Grundbegriffe der Schulgeometrie

Präsentation zum Thema: "Grundbegriffe der Schulgeometrie"—  Präsentation transkript:

1 Grundbegriffe der Schulgeometrie
Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 7 (M. Hartmann)

2 Ikonische Repräsentation
Hauptziele: Festhalten der Erfahrungen Auswahl eines prägnanten Prototypen für mentales Modell Bei der ikonischen Darstellung ist darauf zu achten, dass Wesentliches hervorgehoben wird (z.B. Farbe, Strichdicke…) der Prototyp keinen Spezialfall darstellt der Zusammenhang mit der vorangegangenen Handlung deutlich gemacht wird

3 Symbolische bzw. textliche Repräsentation
Hauptziele: Während der Handlungen (vor allem sprachlich): Klärung der noch undeutlichen Ideen Kommunikation der Entdeckungen Kommunikationstraining zwar noch unscharfes aber dennoch verständliches Beschreiben Verwenden eigener Bezeichnungen Abschließend (als gespr. und geschr.Text): Ergänzen der ikonischen Repräsentation durch Texte um Sachverhalte allgemeingültig sowie leicht kommunizierbar zu repräsentieren zur Unterstützung des Memorierens (Vernetzung mit mentalem Modell) Training exakten Formulierens Weiterführend (vor allem symbolisch): Möglichkeit einer abstrakten Weiterverarbeitung (z.B. als Formeln) Unzureichende aber dennoch wertvolle Formulierungen während eines Entdeckungsprozesses z.B. bei „liegendem“ Viereck mit gleich langen Gegenseiten: „Obere Seite bleibt immer waagrecht und die Stützen zeigen immer in die selbe Richtung“ Abschließende Formulierung: „In einem Viereck mit gleich langen Gegenseiten sind diese jeweils parallel“ oder „Ein Viereck mit gleich langen Gegenseiten ist ein Parallelogramm“ Allgemeingültig gegenüber Zeichnung, die immer nur Spezialfall repräsentieren kann.

4 Bei der zusammenfassenden Formulierung durch den Lehrer bzw
Bei der zusammenfassenden Formulierung durch den Lehrer bzw. der abschließenden textlichen Darstellung ist darauf zu achten, dass knapp aber unmissverständlich formuliert wird (Literaturhinweis: Schulz v. Thun und Götz, Mathematik verständlich erklären, München 1976) der Text in engem Bezug zu der ikonischen Darstellung steht (Aufgreifen von Bezeichnungen und Farben, räumliche Nähe…) Achtung!!! Derartige Texte gelingen nicht spontan. Sie erfordern stets intensive Vorbereitung Bsp.: Außenwinkelsatz

5 Bsp.: Repräsentationen des geraden Drachens
Enaktiv Das Ausschneiden eines Drachen ist eine Handlung, deren Ergebnis zwar den geometrischen Begriff repräsentiert, die selbst aber in keinem Bezug zu den Eigenschaften desselben steht! (Inadäquate Repräsentation!) Das Ausschneiden durch zwei Schnitte aus einem gefalteten Papier hingegen steht in direktem Bezug zu seiner Symmetrie Das Operieren mit einem entspr. Gelenkviereck bzw. das Zusammenlegen zweier Paare jeweils gleichlanger Stifte steht ebenfalls in direktem Bezug zu seinen Eigenschaften. Beim Variieren der Winkel können zusätzliche Zusammenhänge bzw. Invarianten erkannt werden (Operatives Prinzip) … Ikonisch Inadäquate Repräsentation:… Adäquate Repräsentationen:… Symbolisch Text 1: „Bei einem Drachen gilt a=b und c=d.“ (ungünstig, da Bezeichnungen ohne beschriftetes Bild nicht zwingend) Text 2: „Ein Drache setzt sich aus zwei Paaren jeweils gleichlanger Nachbarseiten zusammen.“ (günstig, da unabhängig von speziellen Bezeichnungen)

6 Hamburger Verständlichkeitskonzept
Die Sprache als zentrale Repräsentationsform oder Wie können Inhalte verständlich erklärt werden? Hamburger Verständlichkeitskonzept

7 Hamburger Verständlichkeitskonzept
Vorbemerkung Mathematik gilt als schwer zu begreifen Als guter Lehrer gilt, wer gut erklären kann Was aber macht eine gute Erklärung aus? Kann man gutes Erklären schulen?

8 An welcher Stelle im Unterricht?
Hamburger Verständlichkeitskonzept An welcher Stelle im Unterricht? Lehrervortrag Ergänzende Texte zu Lehrervortrag Tafelanschrift Gestaltung von Texten für Gruppenarbeit Gestaltung von Texten für Arbeitsblätter

9 Aspekte guten Erklärens
Hamburger Verständlichkeitskonzept Aspekte guten Erklärens Inhalt des Textes Fachdidaktik Gestaltung des Textes Verständlichkeitskonzept Medienpsychologische Aspekte Atmosphäre Stimmliche Gestaltung Anpassung an Adressaten

10 Das Hamburger Verständlichkeitskonzept
Empirisch überprüftes Konzept zur Gestaltung verständlicher Texte ErfolgreichesTrainingsprogramm In verschiedenen Bereichen angewandt Erster Schritt (Suche nach Verständlichmachern): über 1000 Schüler bekamen Texte von über 100 Lehrern Zweiter Schritt (Die Bewährungsprobe der 4 Verständlichmacher): Weitere Untersuchungen mit über 500 erwachsenen Lesern aus verschiedenen Bevölkerungsgruppen zeigten, dass Texte verbessert werden konnten und dies zu erheblich höherer Behaltensleistung und Zufriedenheit führte. Dritter Schritt: (Trainierbarkeit der 4 Verständlichkeitsmacher): 90% der Pädagogen erwiesen sich als trainingsbedürftig und Großteil davon konnten nach Training erheblich bessere Texte formulieren.

