Physik IV: Quantenmechanik

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1 Physik IV: Quantenmechanik
Historische Höhepunkte: 1900 Planck Einführung der „Hilfsgröße“ h (Wirkungsquantum) Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung 1905 Einstein Einführung des Lichtquants (Photon), E  h  Erklärung des Photoeffekts 1907 Einstein Gitterschwingungsquanten (Phononen), Evib  h  Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper 1913 Bohr Einführung des Drehimpulsquants, ħ  h   Erklärung des Wasserstoffspektrums 1924 de Broglie Postulat der Welle-Teilchen-Dualität, p  ħ k Vorhersage von Materiewellen 1925 Schrödinger Wellen-Quantenmechanik Heisenberg Matrizen-Quantenmechanik Geburt der modernen Quanten(feld)theorie VL  Phänomenologie (mit Experimenten) Anwendungen & Computer-Simulationen zur abstrakten Theorie

2 1. Die Plancksche Quantenhypothese
1.1. Wärmestrahlung Wärmestrahlung  Temperatur-abhängige e.m. Strahlung von Körpern Beispiel: Wärmestrahlung unserer Sonne Beispiel: Kosmische Infrarot-Hintergrundstrahlung vom Universum  Licht von der Materie/Antimaterie-Vernichtung  wurde 3…4105 Jahre nach dem Urknall freigesetzt als Kerne und Elektronen neutrale Atome bildeten Folgerung: Auch durch Vakuum getrennte Körper können sich mittels Austausch von Wärmestrahlung im thermischen Gleichgewicht befinden

3 1.1.1. Erzeugung und Absorption von Strahlung
Beobachtung: Es gibt zwei Strahlungsklassen Typ 1: Diskrete Frequenzspektren (Linienspektren) bei atomaren  molekularen Gasen nicht zu großen Drucks  unabhängige Partikel T-unabhängig; Eigenschaft der Atomhüllen-Struktur  Bohrsches Atommodell Typ 2: Kontinuierliche Frequenzspektren bei festen  flüssigen Strahlern, Gasen großen Drucks, dichten Plasmen in charakteristischer Weise T-abhängig Beispiele: Glühlampe, Bogenlampe, Metallschmelze, Sonnenplasma

4 Oberflächenelement des Strahlers ( Projektion  Strahlungsrichtung )
Emissionsvermögen: d dF Oberflächenelement des Strahlers ( Projektion  Strahlungsrichtung ) von dF in d emittierte Strahlungsleistung Definition: Emissionsvermögen: PE  Geometriefaktor  E Strahlungsleistung pro Fläche und Raumwinkel Beobachtung: E hängt von der Oberflächenbeschaffenheit ab schwarze Oberfläche  E groß spiegelnde  weiße Oberfläche  E klein

5 Integrales Absorptionsvermögen:
absorbierte Strahlungsleistung auftreffende Strahlungsleistung Gedankenexperiment: unterschiedl. Oberflächen ①, ②  T ① ② idealer Spiegel Vakuum P1 P2 thermisches Gleichgewicht 2. Hauptsatz (Thermodynamik)  unabhängig von Oberfläche Geometriefaktor Kirchhoffscher Strahlungssatz:

6 Kirchhoffscher Strahlungssatz:
Defintion: Ein Körper heißt ideal schwarz, wenn seine Oberfläche alle elektromagnetische Strahlung vollkommen absorbiert, d.h. A  1. Folgerung: Ein ideal schwarzer Körper besitzt das größtmögliche Emissionvermögen für thermische Strahlung.

