Welche Arten von Mathematik braucht eine Versicherung? Karl - Josef Maiwald 22. März 2010: ILF-Fortbildung bei der Debeka Copyright by Debeka VVaG

Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Themen Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Welche Arten von Mathematik werden dazu benötigt? Copyright by Debeka VVaG

Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Risiko: Vorzeitiger Tod Gefahr: Der „Ernährer“ der Familie fällt aus Schutz durch Lebensversicherung Risiko: Langlebigkeit Gefahr: Altersarmut Schutz durch Rentenversicherung Copyright by Debeka VVaG

Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Risiko: Invalidität und Berufsunfähigkeit Gefahr: Einkommensausfall Schutz durch Berufsunfähigkeits- versicherung Risiko: Krankheit Gefahr: Krankheitskosten nicht bezahlen zu können Schutz durch Krankenversicherung Copyright by Debeka VVaG

Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Risiko: Pflegefall Gefahr: Pflegekosten nicht bezahlen zu können Schutz durch Pflegeversicherung Risiko: Autounfall Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu können Schutz durch KFZ-Haftpflichtversiche- rung Copyright by Debeka VVaG

Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Risiko: Schadenersatzansprüche gegenüber Dritten Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu können Schutz durch Haftpflichtversicherung Risiko: Feuer, Wasser, Sturm, Erd- beben, Hochwasser, Hagel ... Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu können Schutz durch Wohngebäudeversiche- rung bzw. Elementarversicherung Copyright by Debeka VVaG

Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Die Absicherung der wirtschaftlichen Folgen von Risiken ist das Betätigungsfeld einer Versicherung Aufgabe einer Versicherung: Bedarfsgerechte Produkte zur Absicherung der Risiken schaffen. Preise festlegen. Copyright by Debeka VVaG

Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Um einen Preis für eine Versicherung fest-setzen zu können, müssen die Risiken mess-bar gemacht werden. Wie kann man Risiken messen? Antwort: mit Mathematik! Copyright by Debeka VVaG

! Wie kann man Risiken messen? Für biometrische Risiken benötigt man deren Eintrittswahr-scheinlichkeit. Für Kosten-, Schaden- und Haftungsrisiken benötigt man zusätzlich deren Schadenhöhen und Verteilung. Es können nur Risiken versichert werden, die noch nicht eingetreten sind. ! „Brennende Häuser kann man nicht mehr versichern“. Die Messbarkeit der Eintritte von Risiken und deren Schaden- höhen erfolgt mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik. Es steckt somit viel Stochastik in einer Versicherung. Copyright by Debeka VVaG

1. Beispiel: Risikomessung in der Lebensversicherung Ein 45-jähriger Mann möchte eine einjährige Lebensversicherung über 10.000 Euro abschließen. Risikomessung: Bestimmung der Sterbewahrscheinlichkeit. 1) 2) Das Verfahren liefert für jedes Alter die Sterbetafel. Ergebnis: q45 = 0,3 % Copyright by Debeka VVaG

E(VS) = Erwartete Versicherungsleistung Prämienbestimmung: E(VS) = Erwartete Versicherungsleistung = Eintrittswahrscheinlichkeit für Todesfall x Schadenhöhe (Versicherungssumme) = q45 x VS = 0,003 x 10.000 = 30 EUR Copyright by Debeka VVaG

Es wird eine große Gefahren- gemeinschaft benötigt. Versicherung kann nur funktionieren, wenn viele Personen eine solche Versicherung abschließen. Es wird eine große Gefahren- gemeinschaft benötigt. Beispiel: Einnahmen 1000 45-jährige Männer: 1.000 x 30 = 30.000 EUR Ausgaben 3 Personen sterben: 3 x 10.000 EUR = 30.000 EUR Copyright by Debeka VVaG

2. Beispiel: Risikomessung in der Krankenversicherung: Eintrittswahrscheinlichkeit für Krankheit Höhe der Schäden bzw. Schadenhöhenverteilungen Bei einer Krankenversicherung liegt ein besonderes Schutz- bedürfnis der Versicherten vor. Für die Risikomessung und Prämienberechnung sind gesetz- liche Rahmenbedingungen zu berücksichtigen. Copyright by Debeka VVaG

