Lehrplan Mathematik Jgst. 8 http://isb.contentserv.net/g8/ http://www.isb.bayern.de

Kürzungen Bruchungleichungen Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen Vierecke, „Beweistechniken“ Vektorbegriff Tangentenkonstruktionen; Sehnenviereck; Tangentenviereck; Umfangswinkel Flächenmessung bei Dreiecken und Vierecken Einführung in die Raumgeometrie, Schrägbild …

8.1 Funktionale Zusammenhänge (ca. 41 Std.) Inhalte 8.1 Funktionale Zusammenhänge (ca. 41 Std.) Proportionalität (ca. 9 Std.) Funktion und Term (ca. 9 Std.) Lineare Funktion (ca. 13 Std.) Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.) 8.2 Stochastik: Laplace-Experimente (ca. 12 Std.) 8.3 Funktionale Zusammenhänge: elementare gebrochen-rationale Funktionen (ca. 16 Std.) 8.4 Strahlensatz und Ähnlichkeit (ca. 15 Std.)

M 8.1.1 Proportionalität (ca. 9 Std.) charakteristische Eigenschaften direkt und indirekt proportionaler Größen in Fachsprache beschreiben Anwendung der neuen Kenntnisse bei Schlussrechnung sowie bei naturwissenschaftlichen Fragestellungen experimentell Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Durchmesser ermitteln direkte Proportionalität, dabei Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Radius indirekte Proportionalität

M 8.1.2 Funktion und Term (ca. 9 Std.) unterschiedlichste funktionale Abhängigkeiten (z. B. Fieberkurven, Klimadiagramme, Handy-Tarife) Unterschiedlichste Darstellungsformen, z. B. Tabellen, Diagramme, Terme Beispiele verschiedenartiger Funktionen spezielles Bsp. für nichtlinearen Zusammenhang: Kreisinhalt (anschauliche Herleitung) Zusammenhang zwischen Term und Graph (Funktionsplotter) Vertiefen von Rechenfertigkeiten (Werte von Bruchtermen, Wertetabellen)

M 8.1.3 Lineare Funktion (ca. 13 Std.) Anknüpfungen an direkte Proportionalität und Alltag Vertrautwerden mit diesem grundlegenden Funktionstyp Bestimmung von Nullstellen führt auf das Lösen von Gleichungen Definition der linearen Funktion, Interpretation der Parameter Arbeiten mit linearen Funktionen und ihren Graphen Lösen linearer Ungleichungen (rechnerische Lösung und graphische Veranschaulichung)

M 8.1.4 Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.) Schüler erkennen: Kenntnisse über lineare Funktionen bei der Lösung hilfreich Bearbeitung inner- und außermathematischer Fragestellungen graphische und rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Anwendung in Sachzusammenhängen - mind. 1 rechnerisches Lösungsverfahren - kein Schwerpunkt auf „technischer Rechenfertigkeit“

M 8.1.4 Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.) Schüler erkennen: Kenntnisse über lineare Funktionen bei der Lösung hilfreich Bearbeitung inner- und außermathematischer Fragestellungen graphische und rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Anwendung in Sachzusammenhängen Gleichungen mit zwei Variablen Ungleichungen mit zwei Variablen* Gleichungssysteme mit 2 Variablen Einsetzungsverfahren Gleichsetzungsverfahren Additionsverfahren Sachaufgaben Gleichungssysteme mit 3 Variablen*

M 8.2 Stochastik: Laplace-Experimente (ca. 12 Std.) Anknüpfen an Unterstufe: Zufallsexperimente, absolute und relative Häufigkeit intuitiver, statistischer „Wahrscheinlichkeitsbegriff“ Fachsprache Baumdiagramme und geschicktes Abzählen Einsicht, dass eine umfassendere Formulierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs nötig ist Ergebnis, Ergebnisraum, Ereignis Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, Zählprinzip Abgrenzung des Begriffs Laplace-Experiment durch Beispiele

Anknüpfen an indirekte Proportionalität M 8.3 Funktionale Zusammenhänge: elementare gebrochen-rationale Funktionen (ca. 16 Std.) Anknüpfen an indirekte Proportionalität Schnittpunktbestimmungen führen auf Bruchgleichungen (flexibel lösen) Rechnen mit Bruchtermen Rechnen mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Beispiele gebrochen-rationaler Funktionen einfache Bruchgleichungen und Bruchterme, Auflösen von Formeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

M 8.4 Strahlensatz und Ähnlichkeit (ca. 15 Std.) Verbindung von Geometrie und Algebra Lösen von Bruchgleichungen Ähnlichkeitsbegriff im Zusammenhang mit dem maßstäblichen Vergrößern und Verkleinern von Figuren; funktionale Zusammenhänge Strahlensätze Ähnlichkeit von Dreiecken

M 8.1.1 Proportionalität - Palma Aufgabe: Für eine Klassenfahrt wird ein Reisebus zu einem Festpreis gebucht. Wenn alle 30 Schüler mitfahren, muss jeder 20 EUR bezahlen. Wie viel muss jeder bezahlen, wenn nur 25 Schüler mitfahren? (mathematik lehren, Heft 118)

M 8.1.1 Proportionalität - NICHT 200 Arbeiter arbeiten an 225 Tagen jeweils 8 h, nach 90 Tagen wird 1/5 der Arbeiter abgezo-gen, der Rest arbeitet dafür eine Stunde mehr. Wann wird der Tunnel fertig? Wie viele Arbeiter hätte man nach 90 Tagen abziehen können, damit der Tunnel nach 290 Tagen fertig wird, wenn die verbleibenden Arbeiter täglich 6 h arbeiten?

