Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2006 (M. Hartmann)

Organisatorisches Vorlesung (Hartmann) Übungen (Weth) Schein Dienstags bzw. Freitags zweistündig im Wechsel Übungen (Weth) Zwei Gruppen A und B zur Auswahl Wöchentliche Übungsaufgaben www.didmath.ewf.uni-erlangen.de Abgabe zu Beginn der jeweiligen Übungsgruppe Rückgabe und Besprechung eine Woche später in den Übungen Bewertung +, o, - Teilweise auch Präsenzübungen Schein Bei Bestehen der Klausur am Ende des Semesters Voraussetzung zur Klausurteilnahme: Etwa 75% der Übungsaufgaben mit mindestens o bewertet! Keine Nachholklausur!

Virtuelle Hochschule Bayern Wer hier teilnehmen will, muss sich zusätzlich kostenfrei bei der vhb für den Kurs „Grundbegriffe der Schulgeometrie“ einschreiben! Schreiben Sie sich heute noch ein!! Frage: Wie geht das? Antwort: ??

Was soll die Vorlesung leisten? Vorbereitung auf das Unterrichten von Geometrie in der zweiten Phase Didaktische Grundideen des Geometrieunterrichts Ziele des Geometrieunterrichts aufzeigen Wege zum Erreichen dieser Ziele vermitteln Exemplarisch Schulmathematisches Wissen Auffrischen Elaborierte Sichtweise Teilweise fachmathematische Hintergründe Inhaltliche Vorbereitung fürs Examen

Was kann die Vorlesung nicht leisten? Allgemeine Methodik des Unterrichtens Stoffverteilungsplan Komplette Stundenbilder Vollständige Behandlung der Schulgeometrie Mathematisch Didaktisch Strategische Vorbereitung fürs Examen → Seminar zur Examensvorbereitung

Überblick über Vorlesung Ziele des Geometrieunterrichts (1) Bildung geometrischer Begriffe (10) Inhaltslehre (2) Zeichnen/Konstruieren (2) Geometrische Abbildungen /Symmetrie (2) Projektionen (2) Räumliches Vorstellungsvermögen (1) Problemlösen/Kreativität (1)

I. Ziele des Geometrieunterrichts Erwerb elaborierten Wissens über Figuren, Körper, geometrische Operationen sowie deren Beziehungen handwerklicher und formaler Techniken (Konstruieren, Zeichnen, Messen, Berechnen,…) Befähigung zur Anwendung dieses Wissens Alltag, Beruf und weiterführende Schulen Erziehung zu konzentriertem sauberen Arbeiten Zeichnen, Basteln, Lösen einer Berechnungsaufgabe Förderung von Problemlösetechniken speziell auf die Geometrie bezogen aber auch allgemein Sprachschulung Beschreiben, Argumentieren, Fachsprache nutzen,… Förderung kreativen Verhaltens Freude am Schaffen und Entdecken Kreativitätsroutinen

Forderungen aus dem Mathematik-Fachprofil (LP) Beim Lösen … geometrischer Aufgaben sollen die Schüler … Flexibilität und problemlösendes Denken entwickeln … Der Unterricht soll zur Selbstständigkeit ermuntern, den Einfallsreichtum fördern und Freude am mathematischen Tun wecken …gestalterischer Umgang mit geometrischen Formen können dazu beitragen, dass die Schüler Freude an mathematischem Tun gewinnen. Versuche, … Lösungswege zu variieren, sollen den Schülern das Durchdringen und selbstständige Bearbeiten von Aufgaben erleichtern. …räumt der Unterricht auch der Entwicklung von Lösungsideen Platz ein. Zunehmend verwenden die Schüler gängige Begriffe der mathematischen Fachsprache. Es ist aber darauf zu achten, dass sie mathematische Bezeichnungen und Symbole mit inhaltlichen Vorstellungen und Wissen verbinden. Kenntnisse über geometrische Figuren und das Wissen um geometrische Beziehungen können aus der Arbeit mit konkreten Modellen sowie dem zeichnerischen Darstellen erwachsen. Durch häufige und vielfältige kopfgeometrische Aufgaben wird intensiv das räumliche Denken und Vorstellungsvermögen geschult. Berechnungsformeln dürfen nicht zu früh eingeführt, sie müssen schrittweise aus der Anschauung entwickelt werden. Eine wiederholte Rückbesinnung auf ihre Gewinnung erleichtert den Schülern eine flexible Anwendung.

II. Bildung geometrischer Begriffe

Sprech- und Schreibweisen Man fasst in der Geometrie Figuren bzw. Körper als Teilmengen und Punkte als Elemente der Ebene bzw. des Raumes auf Damit sind spezielle Sprech- bzw. Schreibweisen aus der Mengenlehre verbunden Die Ebene (bzw. der Raum) kann mittels eines Koordinatensystems beschrieben werden (Man spricht dann vom R² bzw. R³) Es muss generell zwischen Figur und dem ihr zugeordneten Maß unterschieden werden! 1. Insbesondere sind dann Punkte auch die Elemente der Figuren 2. A aus g, g Teilmenge E, Im Raum z.B. Ebene E1 schnitt Würfel ABCDEFGH= Viereck IJKL ist Teilmenge von E1 und Teilmenge von Würfel Sonderfall Schnitt einelementig: g schnitt h = A statt {A} (eigentlich inkorrekt aber üblich) Beschreibende Beschreibung k(M;r) 3. R²={(a,b)|a aus R und b aus R}

Empfohlene Schreibweisen (LP) A, B, C... Punkte P (x | y) Punkt im Koordinatensystem mit den Koordinaten x und y AB Gerade durch A und B [AB] Strecke von A nach B Länge der Strecke AB g, h, k... Geraden g || h g ist parallel zu h g  h g ist senkrecht zu h  (ABC) Winkel mit Scheitelpunkt B α, β, γ, δ... Winkelmaß

