Aufgabe Der Zusammenhang zwischen einem traumatischen Erlebnis und der Entstehung einer PTBS wird von mehreren Variablen …………….: Copingstrategien, Kontrollüberzeigung, soziale Unterstützung, Alter, elterlicher Psychopathologie. Zeichne den Zusammenhang und ein Diagramm.

Das Allgemeine Lineare Modell (ALM) bzw. The „General Linear Model“ (GLM) Begriff Verschiedene Arten von Variablen Verschiedene statistische Verfahren Grundannahmen des ALM Was für einen Effekt der Manipulation würden Sie erwarten? ALM - 2

Begriff ALM „Allgemein“: Varianzanalyse (ANOVA = „Analysis of Variance“) und Regression „Linear“: Modellgleichung entspricht einer Geraden (Lineare Regression)  eine übergeordnete Darstellungsform für verschiedene statistische Verfahren Das ALM ist eine bequeme Art, Daten empirischer Untersuchungen abzubilden. Es heißt „Allgemein“, weil es die Daten für verschiedene Verfahren auf die gleiche Art und Weise abbildet Es heißt „Linear“, weil die Form der Abbildung mathematisch einer Geraden entspricht  Wie bildet das ALM denn nun unsere Daten ab? ALM - 3

Verschiedene Variablen Unabhängige Variablen (UV = Prädiktor): x1, x2,…, xp Anzahl der UVn (eine vs. mehrere)? ein- oder mehrfaktorielle ANOVA einfache oder multiple Regression Abhängige Variablen (AV = Kriterium): y Anzahl der AVn? univariate vs. multivariate Analyse zunächst gibt es in einer experimentellen Untersuchung immer unabhängige Variablen, also solche, die man aktiv manipuliert, bzw. deren Einfluß man untersuchen will Man kann eine oder mehrere UVn verwenden; entsprechend rechnet man dann eine ein- oder eine mehrfaktorielle ANOVA bzw. eine einfache oder multiple Regression. BEISPIEL: Ich kann nur den Einfluß der Instruktion untersuchen (UV1) oder zusätzlich noch den Einfluß des Alters (UV2). Die UVn können nominal- oder intervallskaliert sein. Mit nominal skalierten unabhängigen Variablen, deren Einfluß auf Gruppenmittelwerte man untersuchen möchte, rechnet man eine ANOVA mit festen Effekten. Sind die unabhängigen Variablen intervallskaliert, kann man u.U. sogenannte Zufallseffekte verwenden. BEISPIEL: Die Variable ‚Instruktion‘ ist nominalskaliert, während die Variable ‚Alter‘ intervallskaliert ist. (Man kann auch gemischte Analysen rechnen, in denen einige UVn nominalskaliert und andere intervallskaliert sind.) Das Skalenniveau der UV bestimmt auch, welche Regressionsanalyse man rechnet: bei nominalskalierten UVn wird eine logistische, bei intervallskalierten UVn eine lineare Regression verwendet. Die Abhängige Variable (das ist die Variable, die ich gemessen habe, also meine Daten) spielt bei der Auswahl des Verfahrens auch eine Rolle: habe ich nur eine abhängige Variable erhoben, rechne ich univariate Analysen. Wenn ich mehrere AVn erhoben habe, verwende ich multivariate Verfahren. BEISPIEL: Wir haben eben nur die Anzahl der erinnerten Wörter, also nur eine einzige AV erhoben. ALM - 4

Verschiedene Verfahren im ALM Unterschiede zwischen Gruppen erklären? ………………………….. Vorhersage der abhängige Variable?  …………………………. Will man Unterschiede in den Mittelwerten zweier Gruppen untersuchen, wählt man die Varianzanalyse. BEISPIEL: Will ich untersuchen, ob die verschiedenen Instruktionen zu unterschiedlichen Gedächtnisleistungen geführt haben, verwende ich eine ANOVA. Will man dagegen die Werte einer Person auf der abhängigen Variable aus der unabhängigen Variable vorhersagen, dann wählt man die Regressionsanalyse. BEISPIEL: Will ich die Erinnerungsleistung anhand des Alters vorhersagen, dann verwende ich eine Regressionsanalyse. ALM - 5

Grundannahmen des ALM Der beobachtete Wert einer Versuchsperson in der abhängigen Variable setzt sich zusammen aus: - einem …………………. ……………………. …………………….. Gesamtmittelwert: über alle Versuchspersonen Gewichtete Werte der Variablen: den verschiedenen Einflüssen der unabhängigen Variablen werden Zahlenwerte zugemessen Schließlich wird angenommen, dass jede Messung mit einem Fehler behaftet ist.  Als Gleichung sieht das nun folgendermassen aus:… ALM - 6

yi = a0 a1 ap xi0 xi1 xip + ei Die ALM-Gleichung · + · + … + · ALM - 7 · + · + … + · Man versucht also, den individuellen Wert einer Person i zu erklären. Dazu stellt man ein Modell darüber auf, wie er zustande gekommen ist. Man nimmt an, dass der Wert der Person i in der Variable y durch eine oder mehrere Variablen x beeinflußt wurde. In unserem Beispiel würden wir annehmen, dass die Erinnerungsleistung (Variable y) z.B. durch die Verarbeitungsart (Variable x) beeinflußt wurde. Wir können auch mehrere Variablen berücksichtigen, z.B. noch das Geschlecht der Person i. Die x-Variablen haben sicher einen unterschiedlich starken Einfluß auf die Erinnerungsleistung der Person i. Dies berücksichtigen wir durch die Gewichte. Der Wert einer Variable wird mit ihrem Gewicht, also mit der Stärke ihres Einflusses auf die Variable y, multipliziert. Schließlich berücksichtigen wir, dass bei jeder empirischen Erhebung unsystematische Fehler auftreten, durch den Fehlerterm. ALM - 7

Beispiel: Ein lineares Modell 10 Versuchsteilnehmer bearbeiten eine Wortliste UV/Faktor: Instruktion 5 Vpn: Konsonanten zählen (strukturelle Verarbeitung) 5 Vpn: bildlich vorstellen (bildhafte Verarbeitung) „ein Faktor mit zwei Stufen“ Freie Reproduktion AV: Anzahl der reproduzierten Wörter BEISPIEL: Stellen wir uns folgende Situation vor (das wird Ihnen leichtfallen): … Die Unabhängige Variable wird (in der Varianzanalyse) auch „Faktor“ genannt. Die einzelnen Ausprägungen der UV werden Faktorstufen genannt.  Hier hätten wir also den Faktor Instruktion mit den zwei Stufen „strukturelle Verarbeitung“ und „bildhafte Verarbeitung“ Wie können wir nun diese Situation abbilden? Dazu zeige ich Ihnen erstmal die Ergebnisse:… ALM - 8

Gesamt-Mittelwert A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 Vorhersage aufgrund des Gesamtmittelwerts: A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 y21 = 7 y22 = 7 y31 = 3 y32 = 8 y41 = 4 y42 = 10 y51 = 6 y52 = 13 wird der Wert der aV der i-ten Person in der j-ten Gruppe beschrieben. Was bedeutet ? Dies seien die Daten, die wir erhoben haben. Da sehen wir links die Bedingung „strukturell“, in der Konsonanten gezählt werden sollten (eine strukturelle Verarbeitung der Wörter); die fünf Vpn haben 5,7,3,4 und 6 Wörter erinnert. Der Mittelwert ist 5. [1] Rechts die Vpn, die sich die Wörter bildhaft vorgestellt haben, mit den Werten 12,7,8,10, und 13, haben den Mittelwert 10. [2] Der Gesamtmittelwert ist 7,5. [3] Wie kann man die Daten nun beschreiben? Nun, man könnte sagen, man kann die Daten des Experiments anhand des Gesamtmittelwerts beschreiben. [4] Das wäre eine sehr sparsame Beschreibung: ein Wert, der die Daten von zehn Vpn beschreibt. Aber es wäre auch ein sehr ungenauer Wert! ALM - 9

Effekte Der Effekt ist die Abweichung eines Gruppen-mittelwerts vom Gesamtmittelwert. Effekt in der Stichprobe: Effekt in der Population: ALM - 10

Effekte A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 y21 = 7 y22 = 7 Erweiterte Vorhersage: ALM - 11

Fehlerkomponenten A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 ALM - 12

Ein lineares Modell A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 yij = a0 · xi0 + a1 · xi1 + a2 · xi2 + ei A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 y21 = 7 y22 = 7 y31 = 3 y32 = 8 y41 = 4 y42 = 10 y51 = 6 y52 = 13 5 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + 0 7 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + 2 3 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + (-2) 4 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + (-1) 6 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + 1 12 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + 2 7 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + (-3) 8 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + (-2) 10 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + 0 13 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + 3 Wir wollen die Daten nun als eine ALM-Gleichung darstellen. die wir eben kennengelernt haben. [1] Ich erinnere: der Individualwert Yi setzt sich zusammen aus einer gewichteten Summe von Variablen und einem Fehlerterm. [2] Dies sind jetzt unsere Daten. Wir haben links die individuellen Werte; sie setzen sich zusammen aus: Dem Gesamtmittelwert 7.5 (der ‚wirkt‘ auf alle Versuchspersonen) Den Effekten a1 und a2 – hier wirkt der Effekt a1 nur auf diejenigen Versuchspersonen. die in Gruppe 1 waren (bei den anderen steht eine Null. um anzuzeigen. dass der Effekt hier nicht wirkt). Ebenso wirkt der Effekt a2 nur auf die Versuchspersonen der Gruppe 2; jetzt steht bei den Versuchspersonen der Gruppe 1 eine Null. Diese Einsen und Nullen. die anzeigen. für welche Gruppe ein Effekt ‚wirksam‘ ist, heißen Indikatorvariablen. Der Gesamtmittelwert wird hier also aufgefaßt als ein Effekt, der auf alle Versuchspersonen wirkt.  Jede ALM-Gleichung enthält einige Werte, die sie mit anderen Gleichungen gemeinsam hat. Dies wird deutlich, wenn wir eine andere Darstellung des Modells wählen: die Matrixdarstellung:… ALM - 13

Das ALM in der Matrizendarstellung Die untere Darstellung heißt „ausführliche Matrixdarstellung“ Daten (AV) Fehler Designmatrix (Indikatorvariablen) Effekte ALM - 14

Das ALM in der Matrizendarstellung Y = X · a + e Überprüfen wir nochmal, ob das auch stimmt: wir multiplizieren jetzt mal die Indikator-Matrix X mit der Effekte-Matrix a. Dazu nehmen wir die erste Zeile von X und die erste (einzige) Spalte von a und kombinieren sie so, wie wir es beim Matrixmultiplizieren gelernt haben: ersten Zeilenwert mal ersten Spaltenwert, plus zweiten Zeilewert mal zweiten Spaltenwert, … Das Ergebnis ist 5. Addieren wir die Fehlerkomponente hinzu (hier Null), erhalten wir unseren Datenwert. ALM - 15

Zusammenfassung ALM Grundannahme: Beobachteter Wert setzt sich zusammen aus einer gewichteten Summe von Variablen und einem Fehlerterm. yi = a0·xi0 + a1·xi1 + …. ap·xip + ei Y = X · a + e ANOVA: die Gewichte werden Effekte, die Variablen Indikatorvariablen genannt. ALM - 16