Physik IV: Quantenmechanik Historische Höhepunkte: 1900 Planck Einführung der „Hilfsgröße“ h (Wirkungsquantum) Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung 1905 Einstein Einführung des Lichtquants (Photon), E  h  Erklärung des Photoeffekts 1907 Einstein Gitterschwingungsquanten (Phononen), Evib  h  Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper 1913 Bohr Einführung des Drehimpulsquants, ħ  h   Erklärung des Wasserstoffspektrums 1924 de Broglie Postulat der Welle-Teilchen-Dualität, p  ħ k Vorhersage von Materiewellen 1925 Schrödinger Wellen-Quantenmechanik Heisenberg Matrizen-Quantenmechanik Geburt der modernen Quanten(feld)theorie VL  Phänomenologie (mit Experimenten) Anwendungen & Computer-Simulationen zur abstrakten Theorie

1. Die Plancksche Quantenhypothese 1.1. Wärmestrahlung Wärmestrahlung  Temperatur-abhängige e.m. Strahlung von Körpern Beispiel: Wärmestrahlung unserer Sonne Beispiel: Kosmische Infrarot-Hintergrundstrahlung vom Universum  Licht von der Materie/Antimaterie-Vernichtung  wurde 3…4105 Jahre nach dem Urknall freigesetzt als Kerne und Elektronen neutrale Atome bildeten Folgerung: Auch durch Vakuum getrennte Körper können sich mittels Austausch von Wärmestrahlung im thermischen Gleichgewicht befinden AQ 1.01  Temperaturstrahlung mit 2 Parabolspiegeln

1.1.1. Erzeugung und Absorption von Strahlung Beobachtung: Es gibt zwei Strahlungsklassen Typ 1: Diskrete Frequenzspektren (Linienspektren) bei atomaren  molekularen Gasen nicht zu großen Drucks  unabhängige Partikel T-unabhängig; Eigenschaft der Atomhüllen-Struktur  Bohrsches Atommodell Typ 2: Kontinuierliche Frequenzspektren bei festen  flüssigen Strahlern, Gasen großen Drucks, dichten Plasmen in charakteristischer Weise T-abhängig Beispiele: Glühlampe, Bogenlampe, Metallschmelze, Sonnenplasma AQ 1.07  Darstellung von Linienspektren AQ 1.09  Energieverteilung des weißen Lichtes

Oberflächenelement des Strahlers ( Projektion  Strahlungsrichtung ) Emissionsvermögen: d dF Oberflächenelement des Strahlers ( Projektion  Strahlungsrichtung ) von dF in d emittierte Strahlungsleistung Definition: Emissionsvermögen: PE  Geometriefaktor  E Strahlungsleistung pro Fläche und Raumwinkel AQ 1.03  Wärmestrahlungsgerät Beobachtung: E hängt von der Oberflächenbeschaffenheit ab schwarze Oberfläche  E groß spiegelnde  weiße Oberfläche  E klein

Integrales Absorptionsvermögen: absorbierte Strahlungsleistung auftreffende Strahlungsleistung Gedankenexperiment: unterschiedl. Oberflächen ①, ②  T ① ② idealer Spiegel Vakuum P1 P2 thermisches Gleichgewicht 2. Hauptsatz (Thermodynamik)  unabhängig von Oberfläche Geometriefaktor Kirchhoffscher Strahlungssatz:

Kirchhoffscher Strahlungssatz: Defintion: Ein Körper heißt ideal schwarz, wenn seine Oberfläche alle elektromagnetische Strahlung vollkommen absorbiert, d.h. A  1. Folgerung: Ein ideal schwarzer Körper besitzt das größtmögliche Emissionvermögen für thermische Strahlung.