Der Kreisumfang in Jahrgangsstufe 8

Funktionale Zusammenhänge in Jahrgangsstufe 8 aus http://modellversuch-mathematik.he.schule.de/

Funktionale Zusammenhänge in Jahrgangsstufe 8 Gib den Funktionsterm von f und Gleichung von g an. Liegt A(-9 / -5,5) auf Gf? Zeichne Gf und Gg in ein KOS. Für welche x-Werte sind die Funktionswerte von f kleiner als Null? Was bedeutet dies für den Graphen Gf?

Vertiefen der Rechenfertigkeit in M 8.1.2 Zieltext „M 8.1.2 Funktion und Term „... vertiefen sie ihre Rechenfertigkeit auch anhand einfacher Bruchterme …“ An nicht zu komplexe Beispiele folgender Art ist bei der Berechnung von Termwerten gedacht:

Der Kreisinhalt in Jahrgangsstufe 8

Der Kreisinhalt in Jahrgangsstufe 8

Zusammenfassung: Kreis in Jgst. 8 (ca. 4 Std.) experimentell Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Durchmesser ermitteln: Flächeninhalt als Beispiel für eine nicht-lineare Funktion keine exakte Herleitung von π keine Formeln für Bogenmaß und Kreisteile, nur intuitiv erkennbare Bruchteile: z. B. ¼, 1/6, 1/8 Wiederaufgreifen in Jgst. 9 und 10 explizit im LP verankert

Lineare Funktion in Jahrgangsstufe 8 aus http://modellversuch-mathematik.he.schule.de/

Ergebnisse BMT 2002 25,9 %, 28,9 %

Stochastik in Jahrgangsstufe 8 Typ. Niveau aus http://modellversuch-mathematik.he.schule.de/

Stochastik in Jahrgangsstufe 8 Typ. Niveau

Stochastik in Jahrgangsstufe 8 Das Glücksrad wird einmal gedreht. Klaus, Peter und Irmi geben folgende Ergebnisräume an: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, {rot, grün, blau}, {gerade Ziffer, ungerade Ziffer}. Beurteile, ob man mit diesen Ergebnisräumen Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Formel von Laplace berechnen kann. 8 6 5 3 7 2 4 1 1

Beispielaufgabe: Bruchterm in Jgst. 7 a) Berechne T(4), T(-5) und T( 1/2). b) Welchen Wert der Variablen a darfst du nicht in diesen Term einsetzen? c) Wo liegen die Zahlen auf dem Zahlenstrahl, die beim Einsetzen möglichst große Termwerte ergeben?

Beispielaufgabe: Bruchterme in Jgst. 8 Vereinfache die beiden Terme, falls dies möglich ist. a) b) Begründe, dass die Termwerte von b) nicht größer als 1 werden können, egal welche Zahl man für x einsetzt.

Ergebnisse BMT 2001 56,0 %, 13,6 %, 24,6 %

Beispiele gebrochen-rationaler Funktionen einfache Funktionen als gebr.-rat. erkennen und zeichnen können (Wertetabelle) Termbeispiele: maximal eine Polstelle, keine schiefen Asymptoten keine Systematik mit Zähler- und Nennergrad Funktionsplotter zur Visualisierung verwenden, Kurvenverlauf/Eigenschaften des Graphen in einfachen Fällen aus Term begründen kein Thematisieren des Grenzwertbegriffs, nur aus dem Term und Graph Annäherungen erkennen

Gebrochen-rationale Funktionen und Bruchgleichungen Funktion aus verschiedenen Graphen erkennen Näherungslösung der Gleichung graphisch bestimmen

Bruchgleichungen 1. Bruchgleichungen, z. B. Schnittpunkt der Graphen von Funktionen mit Term und 2. Auflösen von Formeln, z. B. Flächenformel Trapez, Linsengleichung

Bruchgleichungen in Jahrgangsstufe 8 - NICHT

Ergebnisse BMT 2003 - 31,3 % 31,3 %

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten in Jahrgangsstufe 8 Finde alle zueinander äquivalenten Terme: x10 , x-6 , (x-2)4 , x5 + x5 , (-x)6 , x-8 , x15:x5 , x-22x16 , -x6

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!    Christian Scheungrab Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung, Abt. Gym. Schellingstr. 155 80797 München 089 – 2170 – 2138 Christian.Scheungrab@isb.bayern.de