Lebensweltlicher Aspekt Eigenschaften entdecken Ungenauigkeit Modell Handeln/Werken Anwendung Bild Zeichnen Vorkommen Funktion Naive Vorstellung Text Verbalisieren Lebensweltlicher Aspekt Alltag/Beruf Unterrichtliche Repräsentation Schüleraktivität Fachsprache Geometrischer Begriff Eigenschaften entdecken Mentaler Begriff Mentales Modell/Proposition Fachsprache Operativ vorgehen Fachmathematischer Aspekt Analysieren Begriffsumfeld Vernetzen Eigenschaften Ordnen Kreatives Arbeiten Definitionen Beziehungen Analogisieren Variieren

Lebensweltlicher Aspekt Eigenschaften entdecken Variieren Analogisieren Definitionen Eigenschaften Naive Vorstellung Fachmathematischer Aspekt Vorkommen Kreatives Arbeiten Unterrichtliche Repräsentation Geometrischer Begriff Fachsprache Funktion Anwendung Lebensweltlicher Aspekt Alltag/Beruf Begriffsumfeld Beziehungen Eigenschaften entdecken Mentaler Begriff Mentales Modell/Proposition Analysieren Vernetzen Handeln/Werken Verbalisieren Zeichnen Schüleraktivität Modell Text Bild Ordnen Operativ vorgehen Ungenauigkeit Ungenauigkeit Modell Handeln/Werken Anwendung Bild Zeichnen Vorkommen Funktion Naive Vorstellung Text Verbalisieren Lebensweltlicher Aspekt Alltag/Beruf Unterrichtliche Repräsentation Schüleraktivität Fachsprache Geometrischer Begriff Eigenschaften entdecken Mentaler Begriff Mentales Modell/Proposition Fachsprache Operativ vorgehen Fachmathematischer Aspekt Analysieren Begriffsumfeld Vernetzen Eigenschaften Ordnen Kreatives Arbeiten Definitionen Beziehungen Analogisieren Variieren

Naive Vorstellung Zu vielen Begriffen existiert eine naive Vorstellung. Sie ist oft gekennzeichnet durch Prototypen Sonderformen (Rechteck statt Viereck) Normallagen (Quadrat vs. Raute) Standardproportionen (Draht ein Zylinder, Blatt Papier ein Quader?) Bezug zu bestimmter Sachsituation (Pyramide Cheops) Unschärfe (Achsensymmetrie …zwei gleiche Teile) Eigenschaftsarmut (Parallelogramm nur Parallelität) An diese naive Vorstellung sollte im Unterricht angeknüpft werden Teilweise um sie auszumerzen (Raute vs. Quadrat) (da sich diese sonst auf Dauer wieder festigt!) Teilweise um sie zu nutzen Als Merkhilfe für Bezeichnungen (Pyramide, Trapez, Zylinder…) Als mentale Prototypen (z.B. bildliche Repräsentation im Gedächtnis: Normallage, bestimmte Proportion) Als Ausgangspunkt für eine Verallgemeinerung (schiefe nichtquadratische Pyramide) Malen sie ein Viereck! Wie viele haben Rechteck gemalt? (Quadrat auf Ecke) Was ist das? Und das (Quadrat normal)? Was ist das (Blatt Papier) Was bedeutet eine Figur ist achsensymmetrisch? Was wissen Sie über das Parallelogramm?

Cheopspyramide

Trapez

Zylinder

Raute

Mentale Modelle beziehen sich auf Prototypen Satz von Thales?

Fachmathematischer Aspekt Begriffe (z.B. Figuren, Relationen, Abbildungen…) werden definiert, d.h. so knapp wie möglich eindeutig beschrieben und mit einem Namen bezeichnet Definitionen erfolgen oft durch Einschränkung bereits definierter Begriffe (bzw. Grundbegriffe) mithilfe definierter Begriffe Abstraktionsprozess durch Äquivalenzklassenbildung (→ z.B. Flächeninhalt) „Definierende“ Einschränkungen müssen unabhängig sein Meist existiert eine Vielzahl möglicher äquivalenter Definitionen Definition im Unterricht Begriffe beinhalten meist eine Vielzahl von Eigenschaften Viereckseigenschaften können sich z.B. beziehen auf Seiten (Längen, Lage), Winkel, Symmetrien, Diagonalen (Längen, Lage), Umfang, Flächeninhalt, Inkreis, Umkreis, … „nennt man“ betont besser Akt der Namensgebung als „ist“ ; Name schließlich eigentlich willkürlich Vielecksdefinition fachmathematisch Dann als Abschluss „Definitionen erfolgen oft durch Einschränkung…“ Einschub „In Schule zu kompliziert…“ Bsp. Parallelogramm „Ein Viereck nennt man Parallelogramm, wenn es (mindestens) zwei Paare paralleler Seiten hat“ Oder „…gegenüberliegende Seiten parallel sind“ Nicht zusätzlich „…Paare gleichlanger paralleler Seiten…“ ! Recht Übersicht

Fachmathematische Begriffsbildung ist ein kreativer Prozess Die Eigenschaften eines Begriffs stehen meist in engen Beziehungen zueinander z.B. Aus Längengleichheit der Gegenseiten folgt im Viereck Maßgleichheit der Gegenwinkel Begriffe stehen in Bezug zu anderen Begriffen und sind in ein Begriffsnetz eingebunden Gemeinsames Auftreten (z.B. Kreise, gleichschenklige Dreiecke) Analoge Begriffe in anderen Dimensionen (z.B. Strecke, Quadrat, Würfel, …) Hierarchische Begriffsbeziehungen Unter-, Ober-, bzw. Nachbarbegriff Lokales Ordnen bekannter Begriffe Kreatives Ordnen Fachmathematische Begriffsbildung ist ein kreativer Prozess Was macht eine Begriff mathematisch wertvoll? Begriffsbildung durch Variation, Kombination, Reduktion… Analogisieren hilft Eigenschaften in variierten Begriffen zu entdecken Übersicht

„Definition“ im Unterricht Für den Unterricht sind strenge Definitionen manchmal zu kompliziert. Dennoch müssen auch dort Definitionen klar und eindeutig sein! Ausgangsbegriff oder einschränkende Eigenschaften können im Unterricht vorher definiert, aus Alltag bekannt und eindeutig verwendet oder an Beispielen und Gegenbeispielen geklärt werden. Bsp. für eine schulgerechte „Definition“ von Vieleck: Ein Vieleck ist ein ebener, nicht überschlagener, geschlossener Streckenzug Definitionen können „statisch“ oder „dynamisch“ erfolgen Bsp. Kegel, Parallelogramm… Vielecke Keine Vielecke Dreieck, nicht Viereck! offen überschlagen