E* Technische Realisierungen von schwarzen Körpern: schwarze Oberfläche großer Rauhigkeit  Vielfachstreuung, allmähliche Absorption, kaum Reflexion Hohlraum mit geschwärzten Innenwänden Wandtemperatur T kleines Loch E* Prinzip: Praktische Realisierung: Heizung Thermoelement AQ 1.11  Hohlraumstrahlung: schwarzes Loch Schwarzkörperstrahlung  Hohlraumstrahlung  universelles Emissionsspektrum für gegebene Temperatur

1.1.2. Charakteristische Größen thermischer Strahlung Strahlungsfeld  Überlagerung ebener Wellen Energiedichte eines Strahlungsfeldes Spezialfall: Isotropes Feld

Spektrale Energiedichten eines Strahlungsfeldes Spezialfall: Isotropes Feld

Intensität bzw. Energieflussdichte eines Strahlungsfeldes dF  Spezialfall: Isotropes Feld

Messgröße: Strahlungs- bzw. Leuchtdichte einer Quellfläche  dF dFcos d dF  Die Strahlungsdichte S* ist die pro Raumwinkel und projizierter Emissionsfläche in einem weit entfernten Detektor registrierte Leistung Analog: Spektrale Strahlungsdichten Spezialfall: S* ist richtungsunabhängig  Quellfläche heißt Lambert- strahler. Hohlraumöffnungen sind Lambertstrahler!

Zusammenhang mit der Energiedichte des Quellfeldes:  dF c dt d dF  Analog: Isotropes Quellfeld:

r Strahlungsleistung auf infinitesimaler Empfängerfläche: 2 dF1 dF2 1 . dF2 2 r Quelle Detektor Bestrahlungsstärke (Intensität) am Detektor: OP 1.03  Abstandsgesetz von Licht

Strahlungsleistung auf ausgedehnter Empfängerfläche: dF1   r  r (  ,  ) 2 dF2 Lambertstrahler Emission in gesamten Halbraum: ( m   )

1.1.3. Hohlraumstrahlung Definition: Der ideale Hohlraum hat das Volumen V. Die Wände befinden sich im thermischen Gleichgewicht (Temeratur T). Folgerung 1: Leistungsbilanz der Wände an jeder Stelle: absorbiert emittiert Folgerung 2: Das Strahlungsfeld (Hohraumstrahlung) ist isotrop. Beweis: Betrachte Testscheibe. Therm. Gleichgewicht  Temperatur T. Angenommen, am Ort der Testscheibe wäre die Strahlung anisotrop: T dF Intensität groß Intensität klein Intensität klein T  T dF Intensität groß Drehung Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.

Folgerung 3: Das Strahlungsfeld (Hohraumstrahlung) ist auch homogen. Beweis: Betrachte Testscheibe. Therm. Gleichgewicht  Temperatur T. Angenommen, es gäbe 2 Orte mit unterschiedlicher Strahlungsintensität: T dF Intensität groß Intensität klein T dF Intensität groß Intensität klein T  T Verschiebung Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.

Kirchhoffsches Strahlungsgesetz Folgerung 4: Leistungsbilanz der Testscheibe an jedem Ort in jeder Orientierung T dF d Kirchhoffsches Strahlungsgesetz Thermische Emission und Absorption eines Körpers der Temperatur T sind über die Strahlungsdichte der zugehörigen Hohlraumstrahlung verknüpft:

ℕ Folgerung 5: Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung Wandgeometrie und Beschaffenheit beliebig (V  )  verwende o.B.d.A. ideal leitenden Würfel, Kantenlänge a   a Kubischer Hohlraumresonator Physik III  Eigenfrequenzen der stehenden Wellen (Moden) ℕ Beachte: Es gibt 2 Polarisationen pro Mode

Spektrale Modendichte Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung a ℕ Modendichte N()  Zahl der Moden in [ 0 ,  ] pro Volumen # Polarisationen Spektrale Modendichte

Rayleigh-Jeansches Strahlungsgesetz 1.1.4. Das Plancksche Strahlungsgesetz Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung: Mittlere Energie der Moden: Spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung: Klassisches Modell: W folgt Boltzmann-Verteilungsgesetz Rayleigh-Jeansches Strahlungsgesetz Experiment  nur OK für   0 (z.B. Infrarot, T  5000 K)  Ultraviolett-Katastrophe: 

