Grundbegriffe der Schulgeometrie

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1 Grundbegriffe der Schulgeometrie
Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil11 (M. Hartmann)

2 Mathematik für die Lebenswelt handhabbar machen
Bei diesem Titel stellt sich die Frage.. Ist denn Mathematik so wie wir sie im Unterricht vermitteln für die Lebenswelt nicht handhabbar?

3 Fragestellungen aus Alltag und Arbeitswelt
Welche Menge an Farbe benötige ich für das Streichen des Zimmers? Welche Menge an Sand darf auf den Hänger geladen werden? Kann dieser Felsblock noch von diesem Kran gehoben werden? … Charakteristika der Bearbeitung In der Realität grobe Schätzungen ohne Hilfsmittel (TR, FS, Stift, …) schnelle Ergebnisse zuverlässig Im Unterricht exakte Ergebnisse komplexe Lösungswege Vielzahl an Hilfsmitteln lange Lösungszeiten geringe Erfolgsquote Interpretationsprobleme Wir lösen doch im Mathematikunterricht Fragestellungen aus …wie…

4 Wie kann Unterricht handhabbare Mathematik vermitteln?

5 1. Stärkere Gewichtung von Schätzen und Überschlagen
Benötigte Werte für Berechnungen werden in Aufgaben nicht vorgegeben, sondern müssen mit einfachen Mitteln geschätzt werden Schätzwerte gewinnt man durch Vergleich mit bekannten Stützpunktgrößen Eine Reihe von Stützpunktgrößen müssen auswendig beherrscht werden (Allgemeinbildung!) Auf zentrale Stützpunktgrößen wie Körpermaße (Handspanne, Schrittlänge, …) oder andere typische Größenrepräsentanten wie Tafel Schokolade für 100g, Tetrapack Milch für ein Liter bzw. 1 kg, etc. muss permanent zurückgegriffen werden Überschlägiges Rechnen wird nicht als exotisches Randthema in zwei Schulstunden abgehandelt, sondern durchgängig als Werkzeug in Sachaufgaben genutzt und trainiert

6 Beispiel aus dem Musterquali Teil I
1. Stärkere Gewichtung von Schätzen und Überschlagen Beispiel aus dem Musterquali Teil I Turmhöhe h gesucht Körperhöhe eines Modells ≈ 1,85 m Rest auf Etagenhöhe ≈ ⅓ der Körperhöhe ≈ 60 cm Etagenhöhe ≈ 2,45 m Turmhöhe ≈ 5 • 2,5 m ≈ 12,5 m 5 h 4 Stützpunktgröße! 3 Vergleich! Überschlag! 2 ⅓ 1 Überschlag!

7 2. Motivierende Aufgabenstellungen im Umfeld der Schule aufgreifen
Wie viele Personen benötigt man , um diese Tischplatte zu heben? Kann dieser Sitzblock von einer Person getragen werden?

8 3. Zur Wahl günstiger Maßeinheiten anleiten
2 dm 20 cm 40 cm 4 dm günstige Maßeinheit ungünstige Maßeinheit Volumen ≈ 40• 40• 40 cm³ Volumen ≈ 4• 4• 4 dm³ Trainiert werden muss dabei z.B. der Vergleich mit Körpermaßen: Schritt 1m, Spannweite 2m, Handspanne 20cm (Klick) 20cm also eine Handspanne. Beide Handspannen also (Klick) 40 cm. Weiterhin muss aber auch trainiert werden, geeignete Maßeinheiten zu wählen, die die Kopfrechnung erleichtern. In diesem Fall hier ist es wesentlich klüger dm zu wählen, also (Klick) die Kantenlänge des Würfels als 4 dm zu beschreiben. Wir kommen als auf 4mal 4 = 16 mal 4 = =64 Kubikdezimeter 64 Kubikdezimeter also 64 Liter. Als Wasser 64 kg als Beton gut das Doppelte also etwa kg Von einer Person also nicht mehr zu tragen = cm³ = 64 dm³ hohe Ergebniszuverlässigkeit Fehleranfällig durch unnötig hohe Stellenzahl