Lokales Ordnen (Haus der Vierecke) Warum systematisches lokales Ordnen im Unterricht? Notwendige Fähigkeit im Alltag (z.B. Ordnerstruktur im Computer) Propädeutik allgemeinen systematischen wissenschaftlichen Ordnens (z.B. zoologische Systematik) Lernerfolgssicherung der Einzelinhalte durch Wiederholung Vernetzung Reduktion des Lernstoffes (Vererbung der Eigenschaften) Klärung korrekter Sprechweisen (z.B. „Das Parallelogramm ist ein Trapez“) Einsicht in die Bedeutung solcher hierarchischer Begriffssysteme für die Formulierung mathematischer Sätze (Sätze für Oberbegriffe gelten insbesondere auch für entsprechende Unterbegriffe und müssen dort nicht neu bewiesen werden)

Wie kann geordnet werden? Begriffe sind bereits erarbeitet, d.h. in all ihren Eigenschaften bekannt! Wähle definierende Eigenschaften für einen Viereckstyp A (z.B. Punktsymmetrie für Parallelogramm) Prüfe, ob diese Eigenschaft auch anderen Typen B zueigen ist: Wenn ja, dann ist Typ B Unterbegriff von A (z.B. Rechteck, Raute oder Quadrat) Wenn nein, dann ist Typ B Nachbarbegriff zu A(z.B. Drache, gleichschenkliges Trapez) oder Oberbegriff zu A (z.B. Trapez, allgemeines Viereck); in diesem Fall muss eine definierende Eigenschaft von Typ B stets auch Typ A zueigen sein zurück

Kreatives Ordnen Begriffe werden beim Ordnen erarbeitet! Wähle einen Satz ordnender Eigenschaften (z.B. Achsensymmetrie, Punktsymmetrie) Prüfe, welche Vierecksformen dabei entstehen: Achsensymmetrie bzgl. Diagonalen (Drachen) bzgl. Mittelsenkrechte (Trapez) Punktsymmetrie (Parallelogramm) Kombiniere die ordnenden Eigenschaften Z.B. Achsensymmetrie bzgl. zweier Diagonalen dreier Mittelsenkrechter einer Diagonalen und Punktsymmetrie… Prüfe insbesondere Existenz und Abhängigkeiten Nichtexistenz sowie (andere) Abhängigkeiten verringern die Zahl der zu ordnenden Vierecke Z.B. ist ein Viereck, welches zwei verschiedene Symmetrieachsen besitzt bereits auch punktsymmetrisch oder aus der Symmetrie bzgl. einer Diagonalen und einer Mittelsenkrechten folgt die Symmetrie bzgl. der anderen Diagonalen und Mittelsenkrechten In einem Viereck können sich Symmetrieachsen nur in den Winkeln 45° oder 90° schneiden Ordnung ergibt sich aus Kombination der geforderten Eigenschaften zurück

Was macht einen Begriff mathematisch wertvoll Prinzipiell können jederzeit beliebige (neue) mathematische Begriffe gebildet werden Entscheidend für das „Überleben“ eines Begriffs ist aber dessen mathematische Beziehungshaltigkeit! Bsp.: Ein Viereck mit drei gleichlangen Seiten heißt „Dreiseitgleich“. Solange man keine anderen Eigenschaften des Begriffs findet, die in Beziehung zueinander stehen, ist das Dreiseitgleich mathematisch langweilig und damit zum Aussterben verurteilt... Bsp.: Ein Viereck, dessen Gegenseiten summengleich sind, heißt „Gegenseitensummerich“. Beim „Gegenseitensummerich“ findet man eine zusätzliche interessante Eigenschaft: Dieses Viereck besitzt stets einen Inkreis Der „Gegenseitensummerich“ wird also weiterleben (Wenn er dies auch entsprechend seiner Inkreiseigenschaft normalerweise unter dem Decknamen Tangentenviereck tut)

Eigenschaften im Unterricht entdecken Das Wahrnehmen von Besonderheiten muss trainiert werden Fordern Sie explizit zum Beobachten auf. Hierzu haben Sie verschiedene Möglichkeiten Geben Sie konkrete Hinweise auf welche Eigenschaften geachtet werden kann Fordern Sie dazu auf, systematisch alle möglichen Eigenschaften auf Besonderheiten hin zu untersuchen Operationen auszuführen und auf Invarianten zu achten

Lebensweltlicher Aspekt Geometrische Begriffe finden sich oft in unserer Umwelt (Alltag, Beruf). Hier ist es fruchtbar zu fragen: Wo kommt ein geometrischer „Begriff“ (Objekt, Eigenschaft, Relation, Abbildung…) vor? Z.B.: „Wo findest du hier im Klassenzimmer (Schulhaus, Straße…) Trapeze (Parallelität, Drehungen…)? Ziel: Blick schärfen für mathematische Begriffe in der Umwelt und fachsprachliche Bezeichnungen einüben Warum kommt ein „Begriff“ gerade hier vor? Warum findet man so viele Trapeze an einer Fachwerkfassade? Warum sind Schimmelkulturen, Hexenringe, Baumscheiben,… kreisförmig? Himmelskörper, Seifenblasen,… kugelförmig? Teller, Tassen,… „rund“? Ziel: Entstehung geometrischer Eigenschaften verstehen; Förderung der Allgemeinbildung; Vertraut machen mit Fachbezeichnungen aus Handwerk; Beziehung von Herstellungsprozess (bzw. natürlichem Entstehungsprozess) und Eigenschaften verdeutlichen Warum entstehen Rauten wenn man zwei Parallelgitter gleichen Gitterabstandes kreuzt? Ziel: Als Ausgangspunkt für innermathematische Problemstellungen nutzen

Die umfassende Auseinandersetzung mit möglichst vielen mathematischen und lebensweltlichen Aspekten eines Begriffs sowie deren Zusammenhängen ermöglicht erst die Bildung sinnvoller unterrichtlicher Lernziele und ist damit die Grundlage jeglichen interessanten Mathematikunterrichts!