Plancksche Hypothese: Jede Mode ist an quantisierte harmonische Schwingungen der Wandatome gekoppelt: ℕ ,,Hilfsgröße” h: Plancksches Wirkungsquantum: Das Energiequantum h wird von dem Feldquant des elektromagneti-schen Feldes, dem Photon, getragen. Die Energie W  n h  entspricht der Energie von n Photonen der Frequenz  im Hohlraum. Postulat: ,,Besetzungszahlen” n() folgen aus der klassischen Statistik Boltzmannsches Verteilungsgesetz  Normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für n: mit

Also: geometrische Reihe

Plancksches Strahlungsgesetz Vorhersage von Form und Normierung des thermischen Spektrums Infrarot-Grenze: h  ≪ k T   (klassischer Grenzfall ,,h  0”) Rayleigh-Jeans-Gesetz Ultraviolett-Grenze: h  ≫ k T   Wiensches Strahlungsgesetz

1 10 100 0,1 0,01 1000 0,4 0,8 1,2 1,6 2 Rayleigh-Jeans Planck Wien

Wiensches Verschiebungsgesetz Position des Maximums: Abkürzung: ! Temperaturabhängigkeit der Farbe glühender Festkörper Wiensches Verschiebungsgesetz

Stefan-Boltzmann-Gesetz Gesamte Energiedichte: Abkürzung: AQ 1.02  Strahlung von kaltem und heißem Wasser AQ 1.12  Stefan-Boltzmann-Gesetz Leistungsabgabe von Lambertstrahler (Fläche F) in Halbraum:  S F Stefan-Boltzmann-Gesetz Stefan-Boltzmann-Konstante

Quantenmechanik Anmerkungen: Experimentelle Messung des Hohlraumspektrums Bestätigung der Planckschen Theorie Messung von h durch Anpassung der Planck-Formel an gemessene Spektren Interpretation der Photonen als Korpuskeln mit Wellennatur (?) Energie: Impuls: Quantenmechanik Vorgriff: De Broglies Geniestreich  Gilt das vielleicht auch für Korpuskeln (Elektronen, Protonen, Viren, Katzen, ... ), die dann auch Wellennatur haben? Postulat:

1.2. Spezifische Wärme von Festkörpern 1.2.1. Klassische Theorie Erinnerung: Innere Energie eines Mols (NA Teilchen) einer Substanz: U Molare spezifische Wärme Avogadrokonstante Äquipartitionstheorem: Jeder Freiheitsgrad trägt den gleichen Anteil ½ RT der inneren Energie U. Gaskonstante # Freiheitsgrade 1-atomige Gase f  3 (Translation: 3, Rotation: 0) 2-atomige Gase f  5 (Translation: 3, Rotation: 2) mehratomige Gase f  6 (Translation: 3, Rotation: 3) Festkörper f  6 (Ekin: 3, Epot: 3) (Schwingungen der Gitteratome)

 Experimenteller Befund: 1000 T [K] 3R CV klassische Theorie Pb C 1000 T [K] 3R CV klassische Theorie Pb C  Klassische Theorie versagt, besonders drastisch bei kleinen Temperaturen Festkörpergitter aus leichteren Atomen stark gebundenen Festkörpergittern hohe Schwingungsfrequenzen Déjà-vu: Ultraviolettkatastrophe !! ?? Wärmestrahlung: Elektronen schwingen um Atomkerne  Photonen Innere Energie: Atome schwingen um Gitterplätze  Phononen

1.2.2. Das Einstein-Modell Postulat ( Verallgemeinerung der Planckschen Hypothese ): Die Schwingungsenergie harmonischer Oszillatoren (Eigenkreis-frequenz ) ist stets quantisiert und ist ein ganzzahliges Vielfaches des Grundquants . Bei Festkörpern ergibt sich  aus der ,,Federkonstante” der Atombindung an den Gitterplatz und das Grundquant der Energie heißt Phonon. Ein Schwingungs-Zustand eines Gitteratoms besteht aus n Phononen: Vorgriff: Quantenmechanisch korrekt für harmonische Oszillatoren:  macht hier keinen Unterschied (Glück gehabt)

quantenmechanische Grundzustandsenergie Mittlere Schwingungsenergie: Wie bei Hohlraumstrahlung Einstein-Temperatur quantenmechanische Grundzustandsenergie NA schwingende Atome, 3 räumliche Freiheitsgrade der Schwingung  Klassischer Grenzfall: T ≫ E  Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ E  Experiment 

