Das Bigalke - Rechteck Gegeben ein Rechteck ABCD. Spiegele es an der Diagonale BD. Wie muss das Ausgangsrechteck dimensioniert sein, damit das gefärbte Viereck ein Rechteck ist? Achtung: Baustelle, Betreten auf eigene Gefahr Horst Steibl TU-Braunschweig

Vermutung Doppelquadrat Das Doppelquadrat kann es demnach nicht sein! Es muss jedenfalls schmaler sein Finden Sie eine Deutung? Wie wird die lange Seite durch den Punkt G geteilt? Horst Steibl TU-Braunschweig

Das Verhältnis der Abschnitte der langen Rechteckseite Hypothese: Die lange Rechteckseite wird anscheinend im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt Im Trapez teilen die Diagonalen sich im Verhältnis der parallelen Seiten, anscheinend im goldenenen Schnitt Der Winkel a = 25,9.. ist die Hälfte von 51,8.. Der Winkel 2a = 51,8... fällt auf Horst Steibl TU-Braunschweig

Ein anderer Zugang Konstruiere ein rechtwinkliges Trapez (blau), dessen parallele Seiten „im goldenen Schnitt“ stehen. Die Diagonalen teilen einander dann auch stetig. Die Parallele durch C sei beweglich. Wenn der rechte Winkel bei F erscheint, ist das Rechteck das gesuchte Parallelogramm. Nicht jedes goldene rechtwinklige Trapez leistet das. Erst wenn die Diagonalen sich rechtwinklig schneiden, ist der Fall gelöst Horst Steibl TU-Braunschweig

1. Lösung M sei der Mittelpunkt von EG. Drehe das Trapez ECDG um M um 180°. (Punktspiegelung an M) Dann ist BEDG die diagonale Raute des Vierecks ABCD. Also ist BG = GD = 10 cm. L Spiegele das Trapez GECD an EG. Dann ist BK =DC. Das Rechteck BKDL ist dann das an der Diagonale BD gespiegelte Rechteck mit der Eigenschaft, dass das gesuchte Parallelogramm ein Rechteck ist Horst Steibl TU-Braunschweig

Konstruktion In welchem Verhältnis stehen die Rechteckseiten? Zeichne die Strecke AB = 10 cm Teile AB stetig in G Halbiere AB in M1 und zeichne den Thaleskreis Errichte die Lote in G und B Zeichne das Dreieck ABC und verlängere die Katheten Zeichne die Parallele zu AB durch D Zeichne das Trapez AEDB Punktspiegele das Trapez AEDB an M Begründe, dass BB´die Spiegelachse der Figur ist Spiegele das Trapez an AE Punktspiegele das Trapez AED´A´an M In welchem Verhältnis stehen die Rechteckseiten? Horst Steibl TU-Braunschweig

2. Weg zur Konstruktion In (*) a = bÖ(Ö5-2)  b = aÖ(Ö5+2) In der diagonalen Raute BCDH stehen D die Diagonalen lotrecht aufeinander. Es ist BG = GD = DH Das Rechteck IGJH ist das drehgestreckte Abbild des Rechtecks ABCD (Vertauschen der Funktion Diagonale Mittelsenkrechte). Also sind sie ähnlich. Bei diese Spiegelung ist die diagonale Raute Fixfigur. x / a = a / b x = a² / b (*) Die Dreiecke mit den gelben Winkeln sind ähnlich. Winkel im Dreieck bzw. Nachbarwinkel ergänzen sich jeweils zu 90° x : ½(b – x) = ½(b – x) : ½(b + x) In (*) a = bÖ(Ö5-2) b = aÖ(Ö5+2) b  a*2,05817. Das führt zur Gleichung x²+4bx –b²= 0 x =b(Ö5 – 2)  Horst Steibl TU-Braunschweig Danke Ulrich Guder

Uli´s Lösung In der Zeichnung ist die Bedingung, dass der Winkel bei P ein rechter Winkel ist, erfüllt. Das Verhältnis der beiden Seiten a und b des Ausgangs- rechtecks lässt sich dabei durch Betrachtungen von zwei Klassen ähnlicher Dreiecke bestimmen In dem rechtwinkligen Trapez EDCF sind durch die Diagonalen ähnliche Dreiecke bestimmt. Die rechtwinkligen Dreiecke D(PED), D(PDC ) und D(PCF) sind ähnlich. Ihre spitzen Winkel ergänzen sich ja zu 90° und die Nachbarwinkel bei D und C ebenfalls Die zweite Klasse besteht aus den vier kongruenten Dreiecken der diagonalen Raute: D(MED) , D(FMD) , D(FBM), D(BEM), und den Dreiecken D(ABD) , D(FGE) , D(FPE) . Ferner die drei Dreiecke D(GEF), D(FKE), D(PFE). Die Drehstreckung, die Diagonale und deren Mittelsenkrechte vertauscht, erzeugt diese ähnlichen Dreiecke, die somit ähnlich dem Dreieck D(ABD) sind Horst Steibl TU-Braunschweig

Berechnung der Seitenlängen Wir erhalten damit folgende Beziehung: (*) (x : a) = (a : b) Außerdem folgt aus diesen Ähnlichkeiten und Kongruenzen, dass DE = EF und PF = FG. Es gilt auch DE = (b + x)/2 und CF = (b – x)/2 Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke D(PED) und D(PCF)lässt sich folgern: (**) x : ½(b – x) = ½(b – x) : ½(b + x) Lösen wir (*) nach x auf und setzen in (**) ein, so erhalten wir b = a*Ö(Ö5 + 2) = a * 2,05817... Horst Steibl TU-Braunschweig

Uli´s 2. Lösung Bei dieser Lösung gehe man vom Höhensatz aus,um Wurzel(Wurzel(5) + 2) zu bestimmen. Dazu konstruiere man die Strecke Wurzel(5) + 3 und errichte im Punkt Wurzel(5) + 2 eine Senkrechte, die man mit dem Thaleskreis um Wurzel(5) + 3 schneide. Der Abstand des Schnittpunkts zur Strecke Wurzel(5) + 3 ist dann nach dem Höhensatz gerade Wurzel(Wurzel(5) + 2), die gesuchte zweite Seite des Rechtecks: p* q = h² (Wurzel(5) + 2) * 1 = (Wurzel(5) + 2) Also h = Wurzel(Wurzel(5) + 2), Horst Steibl TU-Braunschweig