Fachwerk

Schimmelkultur, Hexenring, Baumscheibe… Schimmelkulturen, Hexenringe und Baumscheiben etc. sind deshalb nahezu kreisförmig, da sie von einem Zentrum aus mit etwa gleicher Geschwindigkeit nach außen wachsen!

Pinguine im Kreis

Teller als Rotationskörper erzeugt Im Gegensatz zum Zirkel wird hier nicht das formgebende Element, sondern die Unterlage bewegt. Daraus lässt sich ein Zeichenverfahren für Kreise ohne Zirkel entwickeln: Fingernagel und Bleistift bilden eine feste Einheit. Der Fingernagel fixiert das Blatt an einer Stelle, um die dieses mit der anderen Hand gedreht wird.

Müssen Räder kreisförmig sein? Gibt es andere Figuren gleichen Durchmessers (Gleichdicke) als den Kreis? Ja, z.B. das Reuleaux-Dreieck! Aber bei nicht kreisförmigen Gleichdicks gibt es kein Zentrum für eine Achse, das bei ebener Strecke auf gleicher Höhe bleibt. Räder müssen also Kreise, Rollen hingegen nur Gleichdicke sein.

Wie stellt man einen Turm gerade? Schiefer Turm aus Kölsch

Wie stellt man einen Turm gerade? Schiefer Turm aus Köln

Welches der Dreiecke ist rechtwinklig? B A E F H G C D

Grunderfahrung zum Lot zu einer Ebene mit dem Faltwinkel Ein rechter Faltwinkel entsteht durch geeignetes zweimaliges Falten eines Papiers Mit ihm können Grunderfahren gemacht werden, die auf folgende Definition bzw. Satz vorbereitet Def.: Eine Gerade g heißt senkrecht zur Ebene E, wenn g auf zwei Geraden der Ebene senkrecht steht, die durch ihren Schnittpunkt mit E (Spurpunkt) gehen Satz: Ist eine Gerade g senkrecht zur Ebene E, so steht sie auch senkrecht auf allen Geraden aus E, die durch ihren Spurpunkt gehen

Aspekt der Ungenauigkeit Die Schüler sollen erkennen, dass mathematische Konstruktionen unabhängig vom Konstruktions-verfahren theoretisch zu exakten Ergebnissen führen, in der praktischen Anwendung aber aufgrund von Ungenauigkeiten für ein präzises Arbeiten zusätzliche Aspekte berücksichtigt werden müssen. Bsp.:

Wie findet man solche Beziehungen? Wie lassen sich Eigenschaften geometrischer Begriffe für die Funktion von Bauteilen oder ein handwerkliche Vorgehensweisen nutzen? Müssen Räder kreisförmig sein? Was hat das Parallelogramm mit einer Briefwaage zu tun? Wie stellt man einen Turm gerade (bohrt man ein senkrechtes Loch)? Wie repariert man eine klemmende Schranktür? Ziel: Geometrische Zusammenhänge bewusst nutzen können, Übliche Formen und Vorgehensweisen kritisch hinterfragen oder auch optimieren können Wie findet man solche Beziehungen? Man geht von einem geometrischen Begriff aus und sucht diesen in der Umwelt. Hier helfen z.B. Lexika oder Suchmaschinen im Internet Man beobachtet wachen Auges Umwelt und sucht in dieser geometrische Aspekte Man sieht Löwenzahn oder die Sendung mit der Maus

Lebensweltlicher Aspekt Eigenschaften entdecken Ungenauigkeit Modell Handeln/Werken Anwendung Bild Zeichnen Vorkommen Funktion Naive Vorstellung Text Verbalisieren Lebensweltlicher Aspekt Alltag/Beruf Unterrichtliche Repräsentation Schüleraktivität Fachsprache Geometrischer Begriff Eigenschaften entdecken Mentaler Begriff Mentales Modell/Proposition Fachsprache Operativ vorgehen Fachmathematischer Aspekt Analysieren Begriffsumfeld Vernetzen Eigenschaften Ordnen Kreatives Arbeiten Definitionen Beziehungen Analogisieren Variieren

Allgemeine Bildungsziele Sachstruktur Umweltaspekt Fachmathematischer Repräsentation der Inhalte durch Handlungen, Aufgaben, Texte, Bilder, … Lehrer leitet ab adäquate Lernumgebung mentale Begriffe konkrete Lernziele Lehrer entwickelt Schüler baut auf

Repräsentationsformen: Man unterscheidet in enaktive (Handlung), ikonische (Bild) und symbolische (Text mit mathematischen Symbolen, Gleichungen…) Repräsentationsformen Diese Formen treten unter Vermittlung durch Sprache im Laufe eines Begriffsbildungsprozesses häufig in dieser Reihenfolge auf Auch wenn die Klassifikation einen sinnvollen Anhaltspunkt für Repräsentationen im Unterricht liefern, so sind sie nicht trennscharf sollte diese Abfolge auf keinen Fall als Schema für einzelne Unterrichtseinheiten verstanden werden kann z.B. die Nötigung zum handelnden Vorgehen bei Schülern, die bereits geeignete mentale Vorstellungen aufgebaut haben, die angestrebte kognitive Verarbeitung sogar behindern sind Abweichungen von der Reihenfolge manchmal sinnvoll (insbesondere hat Text eine vermittelnde Funktion für alle Ebenen!) sichern sie nicht die Qualität der Repräsentationen müssen sie stets in Beziehung zueinander gebracht werden Bsp. Geobrett, Stifte, Knet-Würfel Reihenfolge 1.Bsp.: Enaktiv: Erfahrung mit Stiften, dass gleichlange Gegenseiten zu Parallelogramm führen ikonisch: Bildliche Darstellung dieser Erkenntnis z.B für Hefteintrag symbolisch: geometrischer Beweis 2.Bsp.: Rechteck auslegen mit Einheitsquadraten Bsp. Zeichnen, Beschreiben eines Modells. Umgang mit einem DGS Ist Parallelogramm achsensymmetrisch? Durch Falten oder geometrische Überlegung

