Anwendung der Differenzialrechnung Weg-Zeit Funktion Anwendung der Differenzialrechnung Laura Katzensteiner
Definition Man geht davon aus, dass die Geschwindigkeit v konstant bleibt. Wenn man diese mit der Zeit t multipliziert so ergibt dies den Weg s. Das Zeit-Weg-Gesetz besagt also s = v*t
Variablen v = Geschwindigkeit in m/s s = Weg in m t = Zeit in s a = Beschleunigung in m/s² g = Gravitation (ca. 10 m/s²)
Formeln Freier Fall: Geschwindigkeit Beschleunigung s:t -> g/2*t2 oder s(t)= g/2*t² 10 für g substituieren s(t) = 5*t2 Geschwindigkeit v(t) = s‘(t) Beschleunigung A = s‘‘(t)
Beispiel Football
Angabe Ein Football wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 7m/s geworfen. ( v0=7m/s) Wie ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der 0,6. Sekunde? Wie ist die Geschwindigkeit bei t = 0,3s? Zu welcher Zeit t erreicht der Ball den höchsten Punkt? Wann landet der Ball wieder auf dem Boden?
Lösung Formel für den Weg (mit Beachtung des Freien Falls): s(t)=vo*t-5*t2 Wie ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der 0,6. Sekunde, d.h. im Intervall [0;0,6]? Tipp: Eine Tabelle macht es anschaulicher -> Differenzenquotient: ∆s/∆t (2,4-0)/(0,6-0)= 4 m/s Antwort: Die mittlere Geschwindigkeit während der 0,6. Sekunde beträgt 4 m/s. t s(t) 0 0 0,6 ? Geschwindigkeit zu t=0,6s: 7*0,6-5*0,62 = 4,2 – 1,8 = 2,4 m/s
Lösung Wie ist die Geschwindigkeit bei t=0,3s? s(t)= 7t-5t² s‘(0,3) = 4 m/s Antwort: Der Ball hat in der 0,3. Sekunde eine Geschwindigkeit von 4m/s.
Lösung Zu welcher Zeit t erreicht der Ball den höchsten Punkt? -> Beachte: Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit 0 Also: Extremwert s‘(t) = 0 0 = 7 – 10*t 10t = 7 t = 0,7s s Antwort: Nach 0,7 Sekunden erreicht der Football den höchsten Punkt.
Lösung Wann landet der Ball wieder auf dem Boden? -> Nullstellen s(t) = 0 0 = 7*t – 5*t2 0 = t(7-5t) 0 = 7-5t 5t = 7 t = 1,4s ( n1= 0 ) n2= 1,4 Antwort: Der Ball landet nach 1,4 Sekunden wieder auf dem Boden.