Gesetzliche Rahmenbedingungen für die Beitragskalkulation Für die Beitragskalkulation in der substitutiven Krankenversicherung gilt: § 12 Abs.1 Nr.1 VAG Die Prämien sind auf versicherungsmathemati-scher Grundlage ... zu berechnen. Wahrscheinlichkeitstafeln statistische Daten zur Krankheitsgefahr Sterblichkeit Stornowahrscheinlichkeit ... Copyright by Debeka VVaG

Gesetzliche Rahmenbedingungen für die Beitragskalkulation § 12 Abs 1 Nr. 2 VAG: Es ist eine Alterungsrückstellung nach § 341 f HGB zu bilden. § 12 Abs 1 Nr. 3 VAG: Der Versicherer verzichtet auf das ordentliche Kündigungsrecht. § 12 c VAG Kalkulationsverordnung Copyright by Debeka VVaG

Kalkulationsgrundsätze 1. Dauernde Erfüllbarkeit Der Beitrag muss so kalkuliert sein, dass der Versicherungs-vertrag dauernd, d. h. lebenslang, erfüllbar ist. PKV: Dauerhaft deshalb, weil eine Kündigung durch den Versicherer ausgeschlossen ist. Copyright by Debeka VVaG

künftige Beiträge (Prämien- barwert) Kalkulationsgrundsätze 2. Äquivalenzprinzip Die erwarteten Leistungen müssen genau durch die erwarteten Beitragseinnahmen gedeckt werden. künftige Leistungen (Leistungs- barwert) künftige Beiträge (Prämien- barwert) Das heißt: kein Gewinnzuschlag! Copyright by Debeka VVaG

Kalkulationsgrundsätze 3. Risikogerechter / Risikoadäquater Beitrag 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 Alter EUR Keine Bemessung der Prämie nach dem Einkommen wie in der GKV. Das Krankheitsrisiko ist unabhängig vom Einkommen. Copyright by Debeka VVaG

Kalkulationsgrundsätze 4. Beitrag vom Eintrittsalter abhängig Der Beitrag darf wegen Älterwerdens der versicherten Person nicht erhöht werden 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 Alter EUR Copyright by Debeka VVaG

Risikomessung: Krankheit 1 Person je Alter Copyright by Debeka VVaG

Risikomessung: Krankheit 10 Personen je Alter Copyright by Debeka VVaG

Risikomessung: Krankheit 50 Personen je Alter Copyright by Debeka VVaG

Risikomessung: Krankheit 100 Personen je Alter Copyright by Debeka VVaG

Risikomessung: Krankheit 250 Personen je Alter Copyright by Debeka VVaG

Risikomessung: Krankheit 500 Personen je Alter Copyright by Debeka VVaG

Risikomessung: Krankheit 1000 Personen je Alter Copyright by Debeka VVaG

Risikomessung: Krankheit Copyright by Debeka VVaG

Frauen Männer Risikomessung: Arzneien und Verbandmittel 0,00 200,00 400,00 600,00 800,00 1.000,00 1.200,00 1.400,00 1.600,00 1.800,00 2.000,00 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 Alter EUR Männer Frauen Copyright by Debeka VVaG

Frauen Männer Risikomessung: ambulant Copyright by Debeka VVaG 0,00 1.000,00 2.000,00 3.000,00 4.000,00 5.000,00 6.000,00 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 Alter EUR Männer Frauen Copyright by Debeka VVaG

Männer Frauen Risikomessung: Krankenhaus Copyright by Debeka VVaG 0,00 500,00 1.000,00 1.500,00 2.000,00 2.500,00 3.000,00 3.500,00 4.000,00 4.500,00 5.000,00 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 Alter Männer Frauen Copyright by Debeka VVaG

Frauen Männer Risikomessung: Zahnbehandlung Copyright by Debeka VVaG Alter 0,00 50,00 100,00 150,00 200,00 250,00 300,00 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 Frauen Männer Copyright by Debeka VVaG

und Risikomessung: Kieferorthopädie / Zahnersatz Alter 0,00 50,00 100,00 150,00 200,00 250,00 300,00 350,00 400,00 450,00 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 Frauen Männer Copyright by Debeka VVaG