9 Volumen der Platte Kantenlänge ≈ 9 dm G ≈ 9•9 dm² = 81 dm² h ≈ 3 dm
3. Wahl günstiger Maßeinheiten Volumen der Platte 9 8 3 dm 6 4 2 Geeignete Maßeinheit günstige Maßeinheit Kantenlänge ≈ 9 dm G ≈ 9•9 dm² = 81 dm² ≈ 80 dm² h ≈ 3 dm Überschlag! V ≈ 240 dm³ ≈ ¼ m³

10 Masse der Platte V ≈ 240 dm³ ≈ ¼ m³ 3. Wahl günstiger Maßeinheiten
zu kompliziert!

11 4. Stützpunkt-Relativ-Prinzip anwenden
Wasser 0,5 x 2 x 8 x 1 g Holz Stein Eisen 1cm³ 1dm³ 1 kg 2 m³ 4 dm³ 8 kg 1 t 1m³ 1dm³ 8 kg 1 t

12 Nun kann leicht geantwortet werden
4. Stützpunkt-Relativ-Prinzip Nun kann leicht geantwortet werden Wie viele Personen benötigt man , um diese Tischplatte mit 240 dm³ zu heben? …als Wasser 240 kg als Stein doppelt soviel also ≈ 500 kg Bei 50 kg Hebevermögen etwa 10 Personen Kann dieser Sitzblock mit 64 dm³ von einer Person getragen werden? Auch Freihandmathematik muss trainiert werden. Spannende Möglichkeiten dazu bieten sich i.a. bereits im unmittelbaren schulischem Umfeld. …als Wasser 64 kg als Stein doppelt soviel also ≈ 130 kg Nö!

13 Überprüfung der Praxistauglichkeit
4. Stützpunkt-Relativ-Prinzip Überprüfung der Praxistauglichkeit Mathematik funktioniert! Ruck! Hau! Schön ist es, wenn man die Praxistauglichkeit der Berechnungen gleich testen kann. Und tatsächlich Hau Ruck – Mathematik funktioniert Das war nun bei dem Tisch recht einfach…

14 5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln
Was macht man bei komplizierteren Formen? …Was macht man aber … Bei Kugeln etwa? Hier ist die Formel V=… einfach zu kompliziert. Bei komplizierteren Formen vereinfacht und verbildlicht man die Formeln

15 Vereinfachen und Verbildlichen: Kugelvolumen
5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln Vereinfachen und Verbildlichen: Kugelvolumen Schauen wir uns das zunächst speziell für das Kugelvolumen an.. … mit derart vereinfachter Formel…

16 Wenn die Masse der Kugel zum Kinderspiel wird…
5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln Wenn die Masse der Kugel zum Kinderspiel wird… Durchmesser ≈ 1m Würfel V ≈ 1 m³ Kugel V ≈ 0,5 m³ Wasserkugel m ≈ 0,5 t ..wird die Masse der Kugel nicht nur für das Mädchen zum Kinderspiel Steinkugel m ≈ 1 t

17 Gold ist Luxus aber faszinierend
5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln Gold ist Luxus aber faszinierend Wasser 0,5 x 2 x 8 x 20 x Gold 1 g Holz Stein Eisen 1cm³ 1dm³ 1 kg Froschkönig d ≈ 10cm V ≈ 0,5 dm³ Werfen wir nochmals ein Blick zurück zu unseren Stützpunkt-Relativ-Prinzip. Sicherlich gehört Gold (Klick) nicht zu den zentralen wichtigen Stoffen, seine Berücksichtigung im Unterricht stellt gewissermaßen einen Luxus dar (Klick) ist aber faszinierend, schon allein wegen seiner immensen Dichte. Es ist fast (Klick) 20X schwerer als Wasser Besonders nett finde ich die Froschkönigszenerien, wenn in alten Filmen die Prinzessin mit einer Goldkugel spielt. Diese Kugel hat etwa – wie die meine hier einen Durchmesser von (Klick) 10 cm. Damit ein Volumen von (Klick) einem halben Liter. als Wasser ein halbes Kilogramm, als Gold das 20-fache, also etwa 10 kg! Man kann sich die Prinzessin als etwa mit 10 Milchtüten jonglierend vorstellen. ….Kommen wir nach diesem kleine Exkurs zu Goldkugeln zurück zu weiteren zentralen Vereinfachungen und Verbildlichungen 1m³ 10 kg ! 1 t