Enaktive Repräsentation Hauptziele: Erfahrungen sammeln entdeckend lernen Entdecken lernen (Sensibilität für Phänomene entwickeln, operative Vorgehensweise anwenden) Wird zu Aktivitäten aufgefordert, so müssen diese zielführend für das Erreichen konkreter Lernziele sein (Handlungen nicht als Selbstzweck!) muss ihre Bedeutung intensiv verbalisiert werden! (Handlungen führen über die Sprache zu mentalen Einsichten)

Ikonische Repräsentation Hauptziele: Festhalten der Erfahrungen Auswahl eines prägnanten Prototypen für mentales Modell Bei der ikonischen Darstellung ist darauf zu achten, dass Wesentliches hervorgehoben wird (z.B. Farbe, Strichdicke…) der Prototyp keinen Spezialfall darstellt der Zusammenhang mit der vorangegangenen Handlung deutlich gemacht wird

Symbolische bzw. textliche Repräsentation Hauptziele: Während der Handlungen (vor allem sprachlich): Klärung der noch undeutlichen Ideen Kommunikation der Entdeckungen Kommunikationstraining zwar noch unscharfes aber dennoch verständliches Beschreiben Verwenden eigener Bezeichnungen Abschließend: Ergänzen der ikonischen durch propositionale Fassung um Sachverhalte allgemeingültig sowie leicht kommunizierbar zu repräsentieren zur Unterstützung des Memorierens (Vernetzung mit mentalem Modell) Training exakten Formulierens Weiterführend (vor allem symbolisch): Möglichkeit einer abstrakten Weiterverarbeitung (z.B. als Formeln) Unzureichende aber dennoch wertvolle Formulierungen während eines Entdeckungsprozesses z.B. bei „liegendem“ Viereck mit gleich langen Gegenseiten: „Obere Seite bleibt immer waagrecht und die Stützen zeigen immer in die selbe Richtung“ Abschließende Formulierung: „In einem Viereck mit gleich langen Gegenseiten sind diese jeweils parallel“ oder „Ein Viereck mit gleich langen Gegenseiten ist ein Parallelogramm“ Allgemeingültig gegenüber Zeichnung, die immer nur Spezialfall repräsentieren kann.

Bei der abschließenden textlichen Darstellung ist darauf zu achten, dass knapp aber unmissverständlich formuliert wird (Literaturhinweis: Schulz v. Thun und Götz, Mathematik verständlich erklären, München 1976) der Text in engem Bezug zu der ikonischen Darstellung steht (Aufgreifen von Bezeichnungen und Farben, räumliche Nähe…) Bsp.: Außenwinkelsatz

Bsp.: Repräsentationen des geraden Drachens Enaktiv Das Ausschneiden eines Drachen ist eine Handlung, deren Ergebnis zwar den geometrischen Begriff repräsentiert, die selbst aber in keinem Bezug zu den Eigenschaften desselben steht! (Inadäquate Repräsentation!) Das Ausschneiden durch zwei Schnitte aus einem gefalteten Papier hingegen steht in direktem Bezug zu seiner Symmetrie Das Zusammenlegen zweier Paare jeweils gleichlanger Stifte steht ebenfalls in direktem Bezug zu seinen Eigenschaften. Beim Variieren der Winkel können zusätzliche Zusammenhänge bzw. Invarianten erkannt werden (Operatives Prinzip) … Ikonisch Inadäquate Repräsentation:… Adäquate Repräsentationen:… Symbolisch Text 1: „Bei einem Drachen gilt a=b und c=d.“ (ungünstig, da Bezeichnungen ohne beschriftetes Bild nicht zwingend) Text 2: „Ein Drache setzt sich aus zwei Paaren jeweils gleichlanger Nachbarseiten zusammen.“ (günstig, da unabhängig von speziellen Bezeichnungen)

Repräsentation von Körpern Die ikonische Repräsentation von Körpern ist gegenüber der ebener Figuren besonders problematisch, da Längen und Winkel verzerrt dargestellt werden Deshalb ist bei Körpern die unmittelbare enaktive Repräsentation unerlässlich! Bei Körpern unterscheidet man grob zwischen Kanten-, Flächen- und Voll- bzw. Füllkörpermodellen, die passend zu den jeweiligen Lernzielen eingesetzt werden müssen Kantenmodell: Kanten-, Diagonaleneigenschaften,… Teilfiguren, wie Stützdreiecke müssen selbst wieder z.B. als Pappfigur repräsentiert werden Flächenmodell: Formen der Begrenzungsflächen, Netze, Oberflächenmaß, … Voll- bzw. Füllkörpermodell: Volumen, Gewicht, Dichte…

Zum Aufbau eines mentalen Modells von Körpern müssen die unterschiedlichen Modelltypen von den Schülern selbst hergestellt werden Achten Sie dabei auf sauberes Arbeiten! die Körper als Kanten- oder Flächenmodell strukturiert werden durch Repräsentation relevanter Aspekte z.B. mittels Farbe Prozess des Aufbaus diese strukturierenden Repräsentationen verbal erläutert werden entsprechende Vorstellungsübungen gemacht werden (z.B. Wechselspiel zwischen Betrachtung des realen Modells mit offenen und des mentalen Modells bei geschlossenen Augen) die Körper von den Schülern als Schrägbild gezeichnet werden Strukturierungen durch Einfärben dort sichtbar gemacht werden der Wechsel vom Modell zum Schrägbild mit entsprechenden Übungen gestaltet werden, damit das Schrägbild richtig interpretiert wird (z.B. Einzeichnen von Diagonalen, Schnittfiguren,…) reale, zeichnerische oder mentale Operationen an Körpern vorgenommen werden (z.B. Schnitte, Verlängerung von Seiten, …)

Netze von Körpern Körper, die von ebenen Flächen begrenzt werden heißen Polyeder (Vielflächner) Diese Begrenzungsflächen sind Vielecke Das Netz eines Körpers erzeugt man, indem man diesen entlang von Kanten aufschneidet und in der Ebene ausbreitet. Diesen Prozess nennt man Abwicklung

Beispiele: Gegenbeispiel: Nicht an einer gemeinsamen Kante zusammenhängend! Nicht zusammenhängend!

