de-Broglie-Wellenlänge 2. Die Welle-Teilchen-Dualität 2.1. Die de-Broglie-Wellenlänge ...sind e.m.-Wellen ...und masselose Teilchen Photonen: Hypothese: ( de-Broglie 1924, Nobelpreis 1929 ) Umgekehrt haben auch ,,Teilchen” (Elektronen, Atome, Kristalle, Katzen, ...) Wellencharakter mit Nichtrelativistische ,,Teilchen” der Masse m: de-Broglie-Wellenlänge

e Beispiel: Elektronenbeugung me c2  511 keV U ≪ 511 kV Beschleunigungsspannung: U  100 V    0,12 nm Gitterkonstanten  ( 0,3  0,7 ) nm Kristallbeugung ist möglich (Experiment: Davisson, Germer 1926, Nobelpreis 1937) Kantenbeugung am MgO-Einkristall X-Rays e

Beispiel: Elektronenbeugung am Youngschen Doppelspalt Zählrate s ≫ l intensiver Elektronenstrahl Doppelspalt, l,  ≫ Spaltbreiten  Interferenz von 2 Punktquellen Detektor / Film Exp.: Schwacher Elektronenstrahl  Auftreffen von Einzelelektronen Folgerung: Einzelne Elektronen interferieren mit sich selbst!

passive Ladungssonde Zählrate l Elektronenstrahl  Elektronen nehmen jeden möglichen Weg gleichzeitig? Experiment: Detektiere den Weg jedes Elektrons mit passiven Sonden. Beobachtung: Das Zweistrahl-Interferenzmuster verschwindet, sobald die Sonden aktiviert werden. Durch die (,,passive“) Messung wurde die quantenmechanische ,,Kohärenz” zerstört. Jede Messung ändert das gemessene System!

Kathodenstrahl-Quelle Realisierung des Doppelspaltexperiments (Düber, Möllenstedt): n O l d ≫ Basislänge s ≫ l I(y) optisches Analogon: Fresnelsches Biprisma N(y) HV Kathodenstrahl-Quelle 0 V HV Metallfaden,   O(m)

(Schrödinger 1926, Nobelpreis 1933) 2.2. Die Wellenfunktion (Zusammenfassung, Details  Theorie) Einfachster Fall: Die Bewegung einer Punktmasse m wird durch deren komplexe Wellenfunktion beschrieben. Physikalische Bedeutung: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte am Ort zur Zeit t Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Volumen d3r um zur Zeit t Bewegungsgleichung im Potential V: Schrödingergleichung: ( lineare Dgl.) (Schrödinger 1926, Nobelpreis 1933)

✔ Lösung für freie Teilchen (V  0): Wellenpaket ( Superposition ebener Wellen) mit nichtlinearer Dispersionsrelation: de Broglies Ansatz: ✔

Ortsraum und k-Raum (bzw. Impulsraum): Wahrscheinlichkeitserhaltung: Wahrscheinlichkeitsdichte: Wahrscheinlichkeitsflussdichte: Kontinuitätsgleichung:

Klassischer Grenzfall ( ): klassischer Messwert ≙ ,,Erwartungswert“ Ort: Impuls: Impulsoperator (hermitescher) Messoperator Ô: Quantenmechanische Unschärfe der Messgröße Ô: Standardabweichung (vgl. Praktikum)

2.3. Die Heisenbergsche Unschärferelation (Heisenberg 1927, Nobelpreis 1932) Wellenbild Unschärferelationen Analogie zur Optik  Gilt für alle über Fouriertransformationen verknüpfte Messgrößen Beispiel: Orts / Impuls-Unschärfe (Gleichheit gilt für gaußförmige Wellenpakete) Spezialfall: Energie / Zeit-Unschärfe Anwendung: Lebensdauer  angeregter Zustände, radioaktiver Kerne, ...  natürliche Linienbreite:

e Experiment: Elektronenbeugung am Spalt x N x ≪ 1 b ebene Welle x völlig unbestimmt

Gedankenexperiment: Auflösungsgrenze des Mikroskops Punktabbildg. durchs Okular/Auge Objektiv Punktabbildg. durchs Okular/Auge D d x  d Objektiv   D Rückstoß px x x Teilchen Punktabbildg.  Photonen im Kegel      ununterscheidbar Beugung  Photonen aus Kegel  ununterscheidbar  kleiner  bessere Ortsauflösung größere Impulsverschmierung

2.4. Potentialkästen Betrachte stationäre Potentiale: (zunächst 1-dimensional) Ansatz: mit Stationäre Schrödingergleichung potentielle Energie Gesamtenergie Operator der kinetischen Energie Lösung ( Theorie)  Eigenzustände mit fester (erhaltener) Energie Spektrum der zugehörigen Energieeigenwerte Hier: Anschauliche Darstellung und Computersimulationen

2.4.1. Rechteckpotentiale   E E2 Randbedingung:   a   Déjà vu: wie schwingende Saite  sinusförmige Eigenmoden, quantisierte Frequenzen E1 E0 E  0 a x Teilchen in unendlich hohem Rechteck-Potentialtopf Es gibt eine Nullpunktsenergie: En wächst quadratisch mit der Quantenzahl n. Anders als Photonen! E↗  Knoten von ↗  Krümmung von ↗. a↘  E wächst quadratisch.

Teilchen in endlich hohem Rechteck-Potentialtopf Computer-Exp.: Teilchen in endlich hohem Rechteck-Potentialtopf E V0 E2 E1 E0 E  0 a x Teilchen dringt in energetisch verbotenen Bereich V  E ein; dort fällt die Wellenfunktion exponentiell ab. Es gibt nur noch endlich viele diskrete Energiezustände mit En  V0 . Oberhalb der Ionisationsenergie V0 entsteht ein Energiekontinuum freier Zustände.

Teilchen im harmonischen Potential x E E  0 Teilchen im harmonischen Potential E3 2.4.2. Harmonischer Oszillator Qualitativ: Unendliche Folge von Kastenpot. wachsender Höhen Unendl. Folge diskreter Niveaus Exp. Dämpfung in verbotenen Bereichen Es gibt eine Nullpunktsenergie Energiequantenzahl n  Knoten Theorie  Im harmonischen Oszillator-Potential unterscheiden sich benachbarte Energie-Niveaus um das Energiequantum . Dabei ist  die klassische Eigenfrequenz des Oszillators.  Plancksche Quantenhypothese: Übergänge durch Absorption oder Emission von Energiequanten (z. B. Photonen oder Phononen)

2.5. Der Tunneleffekt 2.5.1. Potentialstufen x E V0 V0 2.5.1. Potentialstufen Rechteckstufe enthält die wesentliche Physik Form der Stufe  Details x E V0 Untersuche die monoenergetischen harmonischen Teilwellen des Wellenpakets

Überlagerung: einlaufend  reflektiert klassisch x quantenmechanisch x  Überlagerung: einlaufend  reflektiert verbotene Zone: exponentielle Dämpfung V0 E x R, T  Reflexions-, Transmissionskoeffizienten für Aufenthaltswahrscheinlichkeiten

einlaufend  reflektiert : klassisch x quantenmechanisch x  einlaufend  reflektiert  auslaufend E V0 x Bemerkung: Gilt auch bei negativen Potentialstufen. Wellenpaket  Überlagerung aller harmonischen Teilwellen.

2.5.2. Potentialbarrieren E V0 x E V0 Rechteckbarriere enthält die wesentliche Physik Barrierenform  Höhe und Breite x E V0 a Untersuche die monoenergetischen harmonischen Teilwellen des Wellenpakets

exponentielle Dämpfung : klassisch x quantenmechanisch x  exponentielle Dämpfung getunnelte Welle V0 E x

Interferenz der reflektierten Teilwellen : klassisch x quantenmechanisch x   E V0 x 1 2 3 R T Interferenz der reflektierten Teilwellen Tunneleffekt

z z Exp. Test des Tunneleffekts (1): Feldemission des Wasserstoffs Coulombfeld Proton Elektron z Emission z E Vextern  Eexternz VCoulomb Vtot E0 E1 E2 e e Tunneleffekt

Experimenteller Test des Tunneleffekts (2): -Zerfall von Kernen -Teilchen  Helium-Kern (2 Protonen  2 Neutronen), Ladung  2e Atomkern Ladung  Ze starke Kernkraft  r r E VCoulomb Vtot Tunneleffekt VKern

Exp. Test des Tunneleffekts (3): Tunnelschwingung des NH3-Moleküls z Bindungsenergie des N-Atoms in H3-Ebene: V z V  0 H Tunneleffekt Symmetrische Bindungsposition Stabile Bindungsposition