18 Vereinfachung und Verbildlichung: Kreisfläche
5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln Vereinfachung und Verbildlichung: Kreisfläche AKreis = pr² AKreis ≈ 3,14 r² ≈ 3 r² Die Kreisflächenformel A=…ist bedeutungsleer und damit allein schwer zu merken, wenn man sich AKreis ≈ ¾ AUmquadrat

19 Vereinfachung und Verbildlichung: Zylindervolumen
5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln Vereinfachung und Verbildlichung: Zylindervolumen VZylinder = pr²h GZylinder ≈ ¾ GQuader VZylinder ≈ ¾ VQuader Die Zylinderformel.. Es bietet sich wieder an, den Zylinder mit seinem Umquader zu vergleichen. Da beides gerade Säulen sind hängt ihr Volumen wesentlich von den (klick)Grundflächen ab. Für diese gilt..(Klick) Damit ist auch das Volumen (Klick) des Zylinders ¾ des Volumen seines (Klick) Umquaders. Hier (Klick ) nochmals in einem Bild veranschaulicht

20 Vereinfachung und Verbildlichung: Kegelvolumen
5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln Vereinfachung und Verbildlichung: Kegelvolumen VKegel = ⅓ pr²h VKegel = ⅓ VZylinder ¾ VUmquader Üblicherweise wird das Kegelvolumen als ein Drittel des Umzylindervolumens berechnet VKegel ≈ ¼ VQuader

21 Vereinfachung und Verbildlichung: Kugeloberfläche
5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln Vereinfachung und Verbildlichung: Kugeloberfläche OKugel = 4 pr² OKugel = 4 • AKreis ≈ 4 • ¾ • AQuadrat Üblicherweise wird das Kegelvolumen als ein Drittel des Umzylindervolumens berechnet OKugel ≈ 3 • AQuadrat = ½ • OWürfel

22 5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln
p ≈ 3

23 Wie kann Unterricht handhabbare Mathematik vermitteln?
Stärkere Gewichtung von Schätzen und Überschlagen Motivierende Aufgabenstellungen im Umfeld der Schule Wahl günstiger Maßeinheiten Stützpunkt-Relativ-Prinzip Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln

24 Warum sollte im Unterricht auch handhabbare Mathematik vermittelt werden?
Freihalten des Arbeitsgedächtnisses von unnötig komplizierten Verfahren (Entlastungsaspekt) Wahrnehmung von Mathematik als hilfreiches, einfach zu bedienendes Werkzeug (Motivationsaspekt) Befähigung zu den in Alltag und Arbeitswelt oft notwendigen Abschätzungen (Anwendungsaspekt) Wachhalten mathematischer Begriffe in Alltagssituationen (Rückwirkungseffekt) Aufrechterhaltung für die Begriffsbildung wesentlicher Vorstellungen (Begriffsbildungsaspekt) Verstärkung der Motivation, sich mit inhaltlichen Fragen der Sachsituation auseinanderzusetzen (Umwelterschließungsaspekt)

25 Die goldene Kuppel des Felsendoms
Anspruchsvolle Aufgabe zum Selbsttest Die goldene Kuppel des Felsendoms „Der Felsendom (im Sinne von Felsenkuppel قبة الصخرة qubbat as-sachra) ist das wohl bekannteste Wahrzeichen Jerusalems … …Der Durchmesser des Innenkreises beträgt 20,37 Meter. Welche Oberfläche etwa hat die Kuppel? Welche Masse an Gold würde für eine Blattgold-belegung etwa benötigt? Welchem Goldvolumen würde das etwa entsprechen?

