Musik und Mathematik
Pythagoreer( 5. - 4. Jh. v. Chr): Harmonie Alles ist Zahl
Untersuchungen am Monochord
Untersuchungen am Monochord Zwei Töne harmonieren, wenn die Saiten-längen in einem einfachen Verhältnis stehen 1 : 2 Oktav 2 : 3 Quint 3 : 4 Quart 4 : 5 Terz
Mögliche Erklärung: Harmonieempfinden durch Vertrautheit
Obertöne einer Saitenschwingung Grundfrequenz f 1. Oberton: 2*f Oktave 2. Oberton: 3*f Quinte über der Oktave 3. Oberton: 4*f Oktave über der Oktave 4. Oberton: 5*f Terz über der 2. Oktave 5. Oberton: 6*f Quint über der 2. Oktav usw.
Tonleitern Versuch, das Intervall einer Oktave in Teilintervalle zu zerlegen
Chinesische Tonleiter 2 *f 27/16 * f 3/2 * f 81/64 * f 9/8 * f f
Pythagoreische Tonleiter 2 * f c 243/128 * f h 27/16 * f a 3/2 * f g 4/3 * f f 81/64 *f e 9/8 * f d f c
Diatonische Tonleiter 40 v. Chr. 2 * f c 15/8 *f h 5/3 * f a 3/2 * f g 4/3 * f f 5/4 * f e 9/8 * f d f c
Vergleich pythagoreisch diatonisch 2 2 243/128 15/8 27/16 5/3 3/2 3/2 4/3 4/3 81/64 5/4 9/8 9/8 1 1
Temperierte Stimmung Marin Mersenne 1636: Harmonie universelle Die Oktave wird in 12 Halbtonschritte unterteilt Ein Ganztonschritt besteht aus zwei Halbtonschritten
Frequenzverhältnis eines Halbtonschrittes:
Vergleich der 3 Tonleitern pythagoreisch rein temperiert f 1,333 1,333 1,335 e 1,266 1,250 1,260 d 1,125 1,125 1,122 c 1 1 1
Schwingende Saite Randwertproblem: Form zur Zeit 0 ist bekannt, wie sieht die Form der Saite in Abhängigkeit von der Zeit aus?
Jean Baptiste Fourier 1768 - 1830 Idee: die Form der Saite wird durch Überlagerung von Sinusfunktionen dargestellt Beh.: Jede Funktion im Intervall läßt sich durch Überlagerung von Sinusfunktionen darstellen
Weiterführung dieser Idee führt zur Funktionanalysis Funktionen werden als Elemente eines unendlichdimensionalen Raumes aufgefasst. Basisfunktionen spannen diesen Raum auf