Das freie Randwertproblem von Stokes Vorlesung vom 14. Dezember 2006 Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II Torsten Mayer-Gürr
Beobachtungsgleichungen Geoidundulationen (Formel von Bruns) Schwereanomalien (Fundamentalgleichung) Schwerestörungen: Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)
Weitere Beobachtungsgleichungen Geoidundulationen (Formel von Bruns) Schwereanomalien (Fundamentalgleichung) Schwerestörungen: Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)
Die spektralen Beziehungen der Funktionale des Störpotentials (Gradvarianzen)
Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081
Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081
Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081
Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081
Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081
Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081
Approximation durch Kugelfunktionen Grad, Ordnung n, m Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081
Kugelflächenfunktionen Grad n = 4 Grad n = 20 Grad n = 40
Auflösung Störpotential mit den Basisfunktionen - Erdumfang am Äquator: U = 40.000 km - Ordung m hat m Schwingungen entlang des Äquators - Wellenlänge: - Auflösung (halbe Wellenlänge): Beispiel für
Gravitationsgradient Glatt <--> Rau Geoid Schwereanomalien Gravitationsgradient
Signalgehalt Varianz des Störpotentials: Anbringen von Flächengewichten: Übergang auf das Integral:
Signalgehalt Störpotential: Varianz des Störpotentials: Einsetzten unter Ausnutzung der Orthogonalität der Kugelflächenfunktionen
Signalgehalt Varianz des Störpotentials: Für vollständig normierte Kugelflächenfunktionen gilt: Varianz des Störpotentials:
Signalgehalt Störpotential
Signalgehalt Störpotential Geoidundulationen Schwerestörungen Schwereanomalien Gravitationsgradient
Gradvarianzen [m] Geoid: EGM96 - GRS80
Gradvarianzen [m] Geoid: EGM96 - GRS80 Kaula
Gradvarianzen [m] Geoid: EGM96 - GRS80
Gradvarianzen Anomalien: EGM96 - GRS80 [mGal] [m] Geoid: EGM96 - GRS80
Gradvarianzen Anomalien: EGM96 - GRS80 [mGal] [m] Geoid: EGM96 - GRS80
Meissel-Schema
Meissel-Schema
Meissel-Schema
Meissel-Schema
Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)
Gradvarianzen : Erdoberfläche (0 km)
Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)
Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)
Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)
Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)
Gradvarianzen Satellitenhöhe (250 km): : Erdoberfläche (0 km)
Kugelfunktionen Vorteile der Kugelfunktionen: - Einfache Beobachtungsgleichungen - Fortsetzung nach oben/unten ist leicht - Direkte Umrechnung in die verschiedenen Funktionale (Geoidundulationen, Schwereanomalien) Nachteile der Kugelfunktionen: - Kugelfunktionen sind global - Beobachtungen müssen global und gleichmäßig verteilt sein - Sehr hohe Auflösungen sind praktisch nicht zu realisieren
Beispiel Deutschland Punktabstand: 10 km Entspricht einer Kugelfunktionsentwicklung von n = m = 2.000 Anzahl der unbekannten Koeffizienten: ca. 4.000.000 Größe der Normagleichungsmatrix: ca. 128 TeraByte - Sind die Daten in dieser Auflösung nicht global gegeben, ist das Gleichungssystem nicht lösbar
Alternative Schwerefelddarstellungen
Sphärische Splines Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen Lokale Basisfunktionen: Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest
Sphärische Splines Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen Lokale Basisfunktionen: Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest
Sphärische Splines Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen Lokale Basisfunktionen: Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest
Alternative Schwerefelddarstellungen Repräsentation des Schwerefeldes: Kugelfunktionen Sphärische Splines Wavelets Punktmassen (Mascons) Blockmittelwerte Direkte Lösung (Integralgleichung)
Direkte Lösung der freien Randwertaufgabe
Randwertaufgaben der Potentialtheorie Gesucht ist das (Stör-)potential im Außenraum gemessenen sind Funktionale auf der Kugeloberfläche Das Potential ist harmonisch (quellenfrei) im Außenraum Das Potential ist regulär im Unendlichen 1. Randwertaufgabe 2. Randwertaufgabe 3. Randwertaufgabe
Randwertaufgaben der Potentialtheorie Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 2. Störpotential im Außenraum: 3. Übergang auf die Randfläche
Randwertaufgaben der Potentialtheorie Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 3. Übergang auf die Randfläche
Randwertaufgaben der Potentialtheorie Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 3. Übergang auf die Randfläche 4. Koeffizientenvergleich 5. Einsetzen
Randwertaufgaben der Potentialtheorie Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 2. Störpotential im Außenraum: 3. Beobachtungsgleichung 4. Übergang auf die Randfläche
Randwertaufgaben der Potentialtheorie Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 4. Übergang auf die Randfläche
Randwertaufgaben der Potentialtheorie Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 4. Übergang auf die Randfläche 4. Koeffizientenvergleich 5. Einsetzen
Randwertaufgaben der Potentialtheorie Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 2. Störpotential im Außenraum: 3. Beobachtungsgleichung 4. Übergang auf die Randfläche
Randwertaufgaben der Potentialtheorie Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen Gemessen: 1. Entwicklung der Messwerte nach Kugelflächenfunktionen: 4. Übergang auf die Randfläche 4. Koeffizientenvergleich 5. Einsetzen
Randwertaufgaben der Potentialtheorie Lösung der 1. Randwertaufgabe: mit dem Abel-Poisson-Kern Lösung der 2. Randwertaufgabe: mit dem Hotine-Kern Lösung der 3. Randwertaufgabe: mit dem Stokes-Pizetti-Kern
Randwertaufgaben der Potentialtheorie Abel-Poisson-Kern: Hotine-Kern: Stokes-Pizetti-Kern: