenburg Verlag München Wien

Einführung „Statistik“: Abgeleitet vom neulateinischen Begriff „status“ (Bed.: „Staat“, „Zustand“) 18. und 19. Jhdt: „Lehre von der Zustandsbeschreibung des Staates“ (Sammeln und verbales oder numerisches Beschreiben von Daten) Heute: im doppelten Sinne gebraucht Quantitative Informationen (z.B. Bevölkerungsstatistik) Formale Wissenschaft

Einführung Statistik befasst sich mit von (numerischen) Daten. Erhebung (Sammeln von Daten. Wie kommt man zu der benötigten Information?) Aufbereitung (Präsentation; Reduktion von Daten, wobei ein Großteil der Information erhalten bleiben soll; wenige Kenngrößen; einfache Grafiken) Analyse (Welche Schlüsse kann man ziehen? Allgemeine Aussagen basierend auf Stichproben?) von (numerischen) Daten.

Einführung Warum Statistik? Entscheidungshilfe z.B. 2 verschiedene Produkte – welches soll am Markt eingeführt werden? Tieferes Verständnis bei Problemen z.B. Welche Faktoren beeinflussen die Kaufentscheidung? Richtung des Einflusses?

Einführung Wie Statistik? Planung (Untersuchungsziel, Organisation, ...) Erhebung Befragung (schriftlich, mündlich) Beobachtung (in Wirtschaftswissenschaften selten) Experiment (v.a. Naturwissenschaften) Automatische Erfassung (z.B. Scannerkassen) Aufbereitung (Verdichtung der Daten) Analyse (deskriptive u. induktive Methoden) Interpretation

Deskriptiv - Induktiv Deskriptive Statistik beschreibende Statistik Beschreibung und Zusammenfassung Darstellung von Daten (Tabellen u. Grafiken) Kennzahlen (z.B. Mittelwerte, Streuungs-maße) Induktive Statistik schließende Statistik Von Stichproben auf Grundgesamtheiten Schätzer Tests Entscheidungstheorie Multivariate Methoden

Statistische Daten Von Interesse sind nie einzelne elementare Objekte (statistische Einheiten, Elemente) sondern immer Mengen von Elementen (statistische Gesamtheiten, statistische Massen). Reale und hypothetische Gesamtheiten z.B. Bevölkerung eines Staates, Menge der Ergebnisse eines theoretisch fortlaufend ausgespielten Würfels Endliche und unendliche Gesamtheiten

Statistische Daten Bestandsmassen (Streckenmassen): Objekte mit Lebensdauer Werden zu einem Zeitpunkt erfasst z.B. Einwohner Österreichs am 1.1.2005, Lagerbestand am 31.12.2004 Bewegungs- oder Ereignismassen (Punktmassen) Ereignisse Werden innerhalb einer Zeitspanne erfasst z.B. Geburten in Österreich im Jahr 2004, bei einer Bank eingegangene Schecks im April 2004

Statistische Daten Beziehung Bestands- und Bewegungsmasse: Für jedes Element einer Bestandsmasse stellt der Beginn und das Ende der Existenz ein Ereignis dar Fortschreibungsformel: Anfangsbestand + Zugang – Abgang = Endbestand Bestandsmasse Bewegungsmasse

Statistische Daten Angehörige der Massen: Merkmalsträger / Beobachtungseinheit (Personen, Objekte) Erhoben werden Werte von Merkmalen / Variablen (Merkmalsausprägungen) der Merkmalsträger (statistische) Population: Gesamtheit aller Beobachtungseinheiten Bsp: Haarfarbe = Merkmal, Person X = Merkmalsträger, blond = Merkmalsausprägung des Merkmals Haarfarbe des Merkmalsträgers X

Datenerhebung Vollerhebung Stichprobenerhebung Es werden Daten von allen Elementen der Population erhoben. Stichprobenerhebung Es werden Daten von einer Teilmenge (Stichprobe) der Population erhoben.

Datenerhebung Messen von Merkmalsausprägungen Kriterien für Messungen: Objektivität das zu ermittelnde Merkmal wird eindeutig festgestellt, Ergebnis ist unabhängig von der Person die misst Validität (Gültigkeit) Messinstrument misst was es messen soll Reliabilität (Zuverlässigkeit) Ergebnis der Messung wird exakt festgestellt, bei mehrmaligem Messen (approximativ) gleiches Ergebnis

Statistische Merkmale Qualitative Merkmale Messen durch Klassifikation (z.B. Geschlecht) Quantitative Merkmale Messen durch Zählen (z.B. Alter, Körpergröße) Diskrete Merkmale Messen mit ganzen Zahlen (z.B. Anzahl Familienmitglieder) Stetige Merkmale Messen mit reellen Zahlen (z.B. Körpergröße)

Merkmalsskalen Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Werte unterliegen keiner Rangfolge und sind nicht vergleichbar (z.B. Farbe, Geschlecht, ...) Ordinalskala Werte unterliegen einer Rangfolge, Abstände zw. verschiedenen Ausprägungen lassen sich nicht interpretieren (z.B. Schulnoten, Güteklassen, ...) Intervallskala Rangfolge, Abstände zw. verschiedenen Ausprägungen sind interpretierbar (z.B. Temperatur in Grad Celsius, Kalenderzeitrechung, ...) Verhältnisskala Rangfolge, interpretierbare Abstände, absoluter Nullpunkt (z.B. Körpergröße, Alter)

Merkmalsskalen Zulässige Transformationen (informationserhaltend) Nominalskala: symmetrische Transformationen nur Änderung der Klassenbezeichnungen Ordinalskala: streng monotone Transformationen x*=f(x) so dass für x1< x2 auch x1*< x2* Intervallskala: lineare Transformationen x*=ax + b (a > 0) Verhältnisskala: Ähnlichkeitstransformationen x*=ax (a > 0)

Empirische Verteilungen Häufigkeitsverteilung Beobachtete Daten, n Untersuchungseinheiten, Merkmal X k Merkmalsausprägungen (x1, ..., xk) j-te Untersuchungseinheit (j=1,...,n), Ausprägung xi (i=1,...,k) Liste der beobachteten Merkmalsaus-prägungen: Beobachtungsreihe oder Urliste

Empirische Verteilungen Absolute Häufigkeiten: hi = „Anzahl der Elemente, welche Merkmalsausprägung xi besitzen“, i=1,...,k hi  [0,n] und Σi hi = n (i=1,...,k) Relative Häufigkeit: fi = 1/n·hi fi  [0,1] und Σi fi = 1 (i=1,...,k) Vorsicht: Anzahl der möglichen Werte oft  Anzahl der tatsächlichen Werte

Empirische Verteilungen Diskrete Merkmale: Einzelwerte Stetige Merkmale: Klasseneinteilung In beiden Fällen werden Häufigkeiten gezählt. Sind xi Zahlen, werden sie ansteigend geordnet.

Darstellungsformen Tabelle Häufigkeitsverteilung

Darstellungsformen Grafik: Balkendiagramm für absolute und relative Häufigkeiten gleich – Skalierung der y-Achse

Darstellungsformen Grafik: Histogramm

Darstellungsformen Balkendiagramm: Abstand zwischen den Balken. Die Höhe stellt die Häufigkeit dar. Histogramm: Kein Abstand zwischen den Balken. Bei ungleich breiten Klassen ist die Fläche – nicht die Höhe – Maß für die Häufigkeit. Die Balkenhöhe entsteht durch Division von Häufigkeit und Klassenbreite (Höhe=hi/bi).

Darstellungsformen Tortendiagramm

Darstellungsformen Stetige Merkmale: Klassen bilden Klassengrenzen: x0, x1, ..., xk Häufigkeiten hi: Anzahl der Werte zwischen xi-1 und xi. Liegt ein Wert genau auf der Klassengrenze, wird er üblicherweise der unteren Klasse zugerechnet

Summenhäufigkeitsfunktion Absoluten Summenhäufigkeiten Hi: Fortlaufende Summierung (Kumulierung) der absoluten Häufigkeiten. Hi Anzahl der Elemente mit Merkmalswert  xi. Hi = h1+h2+...+hi = Σj hj für j=1,...,i und i=1,...,k Relative Summenhäufigkeiten Fi: Fortlaufende Summierung der relativen Häufigkeiten. Fi = f1+f2+...+fi = Σj fj für j=1,...,i und i=1,...,k Fi = Hi/n für i=1,...,k

Summenhäufigkeitsfunktion Häufigkeiten aus Summenhäufigkeiten berechnen: hi = Hi – Hi-1 (i=1,...,k) fi = Fi – Fi-1 (i=1,...,k) wobei H0 = F0 = 0

Summenhäufigkeitsfunktion Summenhäufigkeitsfunktion - empirische Verteilungsfunktion F(x) - wird aus Summenhäufigkeiten bestimmt. F(x) gibt den Anteil der Elemente mit einem Merkmalswert  x an. 0 für x < x1 F(x) = Fi für xi  x < xi+1 (i=1,...,k-1) 1 für x  xk

