Einführung in die Systemtheorie Definition System: Ein in sich geschlossenes, geordnetes und gegliedertes Ganzes; Gesamtheit, Gefüge von Teilen, die voneinander abhängig sind, ineinander greifen oder zusammenwirken z.B. in der Physik Gesamtheit von Körpern, Feldern u.s.w. die voneinander abhängig sind und als Ganzes betrachtet werden z.B. Biologie z.B. Informationsübertragungssysteme z.B. Energieübertragungssysteme

Signals and Systems Signale und Systeme Theorie Wissenschaftl., rein gedankliche Betrachtungsweise, Lehrmeinung Erkenntnis von gesetzlichen Zusammenhängen USA Signals and Systems Signale und Systeme

Aufgabenstellung Systemanalyse Für ein gegebenes System wird bei gegebener Eingangssignalfunktion x(t) die Ausgangsfunktion y(t) gesucht. Hierzu ist das Übertragungsverhalten des Systems zu ermitteln! x(t) y(t) ? System

Aufgabenstellung Systemsynthese Es ist ein System zu entwerfen, das für eine gegebene Eingangssignalfunktion eine gewünschte Ausgangssignalfunktion y(t) liefert x(t) y(t) System ?

Aufgabenstellung Systemidentifikation Es ist für ein vorhandenes System durch geeignete Wahl der Eingangsgröße und Messen der Ausgangsgröße das Übertragungsverhalten des Systems zu ermitteln. x(t) y(t) System g(t)

Bezeichnungsweisen Übertragungsfunktion G(s) Systemeigenschaft im Frequenzbereich H(s), T(s) in amerikanischer Literatur

Bezeichnungsweisen Eingangssignal x(t) Bezeichnung im Zeitbereich X(s) Bezeichnung im Frequenzbereich Impulsantwort Systemeigenschaft im Zeitbereich g(t) Systemeigenschaft im Frequenzbereich G(s) Ausgangssignal y(t) Beschreibung im Zeitbereich Y(s) Beschreibung im Frequenzbereich

Mathematisches Modell Das System wird durch ein mathematisches Modell beschrieben bei kontinuierlichen Signalen  Differentialgleichungen bei diskreten Signalen  Differenzengleichungen

Kontinuierliche Signale periodische Funktionen  Verwendung der Fourier-Reihe allgemeine Signale  Fourier-Integral  Laplace

Diskrete Signale Verwendung von DFT FFT Z-Transformation

Beschränkung zunächst: Kontinuierliche Signale Lineare zeitinv. Systeme  Behandlung von nichtlinearen Systemen durch Linearisierung numerische Lösung nichtlinearer DGL

Keine Selbsterregung Kausale Systeme Kausale Systeme Ursache Wirkung Stabile Systeme Keine Selbsterregung t

Mathematische Beschreibung Linearität: Mehrere gleichzeitig auftretende Eingangssignale durchlaufen das System unabhängig voneinander und überlagern sich auf Ausgangsseite ungestört. lineares System k1x1(t)+k2x2(t) k1y1(t)+k2y2(t)

Mathematische Beschreibung Zeitinvarianz: x(t) y(t) t x(t-t0) y(t-t0) t0

Stabilität Stabilität: wenn! dann! Ursache verschwindet  Wirkung geht auf 0

Kausalität aus x(t)=0 für t<t0 folgt y(t)=0 für t<t0

Signalklassen Deterministisch - stochastisch digital-analog  Abtasttheorem

Beschreibung von Systemen x(t) y(t) Beschreibung im Zeitbereich g(t) X(s) Y(s) Beschreibung im Frequenzbereich G(s) Eingang System Ausgang Strukturbild - Strukturplan

Erweiterung auf mehrere Ein-Ausgangsgrößen x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 Ursache Eingangs-signal Erregung Wirkung Ausgangs-signal Antwort x y [A] Vektor Matrix Vektor y=[A]x

Behandlung im Zeit-oder Frequenzbereich möglich Übergang mit Fourier- oder Laplace-Transformation Bei Fouriertrf. Frequenz komplexe Frequenz Ermöglicht Auf-abklingende Schwingungen zu behandeln

Fourier-Transformation Abbildung Orginalraum(in t) Bildraum (in ω) f(t) Objektfunktion Resultatfunktion f(t) im allgemeinen Komplex

Einseitige Laplacetransformation Voraussetzung f(t)=0 für t<0

Einseitige Laplacetransformation f(t) : für große t gegen 0 konvergiert besser als

Beispiel

Zweimalige partielle Integration oder Maple

Übertragungsfunktion s x(t) g(t) G(s) y(t) Strukturplan X(s) Y(s)

Übertragungsfunktion Numerische Lösung

Zusammenfassen von Strukturplänen bei zeitinvarianten(linearen) Gliedern Parallelschaltung: G1(s) x y = x G1(s)+G2(s) y G2(s) y(s)=G1(s)x(s)+G2(s)x(s)=[G1(s)+G2(s)]*x(s)

Reihenschaltung: y x G1(s) G2(s) y x G1(s) G2(s) Y(s)=G1(s) [G2(s) x(s)]=G1(s) G2(s) x(s)

Gegenkopplung: x y G1(s) - G2(s) x y

Mitkopplung: x y x y G1(s) = + G2(s)

Vertauschen zweier Blöcke x G1(s) G2(s) y x G2(s) G1(s) y = Y(s)=G2(s) G1(s) X(s)=G1(s) G2(s) X(s)

Verlegung eines Blocks vor eine Summationsstelle x1 x1 G y y = G x2 x2 G y=G (x1+x2)=G x1+G x2

Verlegung eines Blocks hinter die Summationstelle x1 x1 G y = G y x2 x2 G-1 Y=GX1+X2 = G (X1+G-1 X2)

Verlegung eines Blockes vor eine Verzweigungsstelle x x G-1 x x G = y y G

Verlegung eines Blockes hinter eine Verzweigungsstelle y G x G x = y G

Die gedämpfte Schwingung Physikalisch völlig verschiedene Systeme können identische Systemstrukturen haben. Bsp.: gedämpfte Schwingung x Fd=-d*v v k m d Ruhelage

Die gedämpfte Schwingung ist Kraft u(t) vorhanden gilt

RLC-Glied u C R L

Systemstruktur - identisch Mechanik Elektronik

Übertragungsfunktion R,L,C-System i=Ursache C U R L

R,L,C Reihenschaltung u C R L

Echt gebrochen rationale Funktion G(s) ist bei linearen zeitinvarianten Systemen als gebrochene rationale Funktion darstellbar beliebige R,L,C-Netzwerke m<n  echt gebrochen rationale Funktion

Beispiel

Ermittlung der Übertragungsfunktion G(s) bei RLC-Netzwerken i wird eingespeist u Wirkung C u R L jω durch s ersetzen! Vorsicht! höchste Potenz Faktor1 Nennerpolynom

Polstellen Definition Polstelle: Klammerausdruck in Nenner wird 0 G(s) wird ∞ Untersuchung der Funktion G(s)

Einfach reelle Polstelle, Partialbruchzerlegung

S-Ebene - Zeitbereich sxi=-σ0 jω Ai gi(t) σ t sxi=-σ0

S-Ebene – aufklingende Funktion sxi=+σ0 jω gi(t) Ai σ t sxi=σ0

S-Ebene – Realteil = 0 sxi=0 jω gi(t) Ai σ t sxi=0

k-fach reelle Polstelle jω gi(t) k-fach σ t -σ0

Einfach konjugiert komplexe Polstelle sx1 gx(t) t σ -σ0 sx2 -jω0

Einfach konjugiert komplexe Polstelle sx1 gx(t) σ +σ0 t -jω0 sx2

Einfach konjugiert komplexe Polstelle sx1 gx(t) σ t sx2 -jω0