26 Möglicher Schätzweg Welche Oberfläche etwa hat die Kuppel?
Workshop Möglicher Schätzweg Welche Oberfläche etwa hat die Kuppel? Oberfläche ≈ ½ • (20m)² = 600 m² Welche Masse an Gold würde für eine Blattgoldbelegung etwa benötigt? Für 1 m² sind 2 g nötig. Daraus folgt: Für 600 m² sind 1200g nötig Welchem (Kugel-) Volumen würde das etwa entsprechen? 1dm 1,2dm 1,2 kg Wasser misst 1,2 dm³; Der Umwürfel der Goldkugel 120 cm³ 5• 5• 5 = 125 Gold misst 1/20, also d ≈ 5cm 1dm 0,6cm 60 cm³ d ≈ 5cm

27 Kongruenzabbildungen
Propädeutisch: Abbildungen, die Figuren stets auf deckungsgleiche abbilden, heißen Kongruenzabbildungen Frage: Wie bildet man eine Figur F1 auf eine deckungsgleiche Figur F2 ab? Bildfigur parallel Bildfigur zusätzlich gedreht Bildfigur liegt spiegelbildlich Bildfigur hat entgegengesetzten Drehsinn, liegt aber nicht spiegelbildlich Antwort: Die Abbildung auf eine deckungsgleiche Figur gelingt stets allein durch Verschiebung, Drehung (mit Sonderfall Punktspiegelung), Achsenspiegelung oder Schubspiegelung!

28 Fachmathematisch: Mögliche Definitionen:
Def 1.: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich heißt Kongruenzabbildung (Satz: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich ist immer auch geradentreu und winkelmaßtreu) Def 2.: Eine Verkettung von Achsenspiegelungen heißt Kongruenzabbildung Es lässt sich zeigen, dass jede längentreue Abbildung durch eine Verkettung von höchstens drei Achsenspiegelungen ersetzt werden kann (Dreispiegelungssatz). Somit sind die beiden Definitionen äquivalent! Eine Figur F2 heißt kongruent zur Figur F1, wenn F1 durch eine Kongruenzabbildung auf F2 abgebildet werden kann. Die Hintereinanderausführung von zwei Achsenspiegelungen entspricht stets einer Drehung oder eine Verschiebung (Drehsinn erhaltend/gerade), die von drei Achsenspiegelungen stets einer Achsenspiegelung oder einer Schubspiegelung (Drehsinn umkehrend/ungerade) Es gibt damit nur diese vier Typen von Kongruenzabbildungen Hintereinanderausführungen mehrerer Kongruenzabbildungen können stets durch eine einzige ersetzt werden

29 Verkettung von Kongruenzabbildungen
Wesentliches Argument ist die Drehsinnerhaltung g○g, u○u liefert g, also Drehung oder Verschiebung g○u, u○g liefert u, also Achsenspiegelung oder Schubspiegelung „Verschiebung ○ Verschiebung = Verschiebung“ „Verschiebung ○ Drehung = Drehung ○ Verschiebung = Drehung“ „Drehung ○ Drehung = Verschiebung“, falls die Summe beider Drehwinkel ganzzahliges Vielfaches von 360° ist = Drehung“, andernfalls „Achsenspiegelung ○ Achsenspiegelung = = Verschiebung“, falls die beiden Achsen parallel liegen = Drehung“, um den doppelten Schnittwinkel der Achsen andernfalls

30 Symmetrie Symmetrie nennt man die Eigenschaft einer Figur bzw. eines Körpers, durch eine (von der Identität verschiedenen) Kongruenzabbildung auf sich selbst abgebildet zu werden. Zu jeder Kongruenzabbildung existiert eine eigene Form der Symmetrie. In der Ebene sind dies: Achsenspiegelung → Achsensymmetrie Drehsymmetrie Verschiebungs- bzw. Translationssymmetrie Schubspiegelungssymmetrie

31 Allgemeinerer Symmetriebegriff z.B. in der Physik
„Allgemein sprechen wir von Symmetrie, wenn man ein Objekt bzw. ein physikalisches Gesetz einer bestimmten Operation unterwerfen kann und es danach dieselbe Gestalt hat bzw. auf dieselben Resultate führt wie zuvor. Die in den Gesetzen erhaltenen Symmetrieeigenschaften erkennt man also dadurch, daß die entsprechenden Gleichungen und damit die durch sie beschriebenen Vorgange invariant gegenüber bestimmten Symmetrieoperationen sind". Bethge. K., Schröder. U. E., 1991, Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen, Darmstadt. (S.20)