7 E* Technische Realisierungen von schwarzen Körpern:
schwarze Oberfläche großer Rauhigkeit  Vielfachstreuung, allmähliche Absorption, kaum Reflexion Hohlraum mit geschwärzten Innenwänden Wandtemperatur T kleines Loch E* Prinzip: Praktische Realisierung: Heizung Thermoelement Schwarzkörperstrahlung  Hohlraumstrahlung  universelles Emissionsspektrum für gegebene Temperatur

8 1.1.2. Charakteristische Größen thermischer Strahlung
Strahlungsfeld  Überlagerung ebener Wellen Energiedichte eines Strahlungsfeldes Spezialfall: Isotropes Feld

9 Spektrale Energiedichten eines Strahlungsfeldes
Spezialfall: Isotropes Feld

10 Intensität bzw. Energieflussdichte eines Strahlungsfeldes
dF  Spezialfall: Isotropes Feld

11 Messgröße: Strahlungs- bzw. Leuchtdichte einer Quellfläche
 dF dFcos d dF  Die Strahlungsdichte S* ist die pro Raumwinkel und projizierter Emissionsfläche in einem weit entfernten Detektor registrierte Leistung Analog: Spektrale Strahlungsdichten Spezialfall: S* ist richtungsunabhängig  Quellfläche heißt Lambert- strahler. Hohlraumöffnungen sind Lambertstrahler!

12 Zusammenhang mit der Energiedichte des Quellfeldes:
 dF c dt d dF  Analog: Isotropes Quellfeld:

13 r Strahlungsleistung auf infinitesimaler Empfängerfläche: 2 dF1 dF2
1 . dF2 2 r Quelle Detektor Bestrahlungsstärke (Intensität) am Detektor:

14 Strahlungsleistung auf ausgedehnter Empfängerfläche:
dF1   r  r (  ,  ) 2 dF2 Lambertstrahler Emission in gesamten Halbraum: ( m   )

15 Hohlraumstrahlung Definition: Der ideale Hohlraum hat das Volumen V. Die Wände befinden sich im thermischen Gleichgewicht (Temeratur T). Folgerung 1: Leistungsbilanz der Wände an jeder Stelle: absorbiert emittiert Folgerung 2: Das Strahlungsfeld (Hohraumstrahlung) ist isotrop. Beweis: Betrachte Testscheibe. Therm. Gleichgewicht  Temperatur T. Angenommen, am Ort der Testscheibe wäre die Strahlung anisotrop: T dF Intensität groß Intensität klein Intensität klein T  T dF Intensität groß Drehung Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.

16 Folgerung 3: Das Strahlungsfeld (Hohraumstrahlung) ist auch homogen.
Beweis: Betrachte Testscheibe. Therm. Gleichgewicht  Temperatur T. Angenommen, es gäbe 2 Orte mit unterschiedlicher Strahlungsintensität: T dF Intensität groß Intensität klein T dF Intensität groß Intensität klein T  T Verschiebung Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.

17 Kirchhoffsches Strahlungsgesetz
Folgerung 4: Leistungsbilanz der Testscheibe an jedem Ort in jeder Orientierung T dF d Kirchhoffsches Strahlungsgesetz Thermische Emission und Absorption eines Körpers der Temperatur T sind über die Strahlungsdichte der zugehörigen Hohlraumstrahlung verknüpft:

18 ℕ Folgerung 5: Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung
Wandgeometrie und Beschaffenheit beliebig (V  )  verwende o.B.d.A. ideal leitenden Würfel, Kantenlänge a   a Kubischer Hohlraumresonator Physik III  Eigenfrequenzen der stehenden Wellen (Moden) ℕ Beachte: Es gibt 2 Polarisationen pro Mode

19 Spektrale Modendichte
Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung a ℕ Modendichte N()  Zahl der Moden in [ 0 ,  ] pro Volumen # Polarisationen Spektrale Modendichte

20 Rayleigh-Jeansches Strahlungsgesetz
Das Plancksche Strahlungsgesetz Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung: Mittlere Energie der Moden: Spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung: Klassisches Modell: Jede Mode ist an harmonische Schwingungen der Atome in den Wänden gekoppelt. Im thermische Gleichgewicht folgt (Äquipartitionstheorem): Ekin Epot Rayleigh-Jeansches Strahlungsgesetz Experiment  nur OK für   0 (z.B. Infrarot, T  5000 K)  Ultraviolett-Katastrophe: 

21 Plancksche Hypothese: Jede Mode ist an quantisierte harmonische Schwingungen der Wandatome gekoppelt: ℕ ,,Hilfsgröße” h: Plancksches Wirkungsquantum: Das Energiequantum h wird von dem Feldquant des elektromagneti-schen Feldes, dem Photon, getragen. Die Energie W  n h  entspricht der Energie von n Photonen der Frequenz  im Hohlraum. Postulat: ,,Besetzungszahlen” n() folgen aus der klassischen Statistik Boltzmannsches Verteilungsgesetz  Normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für n: mit

22 Also: geometrische Reihe

23 Plancksches Strahlungsgesetz
Vorhersage von Form und Normierung des thermischen Spektrums Infrarot-Grenze: h  ≪ k T   (klassischer Grenzfall ,,h  0”) Rayleigh-Jeans-Gesetz Ultraviolett-Grenze: h  ≫ k T   Wiensches Strahlungsgesetz

24 1 10 100 0,1 0,01 1000 0,4 0,8 1,2 1,6 2 Rayleigh-Jeans Planck Wien

25 Wiensches Verschiebungsgesetz
Position des Maximums: Abkürzung: ! Wiensches Verschiebungsgesetz

26 Stefan-Boltzmann-Gesetz
Gesamte Energiedichte: Abkürzung: Leistungsabgabe von Lambertstrahler (Fläche F) in Halbraum:  S F Stefan-Boltzmann-Gesetz Stefan-Boltzmann-Konstante

27 Quantenmechanik Anmerkungen:
Experimentelle Messung des Hohlraumspektrums Bestätigung der Planckschen Theorie Messung von h durch Anpassung der Planck-Formel an gemessene Spektren Interpretation der Photonen als Korpuskeln mit Wellennatur (?) Energie: Impuls: Quantenmechanik Vorgriff: De Broglies Geniestreich  Gilt das vielleicht auch für Korpuskeln (Elektronen, Protonen, Viren, Katzen, ... ), die dann auch Wellennatur haben? Postulat:

28 1.2. Spezifische Wärme von Festkörpern 1.2.1. Klassische Theorie
Erinnerung: Innere Energie eines Mols (NA Teilchen) einer Substanz: U Molare spezifische Wärme Avogadrokonstante Äquipartitionstheorem: Jeder Freiheitsgrad trägt den gleichen Anteil ½ RT der inneren Energie U. Gaskonstante # Freiheitsgrade 1-atomige Gase f  3 (Translation: 3, Rotation: 0) 2-atomige Gase f  5 (Translation: 3, Rotation: 2) mehratomige Gase f  6 (Translation: 3, Rotation: 3) Festkörper f  (Ekin: 3, Epot: 3) (Schwingungen der Gitteratome)

29  Experimenteller Befund: 1000 T [K] 3R CV klassische Theorie Pb C
1000 T [K] 3R CV klassische Theorie Pb C  Klassische Theorie versagt, besonders drastisch bei kleinen Temperaturen Festkörpergitter aus leichteren Atomen stark gebundenen Festkörpergittern hohe Schwingungsfrequenzen Déjà-vu: Ultraviolettkatastrophe !! ?? Wärmestrahlung: Elektronen schwingen um Atomkerne  Photonen Innere Energie: Atome schwingen um Gitterplätze  Phononen

30 Das Einstein-Modell Postulat ( Verallgemeinerung der Planckschen Hypothese ): Die Schwingungsenergie harmonischer Oszillatoren (Eigenkreis-frequenz ) ist stets quantisiert und ist ein ganzzahliges Vielfaches des Grundquants Bei Festkörpern ergibt sich  aus der ,,Federkonstante” der Atombindung an den Gitterplatz und das Grundquant der Energie heißt Phonon. Ein Schwingungs-Zustand eines Gitteratoms besteht aus n Phononen: Vorgriff: Quantenmechanisch korrekt für harmonische Oszillatoren:  macht hier keinen Unterschied (Glück gehabt)

31 quantenmechanische Grundzustandsenergie
Mittlere Schwingungsenergie: Wie bei Hohlraumstrahlung Einstein-Temperatur quantenmechanische Grundzustandsenergie NA schwingende Atome, 3 räumliche Freiheitsgrade der Schwingung  Klassischer Grenzfall: T ≫ E  Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ E  Experiment 

32 (c  Phasengeschwindigkeit)
Das Debye-Modell Einstein: Atome an imaginäre Gitterpunkte gekoppelt  1 Frequenz Debye: Atome an alle Nachbaratome gekoppelt  Frequenz-Spektrum 2 transversale Schwingungen pro Raumrichtung: a a V 1 longitudinale Schwingung pro Raumrichtung: Effektive Grenzfreq. Modellparameter a ≫ Atomabstand  (wie bei Hohlraumstrahl.) Kontinuumsgrenzfall  Spektrale Modendichte pro Polarisationstyp: (c  Phasengeschwindigkeit)

33 Planck Debye Einstein  0 g Normierung von n() im Debye-Modell: # Schwingungsmoden Debye-Grenzfrequenz: Debye-Temperatur:

34 Spezifische Wärme:

35   Klassischer Grenzfall: T ≫ D
Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ D  Erweiterungen: Mehrere Grenzfrequenzen (z.B. für anisotrope Kristalle) Beachte Phonon-Dispersion in spektraler Dichte

36 Rätsel: Freies Elektronengas in Metallen trägt nicht spürbar zu CV bei.
Klassische Erwartung: Quantenmechanik: Elektronen besitzen den Spin ( Drall) Pauli-Verbot: Zwei identische Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) können sich nicht im gleichen Quantenzustand befinden. Theorie des Fermigases (VL Festkörperphysik, VL Quantenstatistik)  Die Dichte n() der Energiezustände  wächst mit ½ an. angeregt n()  F kT nicht anregbar T  0 n()  F T  0 K voll besetzt Fermi-Kante Fermi-Energie F ≫ kBZimmertemperatur  nur winzige Energieaufnahme durch thermische Anregung an der Fermikante

37 positive Aufladung bis zum ,,Haltepotential”
1.3. Photonen Newton, Descartes: Korpuskeltheorie des Lichtes  nicht erfolgreich Huygens, Fresnel, Hertz, Maxwell: Wellentheorie  erfolgreich Moderne Beobachtung: Das UV-Licht eines Lichbogens führt zur sofortigen Zündung einer anderen Funkenstrecke; ,,Photonen” (Licht-Korpuskel) schlagen Elektronen aus Elektrode  Der Photoeffekt Experiment von Hallwachs (1887): UV-Licht Metallplatte Elektrometer Plattenladung negativ positiv neutral Beobachtung Entladung keine Entladung positive Aufladung bis zum ,,Haltepotential”

38 Kompensations-Spannung
Die Photozelle (Lenard, 1902)   Iph Photo-strom U R Strahlungsdichte S* Photokathode Elektronen Vakuumröhre Iph U U0 Sättigung Kompensations-Spannung

39 Wellenbild Korpuskelbild ✔ ✔ S*↗  Iph↗
Befunde: Wellenbild Korpuskelbild ✔ ✔ S*↗  Iph↗ Sättigungsstrom unabhängig von U sobald Raumladungseffekte klein ✔ ✔ eU0  max. kinetische Energie ausgelöster Elektronen  abhängig von , nicht aber von S* ↯ ✔

40 Wellenbild Korpuskelbild
Iph U U0 S* Wellenbild Korpuskelbild Photostrom setzt bei Grenzfrequenz g ein. g hängt vom Kathodenmaterial ab. ↯ ✔  Iph Material 1 Material 2 g1 g2 S* ↯ ✔

41 Wellenbild Korpuskelbild
Iph U U0 S* Wellenbild Korpuskelbild Die Gegenspannung hängt charakteristisch von der Frequenz ab. ↯ ✔  e U0 g     Austrittsarbeit ↯ ✔

42 Wellenbild Korpuskelbild
Iph U U0 S* Wellenbild Korpuskelbild Zwischen Lichteinfall und Photostrom gibt es keine messbare Verzögerung ↯ ✔ Beispiel: Austrittsarbeit aus Kathode Hohe Bestrahlungsintensität Elektronendichte Zeitverzögerung (Wellenbild)