11 Was haben sie herausgefunden?
Hamburger Verständlichkeitskonzept Was haben sie herausgefunden? Manche Texte wurden gut, andere schlecht verstanden Unabhängig vom Inhalt konnten 4 Hauptmerkmale (Dimensionen) als wesentlich identifiziert werden Jedes dieser Merkmale ist messbar

12 Die vier Dimensionen der Verständlichkeit
Hamburger Verständlichkeitskonzept Die vier Dimensionen der Verständlichkeit Einfachheit Gliederung-Ordnung Kürze-Prägnanz Zusätzliche Stimulanz

13 Dimension: Einfachheit
Hamburger Verständlichkeitskonzept Dimension: Einfachheit einfache Darstellung komplizierte Darstellung kurze, einfache Sätze lange verschachtelte Sätze geläufige Wörter ungeläufige Wörter Fachwörter erklärt Fachwörter nicht erklärt konkret abstrakt anschaulich unanschaulich optimal ++ + o - --

14 Dimension: Gliederung-Ordnung
Hamburger Verständlichkeitskonzept Dimension: Gliederung-Ordnung Formal gegliedert Formal ungegliedert folgerichtig zusammenhanglos, wirr gute Unterscheidung von Wesentlichem und Unwesentlichem schlechte Unterscheidung von Wesentlichem und Unwesentlichem der rote Faden bleibt sichtbar man verliert oft den roten Faden alles kommt der Reihe nach Innere Ordnung (geliedert, ungegliedert) Äußere Ordnung (folgerichtig,.....) alles geht durcheinander optimal ++ + o - --

15 Dimension: Kürze-Prägnanz
Hamburger Verständlichkeitskonzept Dimension: Kürze-Prägnanz zu kurz zu lang aufs Wesentliche beschränkt viel Unwesentliches gedrängt breit aufs Lehrziel konzentriert abschweifend knapp ausführlich jedes Wort ist notwendig vieles hätte man weglassen können fast nur Formeln sehr viel alltagssprachlicher Text ++ optimal + o - --

16 Dimension: Zusätzliche Stimulanz
Hamburger Verständlichkeitskonzept Dimension: Zusätzliche Stimulanz Zum Mitdenken anregend Keine Anregungen zum Mitdenken lebendig nüchtern interessant farblos abwechslungsreich Gleichbleibend neutral persönlich unpersönlich ++ optimal + o - --

17 Optimalwerte in Übersicht
Hamburger Verständlichkeitskonzept Optimalwerte in Übersicht Einfachheit Gliederung-Ordnung ++ ++ Kürze-Prägnanz Zusätzliche Stimulanz + o + o -

18 Hamburger Verständlichkeitskonzept
Textbeispiel A Vergleicht man zwei Strecken a und b hinsichtlich ihrer Größe, so kann es vorkommen, dass a in b genau r-mal enthalten ist, wobei r eine ganze Zahl darstellt. In diesem Fall können wir das Maß der Strecke b durch das von a ausdrücken, indem wir sagen, dass die Länge von b das r-fache der Länge von a ist. Oder es kann sich zeigen, dass man, wenn auch kein Vielfaches von a gleich b ist, doch a in, sagen wir, n gleiche Strecken von der Länge a/n teilen kann, so dass ein ganzes Vielfaches m der Strecke a/n gleich b wird: (1) Wenn eine Gleichung der Form (1) besteht, sagen wir, dass die beiden Strecken a und b kommensurabel sind, da sie als gemeinsames Maß die Strecke a/n haben, die n-mal in a und m-mal in b aufgeht. E: Höchst komplizierter Satzbau, sehr abstrakt G-O: kaum äußere Ordnung, mäßig folgerichtige innere Ordnung K-P: relativ knapp, manch Formulierungen unnötig umständlich Z-St: Keine Anregungen vorhanden ++ ++ Einfachheit: - Gliederung-Ordnung: o + o + o - Kürze-Prägnanz: o Zusätzlich Stimulanz: - -

19 Hamburger Verständlichkeitskonzept
Textbeispiel B Man sagt: 2 Strecken sind kommensurabel, wenn sie ein gemeinsames Maß haben. Was bedeutet das:“ein gemeinsames Maß haben“? Angenommen, eine Strecke ist 6cm die andere 10cm lang. Die beiden Strecken sind kommensurabel: Sie haben als gemeinsames Maß 2cm. Es passt in die eine Strecke genau 3mal, in die andere genau 5mal. Auch für zwei Strecken a = 1,6cm und b = 4,31cm existiert ein gemeinsames Maß: z.B. e = 0,01cm. Es steckt 160mal in Strecke a und 431mal in der Strecke b. Zwei Strecken a und b sind also dann kommensurabel, wenn es eine Strecke e gibt, mit der sowohl a als auch b restlos ausgelegt werden können. Geht das nicht immer? Nein! Wir werden zeigen, dass es auch Fälle nichtkommensurabler Strecken gibt. Egal, wie klein dort die Strecke e gewählt wird: es bleibt immer ein Rest! ++ ++ Einfachheit: + Gliederung-Ordnung: + + o + o - Kürze-Prägnanz: o Zusätzlich Stimulanz: o