(c  Phasengeschwindigkeit) 1.2.3. Das Debye-Modell Einstein: Atome an imaginäre Gitterpunkte gekoppelt  1 Frequenz Debye: Atome an alle Nachbaratome gekoppelt  Frequenz-Spektrum 2 transversale Schwingungen pro Raumrichtung: a a V 1 longitudinale Schwingung pro Raumrichtung: Effektive Grenzfreq. Modellparameter a ≫ Atomabstand  (wie bei Hohlraumstrahl.) Kontinuumsgrenzfall 1.1.3.  Spektrale Modendichte pro Polarisationstyp: (c  Phasengeschwindigkeit)

Planck Debye Einstein  0 g Normierung von n() im Debye-Modell: # Schwingungsmoden Debye-Grenzfrequenz: Debye-Temperatur:

Spezifische Wärme:

  Klassischer Grenzfall: T ≫ D Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ D  Erweiterungen: Mehrere Grenzfrequenzen (z.B. für anisotrope Kristalle) Beachte Phonon-Dispersion in spektraler Dichte

Rätsel: Freies Elektronengas in Metallen trägt nicht spürbar zu CV bei. Klassische Erwartung: Quantenmechanik: Elektronen besitzen den Spin ( Drall) Pauli-Verbot: Zwei identische Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) können sich nicht im gleichen Quantenzustand befinden. Theorie des Fermigases (VL Festkörperphysik, VL Quantenstatistik)  Die Dichte n() der Energiezustände  wächst mit ½ an. angeregt n()  F kT nicht anregbar T  0 n()  F T  0 K voll besetzt Fermi-Kante Fermi-Energie F ≫ kBZimmertemperatur  nur winzige Energieaufnahme durch thermische Anregung an der Fermikante

positive Aufladung bis zum ,,Haltepotential” 1.3. Photonen Newton, Descartes: Korpuskeltheorie des Lichtes  nicht erfolgreich Huygens, Fresnel, Hertz, Maxwell: Wellentheorie  erfolgreich Moderne Beobachtung: Das UV-Licht eines Lichbogens führt zur sofortigen Zündung einer anderen Funkenstrecke; ,,Photonen” (Licht-Korpuskel) schlagen Elektronen aus Elektrode  1.3.1. Der Photoeffekt Experiment von Hallwachs (1887): UV-Licht Metallplatte Elektrometer Plattenladung negativ positiv neutral Beobachtung Entladung keine Entladung positive Aufladung bis zum ,,Haltepotential” Elektrometer durch Röntgenstrahlen entladen AQ 1.14  Photoeffekt nach Hallwachs

Kompensations-Spannung Die Photozelle (Lenard, 1902)   Iph Photo-strom U R Strahlungsdichte S* Photokathode Elektronen Vakuumröhre Iph U U0 Sättigung Kompensations-Spannung AQ 1.15  Photoeffekt (h-Bestimmung mit Gegenfeldmethode) – nur qualitativ

Wellenbild Korpuskelbild ✔ ✔ S*↗  Iph↗ Befunde: Wellenbild Korpuskelbild ✔ ✔ S*↗  Iph↗ Sättigungsstrom unabhängig von U sobald Raumladungseffekte klein ✔ ✔ eU0  max. kinetische Energie ausgelöster Elektronen  abhängig von , nicht aber von S* ↯ ✔

Wellenbild Korpuskelbild Iph U U0 S* Wellenbild Korpuskelbild Photostrom setzt bei Grenzfrequenz g ein. g hängt vom Kathodenmaterial ab. ↯ ✔  Iph Material 1 Material 2 g1 g2 S* ↯ ✔

Wellenbild Korpuskelbild Iph U U0 S* Wellenbild Korpuskelbild Die Gegenspannung hängt charakteristisch von der Frequenz ab. ↯ ✔  e U0 g     Austrittsarbeit ↯ ✔

