Verknüpfung von Zwei Funktionen Auswirkung auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit Benjamin, Christian, Jannik
Übersicht Einführung Stetigkeit Differenzierbarkeit Integrierbarkeit Was sind verknüpfte Funktionen? Stetigkeit Differenzierbarkeit Integrierbarkeit
Verknüpfte Funktionen Zusammenfügung zweier einzelner Funktionen in einen Funktionsterm durch Verkettung Addition Multiplikation Division Subtraktion Eine Funktion ist abschnittsweise durch zwei oder mehr Funktionen definiert
Stetigkeit Eine Funktion ist stetig, wenn der Graph ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Die Funktion darf insbesondere keine Sprungstellen haben. Bei Verknüpfung zweier stetiger Funktionen durch Addition, Multiplikation und Subtraktion ist die neue Funktion auch stetig Ausnahme: Division
Beispiel: Verknüpfung durch Division f(x) g(x) h(x)
Beispiel: Abschnittsweise definiert
Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit an der Stelle a: Steigung der Funktion kann an der Stelle a bestimmt werden Es gilt: f(x) stetig → f(x) differenzierbar Ausnahme: Funktionen mit Knick f(x) differenzierbar → f(x) stetig f(x) unstetig → f(x) nicht differenzierbar
Beispiele
Integration Die Integration ist bei auf ihrem Definitionsbereich stetigen Funktionen immer möglich. Addition, Subtraktion, Multiplikation Bei abschnittsweise definierten Funktionen muss man getrennt aufleiten. Die untere Grenze des 2. Integrals kann als Grenzwert angenommen werden. Sprungstellen müssen beim Integrieren übergangen werden
Integrationsregeln Siehe auch im Tafelwerk (blau) auf Seiten 58/59