Wie entscheidet man, ob etwas ein Würfel- bzw. ein Quadernetz ist? mental-visuelles Zusammenfalten Vorstellungshilfe: Schweren Körper auf Grundfläche stellen Anwenden von Ausschlusskriterien Kein „U“ kein „5er-Band“ kein „großer Winkel“ Speziell für Quadernetze 3 Paare kongruenter Rechtecke Über Eck keine ungleichlangen Rechtecksseiten großer Winkel kleines U U großes U 5er-Band

Wie viele verschiedene Würfelnetze gibt es? gleich oder verschieden? Drehen Umklappen

Lernziele zu Körpernetzen Umweltaspekt: Vermeidung von Leimkanten Verpackungsprobleme Einprägen von Körpereigenschaften Training des räumlichen Vorstellungsvermögens speziell des mental-visuellen Operierens und der Nutzung propositional beschreibbarer Relativlagen

Standardnetze der geraden quadratischen Pyramide „sternförmig“ „mantelförmig“ Repräsentiert Symmetrie Repräsentiert Aufteilung in Mantel- und Grundfläche

Konstruktionsmöglichkeit 1: „Kreise um Eckpunkte“ Konstruktionsmöglichkeit 2: „Kreis um Mittelpunkt und Mittelsenkrechten der Grundkanten“ Konstruktionsmöglichkeit 3: „Grundkanten als Sehnen am Umkreis des Mantelnetzes antragen“

Konstruktionsaufgabe Geg: Grundkantenlänge a= 3cm und Pyramidenhöhe hpyr= 4cm Ges: Netz der Pyramide

Standardnetze der geraden Rechteckspyramide Vorgehensweisen analog zur quadratischen Pyramide

Netz eine beliebigen Dreieckspyramide Netz einer Dreieckspyramide basteln lassen

Netz eine beliebigen Vieleckspyramide Bedingungen für Pyramidennetze: aufeinandertreffende Dreiecksseiten jeweils gleichlang Dreiecksseiten nicht zu kurz Spurgeraden der Dreiecksspitzen schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenfußpunkt der Pyramide (Ist bei Dreieckspyramiden bereits mit (1) erfüllt) Netz einer Viereckspyramide basteln lassen Problem Schiffchen Film klärt auf Richtiges Netz sowie Dreieckspyramidennetz mit Höhe und Höhenfußpunkt vorgegeben in Übungen Bei konkaven Körpern kann es bei der „Abwicklung“ zu Überlappungen kommen!

Netz einer regulären n-Eckspyramide Definition des regulären n-Ecks: Ein n-Eck mit n gleichlangen Seiten und ausschließlich gleichgroßen Innenwinkeln (alt. Umkreis) heißt regelmäßiges bzw. reguläres n-Eck Konstruktion eines regulären n-Ecks: Konstruktionsmöglichkeiten über Bestimmungsdreieck „schrittweise Abbiegen“ Kreis um Mittelpunktsstrahlen

Es gibt nicht nur Netze von Polyedern, sondern auch von anderen abwickelbaren Körpern, wie z.B. Zylinder und Kegel Kreise bzw. Kreisteile müssen mit anderen Teilflächen nur einen Berührpunkt gemeinsam haben

Zylindernetze Gerader Kreiszylinder: Beliebiger gerader Zylinder: Schräges Abschneiden eines geraden Kreiszylinders erzeugt schiefen elliptischen Zylinder Anwendung Rohrknie Mantelfläche:

Kegelnetze Gerader Kreiskegel: Zusammenhang zwischen r und n:

Netz des schiefen Prismas Abwicklung

Netz der Kugel? Die Kugel ist nicht abwickelbar; Sie hat kein Netz! Nur näherungsweise kann z.B. die Abwicklung einer Orange durch Schälen unsystematisch oder systematisch versucht werden

II. Inhaltslehre Fachmathematische Grundbegriffe der Flächeninhaltslehre: Ein Vieleck V heißt elementargeometrisch in V1,…,Vn zerlegt, wenn V = V1U…U Vn Je zwei Vielecke der Menge {V1,…, Vn} haben höchstens Randpunkte gemeinsam Zwei Vielecke V und W heißen zerlegungsgleich, wenn sie in endlich viele Vielecke V1,…,Vn bzw. W1,…,Wn so zerlegt werden können, dass für i= 1,…,n gilt: Vi ist kongruent zu Wi Zerlegungsgleichheit ist eine Äquivalenzrelation

Zwei Vielecke V und W heißen ergänzungsgleich, wenn sie sich durch endlich viele paarweise kongruente Vielecke zu zerlegungsgleichen Vielecken ergänzen lassen Satz: Zwei Vielecke sind genau dann ergänzungsgleich, wenn sie zerlegungsgleich sind

Flächeninhaltsfunktion Eine Funktion, die jedem Vieleck V eine reelle Zahl |V| zuordnet, heißt Flächeninhaltsfunktion, wenn gilt: |V|>0 stets |V1|=|V2|, falls V1 kongruent zu V2 ist |V|=|V1|+|V2|, falls V in V1 und V2 zerlegbar ist |V|=1, falls V das Einheitsquadrat ist Satz: Es gibt nur eine einzige Flächeninhaltsfunktion

Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Zerlegungsgleichheit Satz: Zerlegungsgleiche Vielecke haben denselben Flächeninhalt

Aufbau des Flächeninhaltsbegriffs in der Schule Direkter Flächenvergleich: ohne Zerlegung mit Zerlegung Indirekter Flächenvergleich mittels eines ungenormten Repräsentanten (geeignetes weiteres Vieleck) Beispiele: Bankflächen mittels Heft vergleichen Motivation: Quantifizierung des Größenunterschieds genormten Repräsentanten (Einheitsquadrat) Motivation: Vergleich auch bei größeren Distanzen möglich durch Rückführung des Problems auf Längeneinheit Warum Einheitsquadrate und nicht z.B. gleichseitige Einheitsdreiecke? Parkettieren insbesondere der häufig auftretenden Rechtecksflächen und Abzählen besonders leicht möglich

