Numerische Verarbeitung digitaler Signale

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1 Numerische Verarbeitung digitaler Signale
Glätten drei gemessene Werte yn-1, yn, yn+1 linearer Mittelwert Aus einem Satz von N Messwerten erhält man N-2 geglättete Werte Gleitender Mittelwert - moving average – die neue Kurve wird durch Mittelung von drei Punkten aus der alten Kurve gewonnen. Hat ähnliche Wirkung wie ein Tiefpaß.

2 Zweimaliges Glätten

3 Beispiel: Messwerte Tabelle 1: „Numerische“
yn aus unsym. Ausgleichsf. 1 5 - 4,94 2 5,4 5,63 3 6,5 5,97 5,88 6,15 4 6,0 6,07 6,02 6,09 5,7 6,03 6,14 5,87 6 6,4 6,33 6,39 6,30 7 6,9 6,80 6,88 6,82 8 7,1 7,26 7,18 7,30 9 7,8 7,47 7,67 10 7,5 7,53

4 Ausgleichsgerade Bsp.:
durch folgende 5 Messpaare xn,yn wird ein Ausgleichspolynom 1. Ordnung gelegt. N 1 2 3 4 5 xn yn Ausgleichspolynom f(x)=P(x) Polynom 1. Ordnung f(x)=a+bx

5 Gauß‘sches Prinzip der kleinsten Quadrate
y yn+1 b a . b yn X xn xn+1 Streng genommen: senkrechter Abstand muss minimiert werden Praxis: Abzisse wird fehlerfrei angenommen minimiert wird Ordinaten-Differenz f(x)-yn In der Praxis ist diese Annahme berechtigt, da der „Jitter“ im Vergleich zum Amplitudenfehler sehr gering ist. In der x-Achse kein Fehler. Der Fehler ist nur in der Amplitude.

6 Herleitung Gauß‘sches Fehlerquadrat

7 Gauß‘sches Fehlerquadrat

8 Zum Beispiel Ausgleichsgerade durch 5 Punkte

9 Skizze: Ausgleichspolynom

10 Ausgleichspolynom 3.Ordnung durch 5 Punkte
(xn, ) geglätteter Wert / wahrscheinlichere Wert xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 n In diesem Fall sind gerade 5 Messwerte vorhanden. Das Verfahren lässt sich aber wie der moving average für ein Signal mit vielen Messwerten anwenden. Stützstellen k = -2, -1, 0, 1, 2 (xn+k, yn+k)

11 Polynom 3. Ordnung

12 4 Gleichungen

13 Ausgleichspolynom aus (1) und (3) folgt:
Die ersten beiden und die letzten beiden Punkte wurden nicht geglättet.

14 Unsymmetrische Ausgleichsformel
Diese dient zur Berechnung der Randwerte.

15 Differenzenquotient Messweite yn Variable xn Äquidistanter Abstan xn+1-xn=h Aus Taylorreihe folgt: Differenzenquotient aus den zu (xn,yn)benachbarten Stellen

16 Taylor‘sche Satz

17 Quadraturformeln - Integrieren
Der Name Quadraturformel stammt vom Delischen Problem der Quadratur des Kreises Quadraturformeln, ermöglichen die numerische Berechnung von Flächeninhalten. Visualisierung zur numerischen Integration Man versucht den Flächeninhalt eines Quadrates und den Flächeninhalt eines Kreises gleich groß zu machen. Dies ist aufgrund der Transzendenz der Zahl Pi nicht möglich. Die Visualisierung der numerischen Integrationsverfahren ist sehr gut auf den Internetseiten

18 Integrieren y Gesamtfläche x x1 x2 x3 x4 x5 xN

19 Trapezregel Formel für Trapezfläche y2 h Gesamtfläche: y1 A2 A3 x1 x2
xN

20 Keplersche Fassregel y1 x1 x2 x3 h 2h
Durch 3 Stützstellen wird Polynom 2.Ordnung gelegt Integrationsintervall von 2h y1 x1 x2 x3 h 2h

21 Herleitung Kepler‘sche Fassregel
Sie haben 3 Messwerte: y1,y2,y3. Durch diese drei Messwerte legen Sie ein Polynom 2. Ordnung. Setzen Sie für x die Werte 0,h,2h ein, erhalten Sie drei Gleichungen für a,b,und c. Die Fläche unter der Kurve lässt sich über das Intergral von 0 bis 2h über y(x) bestimmen. K ist die Lösung der Integration. In diese Gleichung setzen Sie die drei Gleichungen für a,b,c ein. Sie erhalten als Ergebnis die Kepler‘sche Fassregel. Übung

22 Keplersche Fassregel 2 Streifen Bemerkung:
Bei gerader Zahl von Messwerten: Simpson-Regel

23 Simpson-Regel Anstelle der linearen wählt man hier quadratische Interpolation mit Parabelstücken; weil für das Aufstellen einer Parabelgleichung drei Punkte nötig sind, muss man eine ungerade Zahl von Stützstellen wählen. Die Simpson-Regel basiert auf der Kepler‘schen Fassregel

24 3/8-Regel Polynom 3.Ordnung  3 Streifen y(x)=a+bx+cx²+dx³ y1 A3
drei Streifen x1 x2 x3 x4 h 2h 3h

25 Newton-Cotes-Formeln
4. Ordnung Polygone höherer Ordnung neigen zu Schwingungen.

26 Beurteilung der Integrationsverfahren
Welche Verfahren wird man in der Praxis einsetzen? Abwägung: Speicherplatz – Prozessorleistung Früher waren Speicherplatz und schnelle A/D-Wandler teuer ->Prozessor + SW Heute: Integrationsintervall klein -> Rechteckregel Übung: Anzahl der Intervalle vergrößern. Die MAC-Einheit (Multiplizier- und Akkumuliereinheit) in Signalprozessoren kann in einem Rechenschritt / Operationszyklus gleichzeitig multiplizieren und addieren. Hardware ist angepasst an häufige Rechenoperationen.

27 Numerische Integration -gewöhnliche Differentialgleichungen
Lösbar mit Kepler Fassregel

28 Inhomogene DGL x(t) y(t) DGL

29 Herleitung: DGL aus Frequenzbereich
y(t) C x(t) Aufstellung der Gleichungen

30 Herleitung über Fourierbereich

31 Polygonzugverfahren nach Euler
y(t) C x(t)

32 Übung: Vergleich „Analytisch – Numerisch“
Stellen Sie die beiden Kurven in Excel dar. Eingangsfunktion x[n]=1 für 0≤t x[n]=0 für 0>t RC=1; h=0,1 Bereich 0…7

33 Explizites Polygonzugverfahren - Euler
dt y(t1) h* y(t) y0 Steigung an der linken Grenze h t1 t0

34 Implizites Polygonzugverfahren
Steigung an der rechten Grenze y(t1) dt y(t) y1 h* y0 h t1 t0

35 Trapezverfahren nach Heun
y0 h t t1 t0 Integration einer DGL nach Trapezverfahren

36 Zwei Tiefpässe hintereinander
Ue C U2 C Ue

37 Z-Transformation Kontinuierliche Fourier-Transformation Zeitsignale
Diskrete Z-Transformation Zeitsignale DFT ist Spezialfall der Z-Transformation

38 z-Tranformierte Funktion  Zuordnung  komplexe Variable z
Z-Transformation ordnet Zeitsignal x(n Ta)=xn Z-Transformierte Fourier-Transformierte Diskrete Fourier-Transf. Im allgemeinen gilt: Funktion  Zuordnung  komplexe Variable z

39 Z-Tranformierte als Abbildung
Beschränkung auf einseitige Z-Transformation xn=0 für n<0 s-Ebene Z-Ebene stabil instabil +1

40 Eigenschaften der Z-Transformation
ist ein Polynom von z Der Faktor z-n separiert die Funktionswerte voneinander. Der Faktor z-n beinhaltet eine Verzögerung um n Ta von t=0 aus. Einheitskreis in der Z-Ebene Falls für z die Kreisfunktionen gesetzt werden, ist die z-Tranformierte gleich der DFT.

41 Anwendung auf nichtrekursive Filter
x(n Ta)=xk y(n Ta)=yk ak Blockschaltbild eines nicht-rekursiven Filters Ausgangssignal hängt nur von Werten des Eingangssignals ab. Keine Rückkopplung  immer stabil

42 Zusammenhang: Y(z), X(z), A(z)

43 Filterkoeffizienten - Übertragungsfunktion

44 Kausaler Filter

45 Akausaler Filter

46 Beispiel für FiR-Filter
y(n*Ta) x(n*Ta) t t 1 2 3 n n x(n·Ta) y(n · Ta) ak

47 Beispiel: mittelnder Filter

48 Blockschaltbild nicht rekursiver Filter
xn+N xn xn-N z-1 z-1 z-1 a-N a-N+1 a0 aN + + + + + + yN

49 Filterkoeffizienten für Kreisfunktionen

50 Analogie Filter – Komplexe Koeffizienten
Abtast- intervall Zeit- bereich

51 TP Übertragungsfunktion

52 Idealer Tiefpass angenähert durch Koeffizienten ak
gerade Funktion Angenähert nach dem Kriterium „Kleinstes Fehlerquadrat“ fg = Grenzfrequenz fa = Abtastfrequenz

53 Integralsinus Kleine Übung: Stellen Sie die Funktion si(x) im Bereich von -20<x<20 dar. Lösungsmöglichkeiten: Maple, Excel, Simulink, Mathlab, HPVEE, Taschenrechner, plot Taschenrechner

54 Beispiel: Berechne Tiefpass
Filter- gleichung

55 Kleine Übung Eingangsfunktion für Filter Impuls der Breite 5 – Amplitude = 1 Berechnen Sie die Ausgangswerte für den TP mit Excel

56 Filtergleichung Gleichspannungsverstärkung

57 „Kleine Übung“ Plotten Sie die Filtergleichung für x=-3…3

58 Übung: Berechnen Sie die Filterkoeffizienten für einen Hochpass mit: fg=20Hz N=3 fa=100Hz Ermitteln Sie die Ausgangsfunktion y[n] bei einer Eingangsfunktion: Rechteck mit der Breite von 9 Abtastwerten der Amplitude 1.

