Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 5. Vorlesung „Bionik I“ Bionik auf dem mathematischen Prüfstand Optimallösungen als Ergebnis der Evolution Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet

Der kubisch paraboloide Baumstamm

Materialminimierung: Solarbetriebener CO2-Sammler P y 2 r Mast Form eines Kiefernstamms Materialminimierung: Theorie „Träger gleicher Festigkeit“

Das Dritte-Wurzel-Gesetz der Blutgefäße

Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes Arteriole Kleine Vene Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes Arterienzweig Kapillare Gewebe Vene Gefäßart Durchmesser D [mm] Anzahl Aorta 10 1 Große Arterien 3 40 Arterienäste 1 600 Arterienzweige 0,6 1800 Arteriolen 0,02 40 000 000 Kapillaren 0,008 1 200 000 000

z D Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen 10 1 0.1 5% 0.01 10 10 10 Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste 1 Arterienzweige Genauigkeit ! 0.1 + 5% - Arteriolen 0.01 Kapillaren 3 6 z 9 10 10 10 10 Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen

Mensch 10000 kJ Zwei Entwürfe für eine Rohrverzweigung a b Gehirnzellen Mensch 10000 kJ Beinmuskeln Armmuskeln Herzantrieb 3 000 000 Blutkörperchen/s Blutneubildung a b Pumpleistung Herz [kJ] groß klein Neubildung Blut [kJ] klein groß

Qualitätsfunktion: p Gesetz von Hagen Poiseuille D Q

Minimierungsproblem:

Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion: Die Gleichungen lassen sich elementar nach D0 und Di auflösen

Für vorgegebene Anfangswerte D0 und Q0 hängt der optimale Durchmesser eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab! Beispiel: D Q Q 1 = Q z

z D Bedingung für die Lösung: Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste 1 Arterienzweige 0.1 + 5% - Arteriolen 0.01 Kapillaren 3 6 z 9 10 10 10 10 Bedingung für die Lösung: Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte Blutstrom hindurchfließt.

Hydraulik des Hämatokrits

Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ? Blutzellenvolumen Hämatokrit H = Gesamtvolumen v Zwei Lösungen für eine hydraulische Förderung von Blutkörperchen a v Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ? b

Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms HMensch = 42 – 44% Hoptimal = 43,3% (mathematische Lösung) Zeit HKamel = 28% HSchaf = 32% Künstliche H-Werte HSchwein = 41% Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms

Optimaler Blutkörperchenstrom

Geometrie der Bienenwaben

Schlaue Gärtner b g g j g g v v Dumme Gärtner für b Eingesparte Strecke Hinzugefügte Strecke g g j g g für v v

Zur “Mathematik” der Bienenwaben Am Boden der sechseckigen Zellen der Bienenwabe sieht man die versetzt angeordneten Zellwände der Gegenseite durchscheinen.

Das Angrenzungsproblem Gartenzaun Bienenwabe Das Angrenzungsproblem

Bienenwabe Zelle von Fejes Tóth Gewinn = 0,035% gegenüber der Lösung der Evolution

Eine Science-Fiction-Geschichte

Planet der Halslinge Alpha Tauri

Osmium Magnesium

Evolution auf dem extrasolaren Planeten

2204 Erdlinge

Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz Allometriegesetz der extraterrestrischen Halslinge Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz !

S  L7/6 Allometriegesetz der terrestrischen Wirbeltiere Theorie für minimales Gewicht S  L7/6

Theorie für minimales Trägergewicht G  L7/6

Optimale Auslegung der Beinlingsarten auf dem extrasolaren Planeten Euler Knickung l variabel Aus & Es kommen die Gleichungen hinzu:

Isometrie Allometrie Beltistometrie ( = gleich) Mit gleichem Maß Was ist Allometrie ? Isometrie ( = gleich) Mit gleichem Maß Allometrie ( = anders) Mit anderem Maß Beltistometrie ( = bester) Mit bestem Maß

Beltistometrie Von der Zwergmaus zur Elenantilope Vom Modellflugmotor zum Schiffsdiesel

MAN-Schiffsdiesel mit 22 000 kW Leistung Modellflugdiesel mit 0,31 kW Leistung

Vergleich von Leistung und Gewicht: Großdiesel für Kreuzfahrtschiff: Gewicht: 250 Tonnen Leistung: 22 000 kW Kleinstdiesel für Flugmodell: Gewicht: 237,5 g Leistung: 0,99 kW 1 000 000 Modellflugdiesel wiegen so viel wie ein Schiffsdiesel. Sie leisten zusammen 1 000 000 kW. Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel !

Ende