Summenhäufigkeitsfunktion Diskrete Merkmale

Summenhäufigkeitsfunktion Stetige Merkmale

Maßzahlen Parameter, Kollektivmaßzahlen Lageparameter (Mittelwerte) Streuungsparameter (Variabilitätsmaße, Variationsmaße) Schiefe Wölbung

Lagemaße und Mittelwerte Eigenschaften: Liegen zwischen Minimum und Maximum der Daten Wenn alle Daten derselben linearen Transformation unterworfen werden, macht auch das Lagemaß diese Transformation mit Harmonisches und geometrisches Mittel sind keine Lagemaße im strengen Sinn

Lagemaße und Mittelwerte Arithmetisches Mittel Median Modus Geometrisches Mittel Harmonisches Mittel Quantile

Arithmetisches Mittel Mittelwert, durchschnittlicher Wert. Für metrisch skalierte Merkmale. a1,...,an beobachtete Merkmalswerte eines Merkmals X

Arithmetisches Mittel Eigenschaften (Betrachte Einzelwerte ai (i=1,...,n)): Summe der Abweichungen der Einzelwerte von ihrem arithmetischen Mittel = 0 Summe der quadrierten Abweichungen der Einzelwerte von ihrem arithmetischen Mittel ist kleiner als von einem beliebigen anderen Wert

Arithmetisches Mittel Das arithmetische Mittel unterliegt der gleichen linearen Transformation wie die Einzelwerte Lineare Transformation: Arithmetische Mittel von zwei oder mehr Teilgesamtheiten:

Arithmetisches Mittel Gewogenes (gewichtetes) arithmetische Mittel Gewichte w1, ..., wn mit 0wi1 und Σiwi=1 Für w1=...= wn=1/n ergibt sich das gewöhnliche arithmetische Mittel

Median Median (Zentralwert): mindestens 50% der Beobachtungen ai nehmen eine Wert größer oder gleich bzw. kleiner oder gleich dem Median an. Sind a1... an der Größe nach geordnet, ist der Median x̃0,5: x((n+1)/2) n ungerade x̃0,5 = ½(x(n/2)+x(n/2+1)) n gerade

Median Häufigkeitsverteilung: Median ist diejenige Merkmalsausprägung, bei der die Summenhäufigkeitsfunktion den Wert 0,5 überschreitet. Klassifizierte Daten: Der Median liegt in der Klasse, in der die Summenhäufigkeitsfunktion den Wert 0,5 erreicht.

Modalwert Modalwert (Modus, häufigster Wert, dichtester Wert): Gibt die Ausprägung an, die die größte Häufigkeit in der Beobachtungsreihe besitzt. Für nominal skalierte Daten geeignet. Es gilt: h(xmod)  h(xi) für alle Merkmalsausprägungen xi,...,xk. Klassifizierte Daten: Modalwert ist definiert als Klassenmitte der am dichtesten besetzten Klasse.

Geometrisches Mittel Voraussetzung: Daten verhältnisskaliert n Einzelwerte a1, ..., an Merkmalsausprägungen relative Änderungen (z.B. Lohnerhöhung in %) Geometrisches Mittel:

Geometrisches Mittel Gewogenes (gewichtetes) geometrische Mittel Gewichte w1, ..., wn mit 0wi1 und Σiwi=1 Für w1=...= wn=1/n ergibt sich das gewöhnliche geometrische Mittel

Harmonisches Mittel Beobachtungswerte a1,...,an Gewogenes harmonisches Mittel Gewichte w1, ..., wn mit 0wi1 und Σiwi=1 Für w1=...= wn=1/n ergibt sich das gewöhnliche harmonische Mittel

Mittel Vergleich arithmetische- geometrisches- und harmonisches Mittel: Bei positiven Beobachtungswerten a1,...,an gilt stets die Beziehung Bei identischen Beobachtungen a1=...=an sind die Mittel gleich.

Quantile Geordnete Beobachtungsreihe a(1)...a(n) α-Quantil a(k) falls n·α keine ganze Zahl (k ist die auf n·α folgende ganze Zahl) ãα= 1/2 (a(k)+a(k+1)) falls n·α ganze Zahl k=n·α Spezielle Quantile: Median = 0,5-Quantil Unteres Quartil = 0,25-Quantil Oberes Quartil = 0,75-Quantil