ARCH- und GARCH Modelle Cristina Dette

Einführung ARCH-Prozesse wurden 1982 von Robert F. Engle eingeführt, der hierfür den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaft bekommen hat. ARCH bedeutet autoregressiv bedingt heteroskedastisch. Diese Modelle spiegeln die wichtigsten „Stylized Facts“ des Finanzmarktes wider; Heteroskedastizität bedeutet, dass die Volatilität (bzw. Varianz) einer Finanzmarktreihe in der Zeit stark schwankt („Volatility Clustering“); Die Finanzzeitreihen sind bedingt heteroskedastisch, weil die Quadrate bzw. die Beträge der Renditen positiv korreliert sind. ARCH-Modelle werden in der Praxis z.B. bei der Optionsbewertung oder bei der Varianzprognose eingesetzt.

ARCH(1) I Definition: Ein stationärer Prozess heißt ARCH Prozess der Ordnung 1, falls es ein unabhängiges Weißes Rauschen ε der Varianz σε² = 1 sowie reelle Zahlen α0 > 0, α1 ≥ 0 gibt, so dass mit σt²:= α0 + α1X²t-1 gilt: Xt = σtεt. - σt wird als Volatilität und εt als Innovation bezeichnet (jeweils bezogen auf den Zeitpunkt t); - σt und εt sind stochastisch unabhängig. Bemerkungen: 1. Man kann Annahmen treffen über die Verteilung der Innovationen εt. Häufig geht man von standardnormalverteilten Innovationen aus; in diesem Fall ist ε ein Gaußsches Weißes Rauschen. Man ist jedoch an Verteilungen von εt mit schweren Tails interessiert; in diesem Fall kommt meist eine tυ-Verteilung mit υ > 2 zum Einsatz: εt ~√ υ-2/υ· tυ.

ARCH(1) II 2. Für einen ARCH(1)- Prozess Xt gilt: E(Xt|Xt-1,Xt-2,. . .) = 0 und Var(Xt|Xt-1,Xt-2,. . .) = σt² = α0 + α1X²t-1. Hieraus leitet sich der Name des Prozesses ab. 3. Die Varianz von Xt ist genau dann endlich wenn α1< 1; 4. Ein ARCH(1)– Prozess Xt ist ein Weißes Rauschen mit Varianz σx² = α0 / (1- α1). 5.Unter geeigneten Voraussetzungen ist das Quadrat Xt² eines ARCH(1) Prozesses ein AR(1)- Prozess.

ARCH(1) III 6. Das vierte Moment eines ARCH(1)- Prozesses mit normalverteilten Innovationen εt existiert genau dann, wenn α1< √3/3 gilt. In diesem Fall gilt für die Kurtosis κX von X: κX = 3(1- α²1)/(1-3α²1) 7. ARCH(1)- Prozesse haben schwere Tails, auch wenn die Innovationen εt keine schweren Tails besitzen.

ARCH(q) I Definition: Ein stationärer Prozess Xt heißt ARCH- Prozess der Ordnung q, falls es ein unabhängiges Weißes Rauschen ε der Varianz σε² = 1 sowie reelle Zahlen α0 > 0, α1 ≥ 0, . . ., αq ≥ 0, gibt, so dass mit σt² := α0 + α1X²t-1+. . .+ αqX²t-q gilt: X = σtεt. Bemerkungen: 1. Die Annahmen über die Verteilungen der Innovationen εt gelten analog zum ARCH(1)-Prozess.

ARCH(q) II 2. Die Varianz von Xt ist genau dann endlich, wenn α1+. . . + αq < 1; 3. Ein ARCH(q)- Prozess Xt ist ein Weißes Rauschen mit Varianz σx² = α0 / (1- α1-...- αq). 4. Analog zu ARCH(1)- Prozessen gilt: die bedingte Varianz gegeben die Prozessvergangenheit ist gerade gleich σt² = α0 + α1X²t-1+. . .+ αqX²t-q. 5. Unter geeigneten Voraussetzungen ist das Quadrat Xt² eines ARCH(q) Prozesses ein AR(q)- Prozess. 6. Falls das vierte Moment eines ARCH q)- Prozesses mit normalverteilten Innovationen εt existiert, so muss α1+. . . + αq < ⅓ gelten.

GARCH(1,1)-Modell I Wurde erstmals unter anderem Namen von Taylor vorgeschlagen. Der Durchbruch gelang jedoch 1986 Bollerslev, der diese Namensgebung eingeführt hatte. Ein GARCH-Prozess ist ein um autoregressive Terme erweiterter ARCH- Prozess. Definition: Ein stationärer Prozess X heißt GARCH-Prozess der Ordnung (1,1), falls es ein unabhängiges Weißes Rauschen ε der Varianz σε² = 1 sowie reelle Zahlen α0 > 0,α1 ≥ 0, ß1 ≥ 0 gibt, so dass es einen stochastischen Prozess σt gibt mit σt² = α0 + α1X²t-1+ ß1σ²t-1 und Xt = σtεt.

GARCH(1,1)-Modell II Bemerkungen: 1. Bezüglich der Verteilung der Innovationen gilt wie beim ARCH-Prozess: man geht häufig von standardnormalverteilten Innovationen aus. Man ist jedoch an Verteilungen von εt mit schweren Tails interessiert; in diesem Fall kommt meist eine tυ-Verteilung mit υ > 2 zum Einsatz: εt ~√ υ-2/υ· tυ. 1. Die Varianz von Xt ist genau dann endlich wenn α1+ ß1 < 1 ist; 2.Ein GARCH(1,1)-Prozess ist ein Weißes Rauschen mit Varianz σx² = α0 / (1- α1- ß1). 3.Für GARCH(1,1)-Prozesse gilt E(Xt|Xt-1,Xt-2,. . .) = 0 und Var(Xt|Xt-1,Xt-2,. . .) = σt².