Wellenbild Korpuskelbild Iph U U0 S* Wellenbild Korpuskelbild Zwischen Lichteinfall und Photostrom gibt es keine messbare Verzögerung ↯ ✔ Beispiel: Austrittsarbeit aus Kathode Hohe Bestrahlungsintensität Elektronendichte Zeitverzögerung (Wellenbild)

Grenzfrequenz: Grenzwellenlänge: Hypothese (Einstein, 1905; Nobelpreis 1912): Licht ist in Photonen der Energie h quantisiert. Diese Quantisierung ist fundamental und hängt nicht mit der Quantisierung harmonischer Oszillatoren zusammen, wie bei der Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung. Einstein-Gleichung Vakuum-Potential E Fermi-Kante Leitungselektronen EF  AQ 1.20  Glühelektronenemission (Edison-Effekt) Grenzfrequenz: Grenzwellenlänge:

Messung von U0 als Funktion von   h,  Iph U U0 S* Messung von U0 als Funktion von   h,   e U0 g     Austrittsarbeit Oberfläche  eV g nm Au 5,3 234 UV Nb 4,3 288 UV Cs 2,14 579 Visible Ta / Cs 1,3 954 Near IR AQ 1.17  Photoeffekt (h-Bestimmung mit Leuchtdioden) Anwendung: Cs-aktivierte Photokathoden Quanteneffizienz typisch 25 

 Anwendung: Photomultiplier Experiment: Korpuskelnatur des Lichts Punktquelle (Spalt)  PM 0 PM 1 PM 1 PM 2 PM 2 Hohe Intensität  kontinuierlicher Photostrom in allen PMs Kleine Intensität  statistisch verteilte, kurze Stromstöße in einzelnen PMs Photomultiplier-Modelle

e e Moderner Detektor für Korpuskelstrahlung ( Teilchen): LEP-Speicherring, CERN, Genf (1989-2000) e e

e e      Ionisationsspur des positiven Myons  Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom  Absorptionssignal eines weniger harten Photons, abgestrahlt vom  Ionisationsspur des negativen Myons 

1.3.2. Der Comptoneffekt (Experiment: 1922, Nobelpreis: 1927) Messprogramm: Für jeden fest eingestell-ten Streuwinkel  drehe Monochromator- / Detektor-Arm (), bis das Detektor-Signal maximal ist. Blende Photon-Detektor Bragg-Kristall (Monochromator) Röntgen-Quelle Target-Material (Substanz mit schwach gebundenen Elektronen in Atomhüllen) Ungestreute Strahlung drehbarer Monochromator- / Detektor-Arm   AQ 1.27  Compton-Effekt mit Röntgenstrahlen

0 S  0 Klassische Theorie: ebene Welle quasi-freies Elektron in Atom Schwingung des Elektrons  Hertzscher Dipol ebene Welle Streuwellenlänge: S  0 Beobachtung: Neben der klassischen Streuung gibt es eine gestreute Komponente mit S > 0. Diese nicht-klassische Komponente wird umso stärker, je härter (je kleiner ) die einfallende Strahlung ist.

 me e   Streuung im quantenmechanischen Photonen-Bild: schwach gebunden: EB ≪ E  quasi-frei, in Ruhe Physik 3  Compton-Wellenlänge des Elektrons

Bemerkungen: Stets 0 und S gemischt. Grund: Kollektive Streuung am Atom, MAtom ≫ me. Compton-Formel experimentell bestätigt  noch eine unabhängige Messung von h. nur groß falls 0 ≲ OC  X- und -Strahlung: Ein Photon mit 0  C hat relativistische Masse me. Beim klassischen zentralen elastischen Stoß würde das Photon stehenbleiben, S  . Hier:

Schwarzes Loch mit Akkretionsscheibe Inverser Compton-Effekt: Streuung ultrarelativistischer Elektronen / Positronen (z. B. von Pulsaren, schwarzen Löchern in aktiven galaktischen Kernen) an weichen Photonen (z.B. thermischen Photonen der kosmischen 2,7K-Hintergrundstrahlung). Zurückführung auf Compton-Streuung durch Lorentztransformation ins Ruhesystem des e. AGN Cas A Schwarzes Loch mit Akkretionsscheibe relativistischerJet

