PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung „Bionik I“ Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung „Bionik I“ Bionik auf dem mathematischen Prüfstand Optimallösungen als Ergebnis der Evolution Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet

Der kubisch paraboloide Baumstamm

Materialminimierung: Solarbetriebener CO2-Sammler P Wind y 2 r Mast Höchster Baum in Deutschland: Douglasie 60,1 m (Eberbach) Höchster Baum in der Welt: Mammutbaum 112,7 m (Kalifornien) Form eines Kiefernstamms Nur Formvergleich möglich, da genaue Belastungsdaten fehlen. Materialminimierung: Theorie „Träger gleicher Festigkeit“

Das Dritte-Wurzel-Gesetz der Blutgefäße

Das Blutgefäßsystem als hydraulisches Fördernetz Arteriole Kleine Vene Das Blutgefäßsystem als hydraulisches Fördernetz Arterienzweig Kapillare Gewebe Vene Erfindung des Herz-Lungen-System in der Evolution Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes Gefäßart Durchmesser D [mm] Anzahl Aorta 10 1 Große Arterien 3 40 Arterienäste 1 600 Arterienzweige 0,6 1800 Arteriolen 0,02 40 000 000 Kapillaren 0,008 1 200 000 000

z D Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen 10 1 0.1 5% 0.01 10 10 10 Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste 1 Arterienzweige Genauigkeit ! 0.1 + 5% - Arteriolen 0.01 Kapillaren 3 6 z 9 10 10 10 10 Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen

Energiebilanz Mensch 10 000 kJ Zwei Entwürfe für eine Rohrverzweigung Herzpumpe Energiebilanz Gehirnzellen Mensch 10 000 kJ Beinmuskeln Armmuskeln Herzantrieb 3 000 000 Blutkörperchen/s Blutneubildung a b Pumpleistung Herz [kJ] groß klein Neubildung Blut [kJ] klein groß

p D Q Qualitätsfunktion: Gesetz von Hagen-Poiseuille ´ = F F µ V k = Mengenstrom / m3/s opfen Strömungspr Herzpumpe gkeit Geschwindi Kraft ´ = F dung Blutneubil n Rohrvolume F µ Rohr V k = Blutbildungsarbeit Kubikmeter · Sekunde

Minimierungsproblem:

Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion: Die Gleichungen lassen sich elementar nach D0 und Di auflösen

Für vorgegebene Anfangswerte D0 und Q0 hängt der optimale Durchmesser Di eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab! Beispiel: D Q Q 1 = Q z

z D Bedingung für die Lösung: Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste 1 Arterienzweige 0.1 + 5% - Arteriolen 0.01 Kapillaren 3 6 z 9 10 10 10 10 Bedingung für die Lösung: Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte Blutstrom hindurchfließt.

D = D 1 / z z D Optimale Blutgefäßverzweigung Hund - Mensch - Theorie 10 Hund arterielles System Mensch arterielles System D Mensch venöses System mm 1 0.1 D = D 3 1 / z i 0.01 3 6 z 9 10 10 10 10 Optimale Blutgefäßverzweigung Hund - Mensch - Theorie

Hydraulik des Hämatokrits

Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ? Blutzellenvolumen Hämatokrit H = Gesamtvolumen v Zwei Lösungen für eine hydraulische Förderung von Blutkörperchen a v Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ? b

Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms HMensch = 42 – 44% Hoptimal = 43,3% (mathematische Lösung) Zeit HKamel = 28% HSchaf = 32% Künstliche H-Werte HSchwein = 41% Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms

Optimaler Blutkörperchenstrom

Geometrie der Bienenwaben

Schlaue Gärtner b g g j g g v v Dumme Gärtner für Eingesparte Strecke Hinzugefügte Strecke g g j g g für v v Vom Angrenzungsproblem in 2 Dimensionen zum Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen

Das Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen Am Boden der sechseckigen Zellen der Bienenwabe sieht man die versetzt angeordneten Zellwände der Gegenseite durchscheinen.

Das Angrenzungsproblem Gartenzaun Bienenwabe Das Angrenzungsproblem

Bienenwabe Zelle von Fejes Tóth Gewinn = 0,035% gegenüber der Lösung der Evolution

Die Rüstung Richard des Dritten Über Größe und Leistung „Shakespeare stellt Richard den Dritten als zu kurz geraten und von klumpiger Missgestalt hin. Hatte König Richard dadurch, dass er klein war, beim Kampf in voller Ritterrüstung Vorteile ? Vorteil der Kleinheit: Die an die Körperoberfläche angepasste Ritterrüstung ist leichter ? Vorteil des Größe: Das Gewicht der an die Körperoberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zum Quadrat der Größe, die Muskelkraft aber proportional zur dritten Potenz (Volumen) der Größe des Ritters ? Die Rüstung Richard des Dritten Gleiche Vor- und Nachteile: Das Gewicht der an die Körper-oberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zur Oberfläche, die Muskelkraft wächst auch nur proporti-onal zu seiner Querschnittsfläche und nicht zum Volumen ? Der große Ritter stirbt an einem Hitzschlag !

Eine Science-Fiction-Geschichte

Planet der Halslinge Alpha Cenauri

Osmium Magnesium

Evolution auf dem extrasolaren Planeten

2206 Erdlinge

plump grazil

Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz Allometriegesetz der extraterrestrischen Halslinge Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz !

Skelett von Katze und Elefant auf die gleiche Größe gebracht grazil plump Skelett von Katze und Elefant auf die gleiche Größe gebracht

Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz Allometriegesetz der terrestrischen Wirbeltiere Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz ! S  L7/6

Das technische Problem: Links eingespannter Balken mit Kugelgewicht Theorie für minimales Trägergewicht bei gleicher relativer Durchbiegung (Steifigkeit) G  L7/6

Optimale Auslegung der Hüpflingsarten auf dem extrasolaren Planeten Euler Knickung Osmium Optimale Auslegung der Hüpflingsarten auf dem extrasolaren Planeten l variabel Hüpfling Aus & Es kommen die Gleichungen hinzu:

Isometrie Allometrie Beltistometrie ( = gleich) Mit gleichem Maß Was ist Allometrie ? Isometrie ( = gleich) Mit gleichem Maß Allometrie ( = anders) Mit anderem Maß Beltistometrie ( = bester) Mit bestem Maß

Beltistometrie Von der Zwergmaus zur Elenantilope Vom Modellflugmotor zum Schiffsdiesel

MAN-Schiffsdiesel mit 22 000 kW Leistung Modellflugdiesel mit 0,31 kW Leistung

Vergleich von Leistung und Gewicht: Großdiesel für Kreuzfahrtschiff: Gewicht: 250 Tonnen Leistung: 22 000 kW Kleinstdiesel für Flugmodell: Gewicht: 237,5 g Leistung: 0,99 kW 1 000 000 Modellflugdiesel wiegen so viel wie ein Schiffsdiesel. Sie leisten zusammen 1 000 000 kW. Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel !

Gedanken zur Kraft der Weberameise

Ende www.bionik.tu-berlin.de