32 Achsensymmetrie (bzw. analog: Ebenensymmetrie im Raum)
Def.: Eine Figur F heißt achsensymmetrisch, wenn eine Achsenspiegelung existiert, die F auf sich selbst abbildet. Beispiele: Figur F1 und F2 haben jeweils keine Symmetrieeigenschaft F1 liegt spiegelbildlich zu F2 F1 ist Urbild und F2 ist Bild der Spiegelung an a (bzw. umgekehrt) Die Vereinigung von F1 mit F2 ergibt eine achsensymmetrische Figur F1 F2 a

33 Wo findet man (näherungsweise) achsensymmetrische Objekte und warum haben sie diese Eigenschaft?
Natur: Tierwelt: Mensch, Huftiere, Katzen, Schmetterlinge, Vögel, Insekten,… Pflanzenwelt: Blätter, Blüten, Früchte, Grobumriss von Bäumen, … Geologie: Kristalle, Vulkane,… Ursache: Fortbewegung erfolgt in eine Richtung; Orientierung nach links bzw. rechts gleichberechtigt, Flugfähigkeit, Symmetrisches Wachstum aufgrund symmetrischer Bedingungen…. Artefakte: Alltagsgegenstände, Bauwerke, Kunstobjekte: Ursache: Anpassung an vorhandene Symmetrie (z.B.: Brille, Stuhl, Toilette, …) Vermeidung von Drehmomenten, Kräfteverteilung, Statik (z.B.: Schaufel, Rechen, Gewölbe…) Ästhetik (Abbild von Mensch und Tier, Symbol für Ausgewogenheit und Ordnung)

34 Drehsymmetrie Def.: Man sagt: Eine Figur F hat eine n-zählige Drehsymmetrie, wenn eine Drehung um 360°/n (n>1) existiert, die F auf sich selbst abbildet. Beispiele: Punktsymmetrische Figur Drehsymmetrische Figur mit dreizähliger Drehsymmetrie vierzähliger Drehsymmetrie Reguläres n-Eck Dreht man eine Figur n-1-mal um 360°/n und vereinigt sie mit ihren n-1 Bildern, so entsteht eine Figur mit n-zähliger Drehsymmetrie

35 Verschiebungssymmetrie
Verschiebungssymmetrische Figuren können nicht begrenzt sein Beispiele: Gerade Bandornamente Parkette

36 Schüleraktivitäten und Veranschaulichungen zu Kongruenzabbildungen und Symmetrien
Achsenspiegelung - Achsensymmetrie: Klecksbilder Umklappen einer Figur auf Folie Einfach gefaltetes Papier schneiden durchstechen Kohlepapier Spiegel Pantomime Miraspiegel Bauen z.B. mit Lego Karopapier (Achslage parallel oder diagonal) „Konstruktion“ mit Zirkel Geodreieck Finden (z.B. mit Spiegel) und Einzeichnen von Symmetrieachsen, Ergänzen zu symmetrischer Figur

37 Drehung - Dreh- bzw. Punktsymmetrie:
Drehung einer Figur auf Folie „Konstruktion“ mit Zirkel Geodreieck Doppelt gefaltetes Papier schneiden Doppelspiegel Erzeugung einer drehsymmetrischen Figur durch mehrfaches Abbilden Finden und Einzeichnen des Drehpunkts bzw. des Symmetriezentrums Problematisieren: Riesenrad (Gondeln parallel) vs. Mond (Mondgesicht) Verschiebung - Verschiebungssymmetrie: Verschiebung einer Figur auf Folie Parallelverschiebung mit Geodreieck und Lineal Erzeugung von Bandornamenten Doppelt (mehrfach) parallel gefaltetes Papier schneiden Finden und Markieren einer Elementarzelle eines Bandornaments