1.3.3. Der Mößbauer-Effekt (Doktorarbeit: 1958, Nobelpreis: 1961) Atomhülle/-kerne  quantisierte Energieniveaus (Linienspektren) Beispiel: Fixiertes Atom Emission e E E0 E1 Lebensdauer T1 E1 e E E0 E1 Lebensdauer T1 E1 e Resonanzabsorption a AQ 1.36  Flammenfärbung ,   2 , E1  h   Natürliche Linienbreite

Beispiel: Atomhülle  Emission / Absorption  im sichtbaren Bereich Na-D-Linie: Beispiel: Atomkern  Emission / Absorption im X / -Bereich 57Fe-Linie: AQ 1.31  Natrium-Dublett

e e E E0 E1 Rückstoßeffekt bei freien Atomen: M Absorption: E E0 E1 Emission: M

Atomhülle: Na-D-Linie Rückstoßeffekt: Atomhülle: Na-D-Linie e a Emission / Reabsorption möglich Atomkern: Reabsorption nicht möglich e a AQ 1.30  Emission und Absorption von Natriumlicht AQ 1.32  Umkehr der Na-D-Linie

v Rückstoßfreie Emission / Absorption (Mößbauer-Effekt): Atom im Kristallgitter  M  MKristall    keine Phonon-Anregung  (überwiegt bei T ≪ D) Phonon-Anregung EG  Messvorrichtung: v ≲ O (1 ms) Emitter e Absorber a Detektor Dopplereffekt Zählrate v Anwendungen: Kernniveaus in e.m.-Feldern des Gitters Kernstruktur (Quadrupolmoment) Gitterdynamik (Phonon-Anregung) Gravitationsrotverschiebung 

v. Laue, Friedrich, Knipping (1912) 1.3.4. Röntgenbeugung ( Max von Laue: Experiment 1912, Nobelpreis: 1914 ) 1912 bekannt: Harte e.m. Strahlung (X, ) hat Teilchencharakter Offene Frage: Hat harte e.m. Strahlung auch Wellencharakter? Problem: Wellenlängen harter Strahlung im Å-Bereich. Wie stellt man Beugungsgitter her? Max von Laue  Verwende Kristallgitter zur Röntgenbeugung! Vakuumröhre e Röntgen-Strahlen Kristall Fotoplatte Beugungsbild v. Laue, Friedrich, Knipping (1912) Resultat: Welle / Teilchen Dualität der e.m. Strahlung Kristalle haben periodische Raumgitterstruktur

 Beispiel: Monochromatische Röntgenbeugung (Bragg-Reflexion) konstruktive Interferenz einer Netzebene  d   Glanzwinkel  Gitterpunkte  punktförmige Streuer d Netzebenenschar Konstruktive Interferenz aller Netzebenen: Bragg-Bedingung AQ 1.42  Bragg-Reflexion  ,   Messung von d d ,  fest  Monochromator für  keine Bragg-Reflexe; Medium wird optisch homogen. Typischer Wert: dmax  51010 m Vergleich: vis  5107 m

Neutronen-Abbremsung (Thermalisierung) Kollimator thermische Neutronen Fazit: Röntgenstrahlung hat sowohl Wellencharakter (Kristall-beugung...) als auch Teilchencharakter (Comptoneffekt,...). Das gilt auch generell für elektromagnetische Strahlung. Kernreaktor Neutronen-Absorber Moderator Neutronen-Abbremsung (Thermalisierung) Kollimator thermische Neutronen Kristall Detektor T  300 K  En  25 meV  Knüller: Laue-Reflexe wie bei Röntgenstrahlung mit   1,81010 m Neutronen sind auch Teilchen mit Wellencharakter!

Quantentheorie  Teilchen sind Wellen ... und Elektronen ? Dito ! Hypothese: Alle ,,Teilchen” (Neutrinos, Kerne, Moleküle, Kristalle, Katzen, Planeten, ...) haben Wellencharakter und alle ,,Kraftfeld-wellen” (elektromagnetisch, Gravitation, …) haben Teilchencharakter. AQ 1.47  Elektronenbeugung Quantentheorie  Teilchen sind Wellen Quantenfeldtheorie  Kraftfeldwellen sind Teilchen