Anwendung und Modellierung im Mathematikunterricht Ines Heinrich Ronny Do Xuan Mathematik Didaktik 05.05.10

Gliederung Was ist ein Modell? Mathematisches Modell Aufgabe entwerfen Aufgabenstellung, Ziele, Probleme Fermi-Aufgaben mit Beispielen Weitere Beispiele

Gibt es einen Unterschied zwischen Problemlösen und Modellieren? Orientierung an einem Mathematischen Problem oder Rechenverfahren Heuristik Begrenztes Wissen wenig Zeit Modellieren Orientierung an einer Fragestellung mit komplexem Inhalt (außermathematisch) Mathematisierung dieses Problems (Prozessorientierung) Recherche und Datensammlung Werkzeug

„Echte“ und „unechte“ Anwendungen „eingekleidete“ Aufgaben Kein Bezug zu dem Schüler Sämtliche Überlegungen zur Mathematisierung bereits gegeben Echte Anwendung Relevanz für Schüler („authentisch“), aber auch von allgemeinem Interesse Motivierend und Interesse weckend Offene Fragestellungen veranlassen selbstständiges Modellieren Reales Problem

Was ist ein Modell? lat.: „modulus“ : Maßstab in der Architektur Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die „nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte“ berücksichtigt.

Modellvarianten DESKRIPTIV Vorhersagend – Wetterbericht Erklärend – Planetenbewegung Beschreibend – Landkarten NORMATIV Vorschreibend – Kochrezepte, Schnittmuster für Schneiderei

Mathematisches Modell Verwendet mathematische Sprache zur Beschreibung eines Systems Erfassen wesentlicher Parameter meist natürlicher Phänomene Kann berechnet und wissenschaftlich beschrieben werden (analytisch, numerisch)

Kreislaufschema ( nach Blum) Reales Modell Mathematisches Modell Mathematische Resultate Reale Situation Realität Mathematik

Konstruieren / Verstehen Gegebene Situation bzw. Aufgabe verstehen Nötige Informationen aus dem Text entnehmen Vorstellungen entwickeln Situationsmodell

Vereinfachen / Strukturieren Ziel: Situationsmodell mathematisieren Konkrete Leitfrage trennt „wichtige“ von „unwichtigen“ Informationen, Struktur vereinfachen Mathematisches Wissen, Ideen, Analogien sammeln Zeit und Motivation überdenken Datenerfassung, Recherche, Messungen

Mathematisieren Funktionen, Gleichungen, Bildungsvorschriften, Graphen, Formeln aufstellen Nebenbedingungen, Daten beachten Lösungsvielfalt

Mathematisch arbeiten „Lösung“ des Problems führt zu mathematischem Resultat Mathematische Werkzeuge anwenden: analytisch, geometrisch, numerisch (Computer),…

Interpretieren Mathematisches Resultat wieder auf Realsituation bzw. reales Modell beziehen Einheiten mit berücksichtigen

Validieren Überprüfen realer Resultate im Hinblick auf Realsituation, Reflexion getroffener Modellannahmen (Ziel führend) – Erweiterungen/Verbesserungen Vergleich verschiedener Modelle Verschiedene Perspektiven Rundungen/Approximationen überdenken Kontrolle Dimension, Größenordnung, Abhängigkeiten, Randbedingungen, Widerspruchsfreiheit, Stabilität des Modells

Darlegen / Erklären Ergebnisse dokumentieren und präsentieren Vorgehen erläutern Kommunikative und argumentative Kompetenzen gefördert

Ziele Bildungsstandards – K3 Mathematisches Modellieren Schule soll auf Leben vorbereiten (Umgang mit Geld), Verbindung zwischen Umwelt und Mathematik schaffen Schüler zu eigenen kompetenten Einschätzungen befähigen (kritische Ergebnisanalyse) Einsicht in die Bedeutung der Mathematik als Wissenschaft aber auch als Alltagsrelevanz Motivierende und Interesse weckende Funktion Mathematisieren und Modellieren lernen …

Voraussetzungen und Gestaltung Lehrer erfahren und flexibel Zielklarheit für Lehrer und Schüler Realitätsnah und Interesse weckend Offene Fragestellungen – fehlende und überflüssige Angaben Projektartige Arbeitsform, Freiarbeit, Gruppenarbeit, fächerübergreifend Aufgabenstellung authentisch und differenzierbar, …

Probleme und Schwierigkeiten Kein Schema, fehlende Problemlösetechnik Zeitaufwendig (Vorbereitung, Unterricht) Komplexität der Realsituation Problem der Relevanz für Schüler (Themenwahl) Gezieltes und dosiertes Einsetzen Geeignete Fragestellung finden Erfahrung mit Modellierung, …

Fermi-Aufgaben Italienischer Physiker und Nobelpreisträger Enrico Fermi (1901-1954) Dafür bekannt, „dass er direkte, eher provisorisch anmutende Lösungswege häufig den eleganten und meist aufwändigeren Methoden vorzog“ (Peter-Koop) War davon überzeugt, dass jeder denkende Mensch jede Frage beantworten kann Berühmteste Frage: „Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“

Fermi-Aufagbe keine richtige oder falsche Lösung -> sondern: nachvollziehbares oder nichtnachvollziehbares Ergebnis kein Standardverfahren zum Lösen der Aufgaben Fermi-Aufgaben bilden somit komplexe Probleme, die für die rechnerische Beantwortung einer Frage entweder keine oder nur unzureichend numerische Angaben aufweisen. Der Bearbeiter wird gezwungen, seine eigenen Daten zu erheben, plausible Annahmen zu formulieren oder zu schätzen, um zu einer Lösung zu gelangen. Ziele: Problemlösen , Argumentieren, Kommunizieren, Darstellen Anlass, Vorwissen zu aktualisieren, Sachen zu erforschen, zu erleben und zu erkunden, Denkprozesse zu Ende führen, festzuhalten und zu überprüfen Fermiaufgaben kommen damit der Lernforschung nach vernetztem, problemorientiertem, ganzheitlichen Lernen entgegen

Beispiel

Weitere Beispiele

Weitere Beispiele

Weitere Beispiele

Literatur und Quellen Modellierung im Mathematikunterricht – Gerd Hinrichs, Verlag Spektrum 2008 ISTRON-Schriftenreihe – Materialien für einen realitätsbezogenen Unterricht, Bände 1-9, Verlag Franzbecker Einführung in die Didaktik der Mathematik – Heinz Jörg Claus, 2. Auflage 1995, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, S. 160 ff Der Mathematikunterricht in der Primarstufe – Gerhard Müller / Erich Ch. Wittmann, 3. Auflage, Vieweg 1984 Peter-Koop,A. (2003): „Wieviele Autos stehen in einem 3-km-Stau?“ –Modellbildungsprozesse beim Bearbeiten von Fermi-Problemen in Kleingruppen, In: Ruwisch/Peter-Koop, (Hrsg.): Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule, Offenburg: Mildenberger Verlag Baireuther, P.(1990): „Konkreter Mathematikunterricht“, Bad Salzdetfurth: Franzbecker Krauthausen,G., Scherer, P. (2001): „Einführung in die Mathematikdidaktik“, Heidelberg, Berlin, Spektrum http://de.wikipedia.org/wiki/Modell 03.05.10. http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Modell 03.05.10