3. Ableitung von Flächeninhaltsformeln Rechteck 1. Schritt: Auslegen mit Einheitsquadraten und Abzählen 2. Schritt: Erarbeitung eines verkürzten Abzählverfahrens 3. Schritt: Formel (Spätestens hier Festlegung von m•m = m² als Flächeninhalt des Einheitsquadrats) 4. Schritt: Umrechnungen von einer Maßeinheit in eine andere Andere Vier- bzw. Vieleckstypen Die Formeln für andere Vieleckstypen werden (letztlich) auf das Rechteck zurückgeführt durch Umbauen (insbesondere Idee der Mittenlinie), Zerlegen (insbesondere Idee der Triangulation) bzw. Ergänzen Scheren (auch Cavalieri)

Beliebige „krummlinige“ Formen Vor allem für Grobabschätzung: Ersetzen durch geeignete Vielecke Auf Karopapier: Einbeschriebenes und umbeschriebenes „Karoeck“ Trapezstreifenmethode Kreis 1. Schritt: Grobabschätzung führt bereits zu Ansatz: AKreis= p• r² 2. Schritt: Genauere Bestimmung des Faktors p an Beispielen. Dazu z.B.: Bestimmung der Flächeninhalte von Kreis und Quadrat wie oben oder Ausschneiden und Wiegen (Hebelgesetz) Weitere bzw. ergänzende Möglichkeit: „Tortenstückmethode“ Voraussetzung: Umfang des Kreises bereits erarbeitet Stellt Zusammenhang zwischen Umfang und Flächeninhalt her Fachmathematische p-Bestimmung z.B. mittels Folge ein- bzw. umbeschriebener n-Ecke die immer bessere Näherungswerte für das Verhältnis aus Kreisumfang und Durchmesser liefern

Die Satzgruppe des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Quadrate über den Katheten zusammen flächengleich dem Quadrat über der Hypotenuse (Satz des Pythagoras) ist das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten (Höhensatz) ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt (Kathetensatz) Einfache Beweise (fürs Examen): Weitere Beweise: Perigal Zu jedem Satz existiert eine Umkehrung

Aufbau des Volumenbegriffs Analog Flächeninhalt!! direkter Volumenvergleich ohne Verformung mit Verformung Flüssigkeiten umschütten Knetmasse verformen indirekter Vergleich mittels ungenormten Repräsentanten genormten Repräsentanten (Einheitswürfel)

Aktivitäten Volumenvergleiche bzw. -messungen durch Wiegen Vollkörper gleichen Materials verwenden mit Wasser befüllen Direktvergleich Umschütten in drittes Gefäß (z.B. Messbecher) Wasser verdrängen Überlaufen lassen Wasserspiegel ansteigen lassen Zerlegungen Bei gerade Säulen analog zu Vielecken

Ableitung der Volumenformeln Übersicht

Umgang mit Formeln Intensive formenkundliche Analysen voranstellen Formeln nicht zu früh einführen Analogien herausarbeiten Keine überflüssigen Einzelformeln (Modulares Arbeiten) Notwendige Schülerkompetenzen: Anwendungsbereich kennen Formel interpretieren nicht auf andere Bezeichnungen übertragen können Größen einsetzen und mit diesen rechnen Formeln umstellen Formel in Formel einsetzen Zusammengesetzte Körpern bzw. Figuren vielseitig additiv bzw. subtraktiv analysieren

IV. Geometrische Abbildungen Kongruenzabbildungen Propädeutisch: Abbildungen, die Figuren auf deckungsgleiche abbilden, heißen Kongruenzabbildungen Frage: Wie bildet man eine Figur F1 auf eine deckungsgleiche Figur F2 ab? Bildfigur parallel Bildfigur zusätzlich gedreht Bildfigur liegt spiegelbildlich Bildfigur hat entgegengesetzten Drehsinn, liegt aber nicht spiegelbildlich Antwort: Die Abbildung auf eine deckungsgleiche Figur gelingt stets allein durch Verschiebung, Drehung (mit Sonderfall Punktspiegelung), Achsenspiegelung oder Schubspiegelung!

Fachmathematisch: Def 1.: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich heißt Kongruenzabbildung Satz: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich ist immer auch geradentreu und winkelmaßtreu. Def 2.: Eine Verkettung von Achsenspiegelungen heißt Kongruenzabbildung Eine Figur F2 heißt kongruent zur Figur F1, wenn F1 durch eine Kongruenzabbildung auf F2 abgebildet werden kann. Dreispiegelungssatz: Die Verkettung von Achsenspiegelungen kann stets auf eine Verkettung von höchstens drei Achsenspiegelungen ersetzt werden. Dabei bleibt die Anzahl der Achsenspiegelungen gerade bzw. ungerade.

Verkettung von Kongruenzabbildungen Verschiebung mit Verschiebung Verschiebung mit Drehung Drehung mit Drehung Achsenspiegelung mit Achsenspiegelung …

V. Symmetrie Symmetrie nennt man die Eigenschaft einer Figur bzw. eines Körpers, durch eine (von der Identität verschiedenen) Kongruenzabbildung auf sich selbst abgebildet zu werden. Zu jeder Kongruenzabbildung existiert eine eigene Form der Symmetrie. In der Ebene sind dies: Achsenspiegelung → Achsensymmetrie Drehsymmetrie Drehung um 360°/n → n-strahlige Symmetrie Drehung um 180° → Punktsymmetrie (2-strahlige Symmetrie) Alle Drehungen mit gemeinsamen Zentrum → Rotationssymmetrie Verschiebungs- bzw. Translationssymmetrie Schubspiegelungssymmetrie

Achsensymmetrie (bzw. Ebenensymmetrie im Raum) Def.: Eine Figur F heißt achsensymmetrisch, wenn eine Achsenspiegelung existiert, die F auf sich selbst abbildet. Beispiele: Figur F1 und F2 haben jeweils keine Symmetrieeigenschaft F1 liegt spiegelbildlich zu F2 F1 ist Urbild und F2 ist Bild der Spiegelung an a (bzw. umgekehrt) Die Vereinigung von F1 mit F2 ergibt eine achsensymmetrische Figur F1 F2 a