Risikomessung: Krankheit Wie werden die Wahrscheinlichkeiten mpx und die Er-wartungswerte Kx+m bestimmt? Ableitung aus Beobachtungen an eigenen Versicherten- beständen oder - falls nötig - aus branchenweiten Sammel-statistiken mit Hilfe von Methoden der Statistik. Insbesondere werden Verfahren der Schätztheorie, Testtheorie und (nicht-parametrischen) Regression eingesetzt. Copyright by Debeka VVaG

Datengewinnung Anzahl der Rechnungen jährlich: 25 Millionen Für 4 Jahre: 100 Millionen Versicherte Personen: 4 Millionen Copyright by Debeka VVaG

3. Beispiel: Das Versicherungsunternehmen als Risiko Der Gesetzgeber verlangt von den Versicherungsunternehmen, dass sie zur Sicherstellung der dauernden Erfüllbarkeit der Verträge Eigenmittel bilden, um mögliche Verluste abdecken zu können. Eigenmittel Verluste Copyright by Debeka VVaG

Die Risiken eines Versicherungsunternehmens Kursänderungen von Aktien, Zinsen sinken  Kapitalanlage- risiko  Ausfall von Krediten  Konzentrationsrisiko Versicherungsleistungen  Kalkulations- risiko  Verbleibewahrscheinlichkeiten  Kosten Verluste durch Menschen (Fehlverhalten, Betrug)  operationales Risiko  IT-Systeme (Zusammenbruch)  externe Ereignisse (Gesetzgebung) Copyright by Debeka VVaG

Verteilungsfunktion Das VU benötigt Kenntnisse über die Eintrittswahrschein-lichkeit und die Ausprägung der Risiken.  Es muss die Verteilung der Zufallsvariablen kennen, die die Ereignisse beschreiben. Eine der bekanntesten Verteilungsfunktionen ist die Normal- oder Gaußverteilung. Copyright by Debeka VVaG

Normalverteilung Copyright by Debeka VVaG

Beispiel Ein VU möchte 15.000 € am 01.07.2008 in Aktien investieren. Das VU benötigt 15.000 € am 31.12.2008 zur Erfüllung einer Versicherungsleistung. Wie viel Kapital muss das VU neben dem Aktieninvestment sicher anlegen, um auch bei einem Rückgang des Aktienkurses seine Leistung mit 90 %-iger Sicherheit erfüllen zu können ? Copyright by Debeka VVaG

Verteilungsfunktion Annahme: Die Entwicklung des Aktienkurses ist normalverteilt, Erwartungswert der Aktien (31.12.2008): 15.000 € Verlust (50 %) Gewinn (50 %) Copyright by Debeka VVaG

Verlustrücklage = 15.000 € - 11.155 € = 3.845 €. Ziel: Die Gefahr für einen Verlust soll von 50% auf 10% reduziert werden. Das Risikomaß Value at Risk zum 10%-Niveau ist der größte Wert, den die Zufallsvariable mit höchstens 10%-iger Wahrscheinlichkeit unterschreitet. VaR(10%) = 11.155 €: Mit nur 10%-iger Wahrscheinlichkeit fällt der Wert der Aktien unter 11.155 € .  Mit dem VaR kann die Verlustrücklage bestimmt werden, die das VU bilden muss, damit es nach einem Rückgang des Aktienkurses mit höchstens 10%-iger Wahrscheinlichkeit die Leistung nicht erfüllen kann. Verlustrücklage = 15.000 € - 11.155 € = 3.845 €. Copyright by Debeka VVaG

Verteilungsfunktion Annahme: Die Entwicklung des Aktienkurses ist normalverteilt, Erwartungswert der Aktien: 15.000 € Gewinn (50 %) Verlustrücklage (3.845 €) Verlust (10 %) Copyright by Debeka VVaG

Modellvorgabe: VaR mit 0,5%-Niveau Ein VU muss so viel Sicherheitskapital besitzen, dass es höchstens mit 0,5%-iger Wahrscheinlichkeit einen Verlust erleidet bzw. mit 99,5%-iger Wahrscheinlichkeit keinen Verlust erleidet. Copyright by Debeka VVaG

Welche Arten von Mathematik braucht eine Versicherung? Numerik Wahrscheinlichkeits- theorie lineare Algebra Risikotheorie Analysis Statistik Je mehr Mathe, desto besser! Copyright by Debeka VVaG

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit