Das Keplerproblem (Teil 3) Annette Eicker 17. November 2011 27.03.2017

Wiederholung: Keplergesetze 1. Keplersches Gesetz: Die Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne im Brennpunkt 2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. 27.03.2017

Wiederholung: Keplerelemente Zeit: Perigäumsdurchgangszeit Form: Grosse Halbachse Exzentrizität Perigäum 27.03.2017

Wiederholung: Keplerelemente Zeit: Perigäumsdurchgangszeit Form: Perigäum Grosse Halbachse Exzentrizität Lage: Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Argument des Perigäums Knotenlinie 27.03.2017

Wiederholung: Verlauf des Satelliten auf der Bahn Mittlere Anomalie Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten: Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt t oder - Perigäumsdurchgangszeit: 27.03.2017

Position, Geschwindigkeit Zwischenfazit Keplerelemente Die Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Zeit Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Keplerelemente Position, Geschwindigkeit 27.03.2017

Umrechnungen Keplerelemente Orts- und Geschwindigkeitsvektor Die Satellitenbewegung kann mit 6 Parametern beschrieben werden 27.03.2017

Berechnung von Position und Geschwindigkeit aus den Keplerelementen 27.03.2017

Position und Geschwindigkeit Keplerelemente Mittlere Anomalie Exzentrische Anomalie Startwert: Iteration der Kepler-Gleichung: Iteration: Alle Winkel im Bogenmaß! Diese Gleichung soll nach E aufgelöst werden! => Iteration notwendig 27.03.2017

Position und Geschwindigkeit Keplerelemente Mittlere Anomalie Bahnsystem Abstand Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie Position und Geschwindigkeit 27.03.2017

Position und Geschwindigkeit Keplerelemente Mittlere Anomalie Bahnsystem Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie Abstand Position und Geschwindigkeit 27.03.2017

Orts- und Geschwindigkeitsvektor Umrechnungen Keplerelemente Orts- und Geschwindigkeitsvektor 27.03.2017

Berechnung der Keplerelemente aus Position und Geschwindigkeit 27.03.2017

Keplerelemente Gegeben: zum Zeitpunkt t 27.03.2017

Keplerelemente Gegeben: zum Zeitpunkt t Exzentrizität Wir brauchen a! 27.03.2017

Große Halbachse a Geschwindigkeit Geschwindigkeit 27.03.2017

Keplerelemente  Gegeben: zum Zeitpunkt t Große Halbachse Exzentrizität Keplerelemente: Inklination Rektaszension Argument des Perigäums Große Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit  27.03.2017

Wahre Anomalie Abstand Geschwindigkeit Position 27.03.2017

Keplerelemente  Gegeben: zum Zeitpunkt t Große Halbachse Exzentrizität Wahre Anomalie Keplerelemente: Inklination Rektaszension Argument des Perigäums Große Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit  27.03.2017

Exzentrische Anomalie 27.03.2017

Keplerelemente   Gegeben: zum Zeitpunkt t Große Halbachse Exzentrizität Keplerelemente: Inklination Rektaszension Argument des Perigäums Große Halbachse Exzentrizität Perigäumsdurchgangszeit  Wahre Anomalie  Exzentrische Anomalie Perigäumsdurchgangszeit Mittlere Anomalie 27.03.2017

Argument des Perigäums Knotenlinie Argument des Perigäums Perigäum Knotenlinie 27.03.2017

Argument des Perigäums Knotenlinie Argument des Perigäums Q P Perigäum K -Q Knotenlinie Wir suchen immer noch , dafür fehlen jetzt noch P und Q. 27.03.2017

Bahnsystem Position und Geschwindigkeit In Matrixform Inverse Transformation 27.03.2017

Keplerelemente Gegeben: zum Zeitpunkt t Große Halbachse Exzentrizität Bahnsystem Knotenlinie Wahre Anomalie Arg. des Perigäums Exzentrische Anomalie Perigäumsdurchgangszeit Mittlere Anomalie 27.03.2017

Erhaltungssätze 27.03.2017

Impuls und Drehimpuls Bewegungsgleichung (Bahn)Drehimpuls: (Linearer) Impuls Drehmoment: r K Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment Änderung des Impulses benötigt eine Kraft Impulserhaltung Drehimpulserhaltung Bis hierhin bereits bekannt => Es fehlt noch die Energieerhaltung 27.03.2017

Energieerhaltung Bekannt: E=T+V=const. Animation potentielle Energie kinetische Energie potentielle Energie Animation 27.03.2017

Energieerhaltung Ab jetzt: Sonderfall konservatives Kraftfeld Bewegungsgleichung (Kinetische Energie) Ab jetzt: Sonderfall konservatives Kraftfeld (Arbeit A) (nur vom Ort abh.) (entlang der Bahn) (längs der Kurve C) 27.03.2017

Was ist ein konservatives Kraftfeld? 27.03.2017

Konservatives Kraftfeld Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: 1. Es existiert eine Potentialfunktion 27.03.2017

Konservatives Kraftfeld Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: Die Gravitationskraft ist konservativ. Potentialfunktion: Gravitationspotential 1. Es existiert eine Potentialfunktion 27.03.2017

Potential Potential  Höhe Feldstärke  Steigung schnelle Höhenänderung, starke Steigung Potential  Höhe Feldstärke  Steigung große Höhe, kaum Steigung kleine Höhe, kaum Steigung 27.03.2017

Konservatives Kraftfeld Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: 1. Es existiert eine Potentialfunktion 2. Das Schleifenintegral verschwindet Die Arbeit ist wegunabhängig: 3. Das Feld ist wirbelfrei Die Bedingungen sind gleichwertig: => Aus einer Bed. folgen die anderen 27.03.2017

Konservatives Kraftfeld nicht konservativ Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten: 1. Es existiert eine Potentialfunktion 2. Das Schleifenintegral verschwindet Die Arbeit ist wegunabhängig: 3. Das Feld ist wirbelfrei 27.03.2017

Energieerhaltung Bewegungsgleichung (Kinetische Energie) (Arbeit A) (längs der Kurve C) (nur vom Ort abh.) (entlang der Bahn) 27.03.2017

Potentielle Energie Potential potentielle Energie Gesamtenergie Die Gesamtenergie der Teilchen ist bei Einwirkung konservativer Kräfte zeitlich konstant 27.03.2017