43 Hypothese (Einstein, 1905; Nobelpreis 1912): Licht ist in Photonen der Energie h quantisiert. Diese Quantisierung ist fundamental und hängt nicht mit der Quantisierung harmonischer Oszillatoren zusammen, wie bei der Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung. Einstein-Gleichung Vakuum-Potential E Fermi-Kante Leitungselektronen EF  Grenzfrequenz: Grenzwellenlänge:

44 Messung von U0 als Funktion von   h, 
Iph U U0 S* Messung von U0 als Funktion von   h,   e U0 g     Austrittsarbeit Oberfläche  eV g nm Au 5, UV Nb 4, UV Cs 2, Visible Ta / Cs 1, Near IR Anwendung: Cs-aktivierte Photokathoden Quanteneffizienz typisch 25 

45  Anwendung: Photomultiplier Experiment: Korpuskelnatur des Lichts
Punktquelle (Spalt)  PM 0 PM 1 PM 1 PM 2 PM 2 Hohe Intensität  kontinuierlicher Photostrom in allen PMs Kleine Intensität  statistisch verteilte, kurze Stromstöße in einzelnen PMs

46 e e Moderner Detektor für Korpuskelstrahlung ( Teilchen):
LEP-Speicherring, CERN, Genf ( ) e e

47 e e      Ionisationsspur des positiven Myons 
Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom  Absorptionssignal eines weniger harten Photons, abgestrahlt vom  Ionisationsspur des negativen Myons 

48 1.3.2. Der Comptoneffekt (Experiment: 1922, Nobelpreis: 1927)
Messprogramm: Für jeden fest eingestell-ten Streuwinkel  drehe Monochromator- / Detektor-Arm (), bis das Detektor-Signal maximal ist. Blende Photon-Detektor Bragg-Kristall (Monochromator) Röntgen-Quelle Target-Material (Substanz mit schwach gebundenen Elektronen in Atomhüllen) Ungestreute Strahlung drehbarer Monochromator- / Detektor-Arm  

49 0 S  0 Klassische Theorie: ebene Welle
quasi-freies Elektron in Atom Schwingung des Elektrons  Hertzscher Dipol ebene Welle Streuwellenlänge: S  0 Beobachtung: Neben der klassischen Streuung gibt es eine gestreute Komponente mit S > 0. Diese nicht-klassische Komponente wird umso stärker, je härter (je kleiner ) die einfallende Strahlung ist.

50  me e   Streuung im quantenmechanischen Photonen-Bild:
schwach gebunden: EB ≪ E  quasi-frei, in Ruhe Physik 3  Compton-Wellenlänge des Elektrons

51 Bemerkungen: Stets 0 und S gemischt. Grund: Kollektive Streuung am Atom, MAtom ≫ me. Compton-Formel experimentell bestätigt  noch eine unabhängige Messung von h. nur groß falls 0 ≲ OC  X- und -Strahlung: Ein Photon mit 0  C hat relativistische Masse me. Beim klassischen zentralen elastischen Stoß würde das Photon stehenbleiben, S   Hier:

52 Schwarzes Loch mit Akkretionsscheibe
Inverser Compton-Effekt: Streuung ultrarelativistischer Elektronen / Positronen (z. B. von Pulsaren, schwarzen Löchern in aktiven galaktischen Kernen) an weichen Photonen (z.B. thermischen Photonen der kosmischen 2,7K-Hintergrundstrahlung). Zurückführung auf Compton-Streuung durch Lorentztransformation ins Ruhesystem des e. AGN Cas A Schwarzes Loch mit Akkretionsscheibe relativistischerJet

53 Bestätigt mittels Mößbauer-Spektroskopie
Photonen im Gravitationsfeld Turm Detektor Quelle H 1 2 R.V. Pound and G.A. Rebka: Phys. Rev. Lett. 4 (1960) 337 Relativistische Photonmasse: E im Gravitationsfeld: Bestätigt mittels Mößbauer-Spektroskopie Bemerkungen: Rotverschiebung bei Abstrahlung von Sonne: 2  0  unendliche Rotverschiebung  Schwarzschildradius RS  G M  c  Schwarze Löcher Wellenbild: gleiches Resultat (Zeitdilatation im Gravitationsfeld) ( Physik III)

54 1.3.4. Der Mößbauer-Effekt (Doktorarbeit: 1958, Nobelpreis: 1961)
Atomhülle/-kerne  quantisierte Energieniveaus (Linienspektren) Beispiel: Fixiertes Atom Emission e E E0 E1 Lebensdauer T1 E1 e E E0 E1 Lebensdauer T1 E1 e Resonanzabsorption a ,   2 , E1  h   Natürliche Linienbreite

55 Beispiel: Atomhülle  Emission / Absorption  im sichtbaren Bereich
Na-D-Linie: Beispiel: Atomkern  Emission / Absorption im X / -Bereich 57Fe-Linie:

56 e e E E0 E1 Rückstoßeffekt bei freien Atomen: M Absorption: E E0 E1
Emission: M

57 Rückstoßeffekt: Atomhülle: Na-D-Linie e a Emission / Reabsorption möglich Atomkern: Reabsorption nicht möglich e a

58 v Rückstoßfreie Emission / Absorption (Mößbauer-Effekt):
Atom im Kristallgitter  M  MKristall    keine Phonon-Anregung  (überwiegt bei T ≪ D) Phonon-Anregung EG  Messvorrichtung: v ≲ O (1 ms) Emitter e Absorber a Detektor Dopplereffekt Zählrate v Anwendungen: Kernniveaus in e.m.-Feldern des Gitters Kernstruktur (Quadrupolmoment) Gitterdynamik (Phonon-Anregung) Gravitationsrotverschiebung 

59 v. Laue, Friedrich, Knipping (1912)
Röntgenbeugung ( Max von Laue: Experiment 1912, Nobelpreis: 1914 ) 1912 bekannt: Harte e.m. Strahlung (X, ) hat Teilchencharakter Offene Frage: Hat harte e.m. Strahlung auch Wellencharakter? Problem: Wellenlängen harter Strahlung im Å-Bereich. Wie stellt man Beugungsgitter her? Max von Laue  Verwende Kristallgitter zur Röntgenbeugung! Vakuumröhre e Röntgen-Strahlen Kristall Fotoplatte Beugungsbild v. Laue, Friedrich, Knipping (1912) Resultat: Welle / Teilchen Dualität der e.m. Strahlung Kristalle haben periodische Raumgitterstruktur

60 Kristalle und Netzebenen:
Einheitszelle: aufgespannt durch Gittervektoren Gitterkonstanten Einheitsvolumen Unendliche Folge von Einheitszellen  Translationsgitter: ℤ Netzebenen: Durch beliebige drei nicht-kollinieare Gitterpunkte wird eine Netzebene aufge-spannt, die unendlich viele Gitterpunkte ent-hält. Beliebige Gittertranslationen verschieben die Netzebene in parallele Netzebenen. So entsteht die zugehörige Netzebenenschar. Beispiel: 2-D Gitter

61 ℤ Flächennormalen: Eigenschaften: Reziprokes Gitter: ( Handout)
Reziproke Gittervektoren: Reziprokes Gitter: ℤ Reziprokes Gitter: ( Handout) Das reziproke Gitter zum reziproken Gitter ist das Ursprungsgitter

62 ℤ Anschauliche Bedeutung des reziproken Gitters: Reziprokes Gitter:
Vektoren stehen senkrecht auf Flächen der Einheitszelle Vektoren stehen senkrecht auf Netzebenenscharen Unschön:  Zuordnung zwischen Netzebenenschar und reziproken Gittervektoren ist uneindeutig. Millersche Indizes einer Netzebenenschar: h, k, l Wähle: (Vorzeichen von q identisch mit dem des ersten nicht-verschwindenden Index n1, n2, n3) Wähle beliebigen Vektor  Netzebenenschar. Millersche Indizes: teilerfremd Richtung senkrecht zur Netzebene: h, k, l 1-deutig

63 Eigenschaften der Millerschen Indizes
Ebene: n3  0 dh k l Achsabschnitte der ersten Netzebene vom Ursprung aus: Abstand benachbarter Netzebenen:

64 Konstruktion der Millerschen Indizes
Schreibweise: Ebene: n3  0 Suche Achsgitterpunkte auf einer Netzebene: Suche kleinstes  p  ℕ mit p  m1,2,3 ℤ  Hier: m1  1, m2  2, m3    p  2  h  2, k  1, l  0

65  Monochromatische Röntgenbeugung: Bragg-Reflexion
konstruktive Interferenz einer Netzebene  dhkl   Glanzwinkel  Gitterpunkte  punktförmige Streuer dhkl Netzebenenschar  h k l  Konstruktive Interferenz aller Netzebenen: Bragg-Bedingung  ,   Messung von dhkl dhkl ,  fest  Monochromator für 

66 ℤ Spektral kontinuierliche Röntgenbeugung: Laue-Beugung
Bremsstrahlung in Röntgenröhre oder Synchrotronstrahlung Bei der Laue-Beugung überlagern sich die Bragg-Reflexe aller Netzebenen für die jeweils passenden Wellenlängen. Laue-Bedingung: Für alle m1, m2, m3 ist der Gangunterschied der Streuwellen ein Vielfaches der Wellenlänge  des betrachteten Laue-Reflexes. ℤ

67 ℤ  m1, m2, m3 beliebig  es gibt h, k, l ℤ mit

68 Formulierung 1: Laue-Gleichungen: Für feste Einfallsrichtung ( 0, 0, 0) und jede feste Wahl von h, k, l: 4 Unbekannte: , , ,  3 Laue-Gleichungen Normierung: Für jede Wahl von h, k, l existiert genau ein Laue-Reflex bei einer spezifischen Wellenlänge

69 Formulierung 2: Darstellung von in Basis 2 2 Laue-Reflexe treten genau dann auf, wenn ein Gittervektor des reziproken Gitters ist.

70 Beziehung zur Bragg-Bedingung:
   (Millersche Indizes) Bragg-Bedingung Folgerung: Für existieren keine Bragg-Reflexe mehr. Das Medium wird optisch homogen. Typischer Wert: dmax  51010 m Vergleich: vis  5107 m

71   Analyseverfahren: Laueverfahren ( Punktreflexe)
kontinuierliche Röntgenstrahlung Kristall (fest orientiert) Drehkristall-Verfahren ( Punktreflexe) monochromatische Röntgenstrahlung  Kristall feste Drehachse

72 monochrmatische Röntgenstrahlung
Debye-Scherrer-Verfahren ( Linienreflexe) Kristallpulver (orientierungslos)  monochrmatische Röntgenstrahlung Film

73 Neutronen-Abbremsung (Thermalisierung) Kollimator thermische Neutronen
Fazit: Röntgenstrahlung hat sowohl Wellencharakter (Kristall-beugung...) als auch Teilchencharakter (Comptoneffekt,...). Das gilt auch generell für elektromagnetische Strahlung. Kernreaktor Neutronen-Absorber Moderator Neutronen-Abbremsung (Thermalisierung) Kollimator thermische Neutronen Kristall Detektor T  300 K  En  25 meV  Knüller: Laue-Reflexe wie bei Röntgenstrahlung mit   1,81010 m Neutronen sind auch Teilchen mit Wellencharakter!

74 ... und Elektronen ? Dito ! Hypothese: Alle ,,Teilchen” (Neutrinos, Kerne, Moleküle, Kristalle, Katzen, Planeten, ...) haben Wellencharakter und alle ,,Kraftfeld-wellen” (elektromagnetisch, Gravitation, …) haben Teilchencharakter. Quantentheorie  Teilchen sind Wellen Quantenfeldtheorie  Kraftfeldwellen sind Teilchen