3.3. Eigenschaften von Funktionen J. Mischke, 2013

Beispielfunktion Stelle den Graph dieser Funktion in einem geeigneten Fenster auf dem GTR dar.

Beispielfunktion Betrachtungsfenster: Xmin = -5 Ymin = -10 Xmax = 8 Ymax = 12

Beispielfunktion Skizziere den Graphen der Funktion in deinem Hefter. Beschriftete Achsen sind nicht notwendig.

Maximaler Definitionsbereich Der (maximale) Definitionsbereich ist die Menge aller Argumente, für die mit dieser Funktionsgleichung Funktionswerte berechnet werden können. hier: also ist auch:

Maximaler Definitionsbereich ÜBUNG Gib den maximalen Definitionsbereich der folgenden Funktionen an. Prüfe mit dem GTR. Dg=Q\{-1} Dl=Q\{-1} Dh=Q Dm=Q\{-1;1} Dk=Q\{-1;1} Dn={x\in Q|x>=-1}

Nullstellen Nullstellen sind die Argumente , für die gilt. GTR – Befehl: ROOT

Nullstellen ÜBUNG Bestimme alle Nullstellen der Funktion mit dem GTR. Finde alle Nullstellen der Funktionen von Hand. g: x_01=-9 x02=-3 x03=2 x04=4 x05=25 h: x0=7 k: x0=2/3 l: x01=3 x02=-3

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ! Nicht verwechseln ! Nullstelle: nur das Argument ist gefragt Schnittpunkt: Punkt ist gefragt

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ÜBUNG Bestimme alle Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen mit Hilfe des GTR. Finde die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen mit den Koordinatenachsen ohne den GTR. g: Sx1(-2|0) Sx2(2|0) Sy(0|-4) h: Sx(1/2|0) Sy(0|-2) k: Sx(1/2|0) Sy(0|3) l: Sx1(-2|0) Sx2(2|0) Sy(0|-16)

Monotonieverhalten monoton fallend monoton steigend monoton fallend

Monotonieverhalten Der Graph von ist monoton fallend in den Bereichen, wo der Funktionswert mit größer werdendem Argument kleiner wird. monoton steigend in den Bereichen, wo der Funktionswert mit größer werdendem Argument ebenfalls größer wird. hier: monoton fallend für und . hier: monoton steigend für und .

Monotonieverhalten ÜBUNG Beschreibe das Monotonieverhalten der Funktionen g(x) monoton fallend h(x) monoton steigend k(x) monoton steigend für x<0; monoton fallend für 0<x<=2; monoton steigend für x>2 l(x) monoton fallend für x<=1; monoton steigend für x>1 m(x) monoton steigend für x<-1; monoton steigend für x>-1 n(x) monoton steigend für x<-2; monoton steigend für x>-2

Extrempunkte Extrempunkte sind die Punkte auf dem Graphen von , an denen sich das Monotonieverhalten ändert.

GTR – Befehl: MAX bzw. MIN Extrempunkte monoton steigend zu monoton fallend: Hochpunkt monoton fallend zu monoton steigend: Tiefpunkt GTR – Befehl: MAX bzw. MIN Extremstelle Maximum Extremstelle Minimum

Extrempunkte ÜBUNG Gib alle Tiefpunkte folgender Funktion an: Gib alle Extrempunkte folgender Funktion an: Gib alle Minima folgender Funktion an: Gib alle Extremstellen folgender Funktion an: g: T1(-5|225) T2(6|225) h: H(-2|-4) T(2|4) k: ymin=3 l: xmax=-2 xmin=5

Wertebereich Der Wertebereich einer Funktion ist die Menge der Funktionswerte, die angenommen werden.

Wertebereich ÜBUNG Gib den jeweiligen Wertebereich folgender Funktionen an: Wg=Q Wl={y\in Q|y>=8 oder y<=0} Wh={y\in Q|y>=0} Wm={y\in Q|y<=-0,25 oder y>0} Wk={y\in Q|y<=2,25} Wn=Q\{-2}

ZUSAMMENFASSUNG (Maximaler) Definitionsbereich Nullstellen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Monotonie Extrempunkte Wertebereich

Graph aus Eigenschaften zeichnen Zeichne den Graph einer Funktion mit folgenden Eigenschaften: Gib den Wertebereich deiner Funktion an. Keine weiteren Extrempunkte oder Nullstellen monoton fallend für x>0 und für -2<x<0

Operatoren – GTR oder nicht? Aufgabe: [Operator] die Nullstelle der Funktion Operator Was ist gefordert / erlaubt Gib … an. Nenne ... Nur die Lösung notieren. Woher sie kommt, ist egal! Ermittle … Bestimme … Lösungsweg und Lösung vollständig notieren. GTR -> Graph -> ROOT: Berechne … Lösungsweg und Lösung vollständig notieren; das Graphikmenü des GTR ist KEIN zugelassener Lösungsweg.

Achte auf die Operatoren Gegeben sei die Funktion Gib den Definitionsbereich von an. Berechne den Schnittpunkt des Graphen von mit der Ordinate. Bestimme alle Nullstellen des Graphen von . Ermittle alle Extrempunkte des Graphen von . Bestimme den Wertebereich von . Dg=Q Sy(0|5/3) x_0=-1 T(-3|-5/6) H(1|5/2) {y\in Q|-5/6<=x<=5/2}

Wähle selbst geeignete Aufgaben Gib jeweils Definitionsbereich, Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse, Extrempunkte und Wertebereich an. Beschreibe auch das Monotonieverhalten. Funktion f g h l m n D Q Q Q Q\{1} Q\{0} Q\{-sqrt(3);sqrt(3)} x0 -1/2 -1; 3 -1; 1 0 - 0 Sy (0|4) (0|-3) (0|-1) (0|0) - (0|0) H - - (-1|0), (1|0) (0|0) - (-3|-4,5) T - (1|-4) (0|-1) (2|4) (-1|2); (1|2) (3|4,5) W Q {y\in Q|y>=-4} {y\in Q|y<=0} {y\in Q|y<=0 oder y>=4} {y\in Q|y>=2} Q Mon. St. ja x>=1 x<=-1; 0<x<=1 x<=0; x>2 -1<x<0; x>1 x<=-3; x>3 Mon. F. nein x<1 -1<x<=0; x>1 0<x<1; 1<x<=2 x<=-1; 0<x<=1 sonst