Wo findet man (näherungsweise) achsensymmetrische Objekte und warum haben sie diese Eigenschaft? Natur: Tierwelt: Mensch, Huftiere, Katzen, Schmetterlinge, Vögel, Insekten,… Pflanzenwelt: Blätter, Blüten, Früchte, Grobumriss von Bäumen, … Geologie: Kristalle, Vulkane,… Ursache: Fortbewegung erfolgt in eine Richtung; Orientierung nach links bzw. rechts gleichberechtigt, Flugfähigkeit, Symmetrisches Wachstum aufgrund symmetrischer Bedingungen…. Artefakte: Alltagsgegenstände, Bauwerke, Kunstobjekte: Ursache: Anpassung an vorhandene Symmetrie (Brille, Stuhl, Toilette, Rathaus von Maastricht, …) Vermeidung von Drehmomenten, Kräfteverteilung, Statik (Schaufel, Rechen, Gewölbe…) Ästhetik (Abbild von Mensch und Tier, Symbol für Ausgewogenheit und Ordnung)

Repräsentation gleicher Machtansprüche Vor etwa 300 Jahren wurde Maastricht gleichberechtigt von Fürstbischof von Lüttich und dem Herzog von Brabant regiert Das neue Rathaus sollte die Einheit der Stadt und den gleichen Rang beider Fürsten verdeutlichen

Drehsymmetrie Def.: Man sagt: Eine Figur F hat eine n-zählige Drehsymmetrie, wenn eine Drehung um 360°/n (n>1) existiert, die F auf sich selbst abbildet. Beispiele: Punktsymmetrische Figur Drehsymmetrische Figur mit dreizähliger Drehsymmetrie vierzähliger Drehsymmetrie Reguläres n-Eck Dreht man eine Figur n-1-mal um 360°/n und vereinigt sie mit ihren n-1 Bildern, so entsteht eine Figur mit n-zähliger Drehsymmetrie

Verschiebungssymmetrie Verschiebungssymmetrische Figuren können nicht begrenzt sein Beispiele: Gerade Bandornamente Parkette

Schüleraktivitäten und Veranschaulichungen zu Kongruenzabbildungen und Symmetrien Achsenspiegelung - Achsensymmetrie: Klecksbilder Umklappen einer Figur auf Folie Einfach gefaltetes Papier schneiden durchstechen Kohlepapier Spiegel Pantomime Miraspiegel Bauen z.B. mit Lego Karopapier (Achslage parallel oder diagonal) „Konstruktion“ mit Zirkel Geodreieck Finden (z.B. mit Spiegel) und Einzeichnen von Symmetrieachsen, Ergänzen zu symmetrischer Figur

Drehung - Dreh- bzw. Punktsymmetrie: Drehung einer Figur auf Folie „Konstruktion“ mit Zirkel Geodreieck Doppelt gefaltetes Papier schneiden Doppelspiegel Erzeugung einer drehsymmetrischen Figur durch mehrfaches Abbilden Finden und Einzeichnen des Drehpunkts bzw. des Symmetriezentrums Problematisieren: Riesenrad (Gondeln parallel) vs. Mond (Mondgesicht) Verschiebung - Verschiebungssymmetrie: Verschiebung einer Figur auf Folie Parallelverschiebung mit Geodreieck und Lineal Erzeugung von Bandornamenten Doppelt (mehrfach) parallel gefaltetes Papier schneiden Finden und Markieren einer Elementarzelle eines Bandornaments

Projektionen Zentralprojektion Prinzip: Eigenschaften: Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels einer punktförmigen Lichtquelle (Projektionszentrum) auf eine Ebene nennt man Zentralprojektion Positioniert umgekehrt ein Betrachter sein Auge an die Position der Lichtquelle (Augpunkt), so erzeugt das zentralperspektivische Bild denselben Sinneseindruck wie der Körper selbst Eigenschaften: Figuren, die parallel zur Bildeben liegen, werden auf ähnliche abgebildet Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf Geraden abgebildet Kreise werden auf Kegelschnitte (Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln) oder Strecken abgebildet Bilder paralleler Geraden, die nicht parallel zur Bildebene liegen, schneiden sich in einem Punkt, dem Fluchtpunkt Die Fluchtpunkte von Parallelenscharen, die parallel zu einer Ebene verlaufen, liegen auf einer Geraden (Horizontlinie)

Parallelprojektion Prinzip: Eigenschaften: Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels paralleler Strahlen auf eine Ebene nennt man Parallelprojektion Eine Zentralprojektion nähert sich bei zunehmender Entfernung des Projektionszentrums einer Parallelprojektion an (z.B. Sonne) Blickt ein Betrachter aus größerer Distanz in Richtung dieser Strahlen auf ein parallelperspektivisches Bild, so erzeugt auch dieses Bild einen ähnlichen Sinneseindruck wie der Körper selbst Eigenschaften: Figuren, die parallel zur Bildebene liegen, werden auf kongruente abgebildet Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf Geraden abgebildet Strecken, die senkrecht zur Bildebene verlaufen, werden um einen festen Wert (Abbildungsfaktor) verändert abgebildet Kreise werden auf Kegelschnitte (Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln) oder Strecken abgebildet Bilder paralleler Geraden sind stets Parallele

Schrägbild vs. Normalbild Beim Normalbild stehen im Gegensatz zum Schrägbild die abbildenden Strahlen senkrecht auf der Bildebene Dreitafelbild Konstruktion eines Schrägbildes Heuristische Ideen: Hilfslinien → punktweise Abbildung Rückführung auf bekanntes Problem → Einbettung in Quader Bsp: Sechseckspyramide, Kegel..

Kurze Übung Lernziel: Kreis ist die Menge aller Punkte, die … Das Zeichnen eines Kreises mittels Untertasse Schnur Zirkel Bleistift durch Drehung des Blattes Das Ausschneiden eines vorgezeichneten Kreises Das Bild eines Kreises mit verschiedenen eingezeichneten Radien Die symbolische Darstellung k(Z,B) k(Z,r) {P| Abstand P von Z ist 2 cm} Die Betrachtung eines Fahrradvorderrades Das Zeichnen 3cm langer Strecken ausgehend von einem Punkt Lernziel: Kreis ist eine Figur konstanter Krümmung Das Zeichnen eine Kreises mittels Zirkel Das schrittweise Biegen eines Drahtes Das Fahren eines Modellautos mit fester Lenkerstellung