Mathematik der Börsenspekulation Optionshandel an der Börse
Was sind Optionen? Der Käufer einer Call-Option kauft das Recht, ein festgelegtes Gut (z.B. eine Aktie) zu einem festgelegten Preis (dem Ausübungspreis) in einem festgelegten Zeitraum (amerikanische Option) oder zu einem festgelegten Zeitpunkt (europäische Option) zu kaufen.
Ablauf eines Call-Optionsgeschäfts Verkäufer Käufer Optionspreis Kursentwicklung Ausübung: Käufer kauft das Gut zum Ausübungspreis der Option Keine Ausübung
Pay-off-Diagramm beim Kauf einer Call-Option Herr X kauft für 2,50 € eine Call-Option mit Ausübungspreis 63 €.
Die Siemens Aktie
Histogramm der Monatsrenditen m-s m m+s Den Schwerpunkt der Verteilung gibt das arithmetische Mittel m und die typische Abweichung die Standardabweichung s.
Entwicklungsrahmen des zukünftigen Aktienkurs 90,63 € 78,95 € ·1,15 (m+s) 68,77 € 68,80 € 59,90 € 59,93 € 52,20 € 52,23 € ·0,87 (m-s) 45,50 € 39,65 €
Rekursionsschritt Ausübungspreis der Call-Option 60,00 € 68,80 € Ausübungszeitpunkt der Option 68,80 € Eine Periode vorher 8,80 € Ausübung Aktienkurs 59,93 € Optionspreis 4,13 € 52,23 € 0 € Keine Ausübung Die 4,13 € errechnen sich aus den beiden Endpreisen der Option, 8,80 € und 0 €, wenn man fordert, dass es keinen sicheren Gewinn geben kann (Arbitrage).
Vom Binomial-Modell zur Black-Scholes-Formel Mit dem Binomial-Modell lässt sich die Black-Scholes-Formel gewinnen, indem man die Anzahl n der Perioden gegen Unendlich laufen lässt. Die Black-Scholes-Formel gibt den Optionspreis in Abhängigkeit von: dem aktuellen Kurswert der Ausübungsfrist dem Ausübungspreis der Volatilität und dem Zinsfaktor
Preise verschiedener Siemens Call-Optionen nach der Black-Scholes-Formel 48 53 58 63 68 73 78 1 Monat 12,14 7,52 3,99 1,72 0,60 0,18 0,04 2 Monate 12,51 8,40 5,16 2,90 1,50 0,72 0,32 3 Monate 12,96 9,13 6,08 3,83 2,30 1,32 6,73 6 Monate 14,30 10,34 8,18 5,99 4,31 3,06 2,14