59 Tiefpass  Hochpass

60 Koeffizienten für Hochpass
+/-1 +/-2 +/-3 ak,AP 1 ak,TP 0,4 a0,TP 0,3 a1,TP 0,09 a2,TP -0,06 a3,TP ak,HP 0,6 1-a0,TP -0,3 - a1,TP -0,09 -a2,TP 0,06 -a3,TP

61 Tiefpass  Bandpass TPO BP TPU

62 Bandsperre

63 Rekursive Filter Beschränkung für neues aktuelles Ausgangssignal
Augenblicklicher Eingangswert xn und zurückliegende Eingangswerte xn-k Rückführung nur von vergangenen Ausgangswerten yn-k Endliche Anzahl von Koeffizienten

64 Rekursive Filter Ordnung des Filters größere Zahl von M oder N

65 Blockbild rekursiver Filter
xn xn-N z-1 z-1 z-1 aN a0 a1 aN-1 + + + yn + + + + b1 bM bM-1 yn-1 yn-M z-1 z-1 z-1

66 Beispiel

67 Abtasttheorem Bei allen numerischen Filterberechnungen FIR muss das Abtasttheorem eingehalten werden

68 Herleitung Berechnung Koeffizienten FIR
Optimierung nach „Kleinstes Fehlerquadrat“

69 Filter allgemein |A| wg
Filter lassen sich nach verschiedenen Kriterien entwerfen. Die Kriterien sind: Welligkeit im Durchlassbereich (Frequenzbereich) Welligkeit im Sperrbereich (Frequenzbereich) Steilheit beim Übergang vom Durchlass- zum Sperrbereich (Frequenzbereich) Eignung zur Impulsübertragungsfunktion (Zeitbereich) Vorsicht: Filterordnung im analogen Bereich nicht mit Filterordnung (Taps) im digitalen Bereich gleichsetzen |A| wg

70 FIR-Filter - DSP Digital Signal Processor RISC-Prozessor Jeder Befehl wird in einem Taktzyklus ausgeführt Filtergleichung: Addition und Multiplikation Koeffizienten multipliziert mit Messwerten MAC Multiplizier- und Accumuliereinheit modifizierte Harvard-Architektur im Programmspeicher sind auch Daten – Koeffizienten

71 Suche nach dem idealen DSP….
Der ideale DSP kann in einem Taktzyklus: Koeffizienten von Speicher 1 und Messwerte von Speicher 2 einlesen, multiplizieren und Addieren BSP: ADSP 21xx BSP: TMS 320xx BSP: Motorola 56xxx, 96xxx

72 Korrelationsmesstechnik
Messgröße x Messgröße y Zusammenhang? =Korrelation X Ernteertrag – Niederschlagsmenge y

73 Mittelwert

74 Varianz

75 Kovarianz

76 Korrelationskoeffizient

77 Analyse Plug-in aktivieren Kleine Übung
Berechnungen in EXCEL Analyse Plug-in aktivieren Kleine Übung Sie haben zwei Messreihen: xn, yn xn: 1, 2, 3, 4, 5, 6 yna: 6,5,4,3,2,1 Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten Berechnen Sie den Korrelationskoeffizeinten für ynb: 1,2,3,4,5,6 ync: 1,2,3,3,2,1 Stellen Sie die Messreihen als Kurven dar.

78 Ergebnisse Korrelationkoeffzient: +1 vollständige Abhängigkeit 0 statistisch unabhängig -1 vollständige Abhängigkeit aber gegenläufig

79 Korrelationsfunktionen

80 Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion
1,2,4,6,3 2,3,2,1,3 Faltung – Kreuzkorrelationsfunktion

81 Autokorrelationsfunktion
Dien Funktion wird mit sich selbst übereinandergeschoben und multipliziert und aufsummiert symmetrisch Maximum ist bei Verschiebung ττ=0 Beispiel: Geschwindigkeitsmessung mit zwei Sensoren Autokorrelationsfunktion

82 Kreuzkorrelationsfunktion
eigentlich nur periodische Funktionen nicht periodische Funktionen T->unendlich Funktion 1 wird gegen Funktion 2 um τ verschoben und jeweils miteinander multipliziert und aufsummiert

83 Kreuzkorrelation – Faltung -HPVEE
Kreuzkorrelation xcorrelate Device – Function – Signalprocessing – Convolve

84 KKF und AKF

85 Stetige Korrelationsfunktionen
Mittelwert Varianz

86 Kovarianz

87 Kreuzkorrelationsfunktion

88 Andere Schreibweise

89 diskrete Korrelation – diskrete Faltung
Beachten Sie bei der konkreten Aufgabe die Randbedingungen und die Reduktion auf signifikante Punkte.