GARCH(1,1)-Modell III 4. Das vierte Moment eines GARCH(1,1)-Prozesses Xt mit normalverteilten Innovationen εt existiert genau dann, wenn 3α²1+2α ß1+ ß²1 < 1 gilt. Für die Kurtosis κX von X gilt: κX = 3[1- (α1+ ß1)²]/(1- 3α²1-2α ß1-ß²1). 5. GARCH(1,1) -Prozesse haben i.a. schwere Tails, auch wenn die Innovationen εt keine schweren Tails besitzen.

GARCH(p,q)-Modell I Definition: Ein stationärer Prozess X heißt GARCH-Prozess der Ordnung (p,q,) falls es ein unabhängiges Weißes Rauschen ε der Varianz σε² = 1 sowie reelle Zahlen α0 > 0,α1 ≥ 0,..., αq ≥ 0, ß1 ≥ 0,..., ßp ≥ 0 gibt, so dass es einen stochastischen Prozess σt gibt mit σt² = α0 + α1X²t-1+...+ αqX²t-q+ ß1σ²t-1+...+ ßpσ²t-p und Xt = σtεt. Bemerkungen: 1. Man geht bei GARCH(p,q)-Prozessen davon aus, dass wenigstens einer der Koeffizienten α1,..., αq echt größer als 0 ist, da andernfalls keine Kopplung von σt² an X²t vorliegt.

GARCH(p,q)-Modell II 2. Die Annahmen über die Verteilungen der Innovationen εt gelten analog zum GARCH(1,1)-Prozess. 3. Die Varianz eines GARCH(p,q)-Prozesses ist genau dann endlich wenn α1+...+ αq+ ß1+...+ ßp < 1 gilt. 4.Ein GARCH(p,q)-Prozess ist ein Weißes Rauschen mitVarianz σx² = α0 / (1- α1- ...- αq-ß1-…- ßp) 5. Analog zu den GARCH(1,1)-Prozessen gilt E(Xt|Xt-1,Xt-2,. . .) = 0 und Var(Xt|Xt-1,Xt-2,. . .) = σt². 6. Wenn das vierte Moment von Xt existiert, so ist das Quadrat X²t eines GARCH(p,q)-Prozesses ein ARMA(max(p,q),p)-Prozess.

Erweiterte GARCH-Modelle I IGARCH : integrierte GARCH-Prozesse sind GARCH(p,q)-Prozesse, für die gilt: α1+...+ αq+ ß1+...+ ßp = 1. Die Erwartungen für die Zuwächse der Volatilität sind zu jedem Zeitpunkt positiv, d.h. die unbedingte Varianz ist nicht mehr endlich. Diese GARCH-Prozesse sind nicht mehr schwach stationär, allerdings können sie unter bestimmten Bedingungen strikt stationär sein.

Erweiterte GARCH-Modelle II GARCH-M: „GARCH in mean“ ist ein GARCH-Prozess, bei dem der Volatilitätsterm den bedingten Erwartungswert beeinflusst, z.B. bei der Risikoprämie: wenn die Volatilität einer Anlage hoch ist, erwartet man eine höhere Rendite im Mittel. Ein GARCH-M-Prozess ist kein Weißes Rauschen mehr, sondern weist im allgemeinen Autokorrelation auf. Darstellung: Xt = θσt + ut , wobei ut ein GARCH-Prozess ist: ut = σtεt , σt² = α0 + α1u²t-1+...+ αqu²t-q+ ß1σ²t-1+...+ ßpσ²t-p , θ Element R. Die Mittelwertfunktion μt wird als θσt angesetzt. In manchen Fällen wird mit dem Vielfachen der Varianz modelliert: Xt = θσ²t + ut

Erweiterte GARCH-Modelle III Aktienrenditen weisen den so genannten Leverage-Effekt (Englisch für „Hebelwirkung“) auf. Man hat beobachtet, dass negative Renditen (fallende Aktienkurse) mit höhere Volatilität einhergehen als steigende. Die herkömmlichen GARCH-Modelle berücksichtigen diesen Effekt nicht. Nelson hat 1991 ein Modell vorgeschlagen, das diesen Effekt abbildet: Exponential GARCH (EGARCH). Darstellung: log σt² = μlogσ²t +Δ(log σt - 1² - μlogσ²t) +g(Xt - 1), mit g(Xt-1) = θXt-1 + γ (| Xt-1 | - E | Xt-1 |); Xt ist eine Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen.

Erweiterte GARCH-Modelle IV μlogσ²t ist der Erwartungswert von log σt² und Δ ist der Parameter für den autoregressiven Teil Der Term θXt-1 in g(Xt - 1) bestimmt den Vorzeicheneffekt von Schocks auf die Volatilität (spiegelt den „Leverage Effekt“ wider). Der Parameter θ ist typischerweise negativ. Der Term γ (| Xt-1 | - E | Xt-1 |) bestimmt den Größeneffekt von Schocks auf die Volatilität. Der Parameter γ ist typischerweise positiv. Der EGARCH bietet einerseits den Vorteil, dass die Parameter nicht auf positive Werte restringiert sind, und andererseits werden die Asymmetrien in der Volatilität erfasst.

Erweiterte GARCH-Modelle V GJR GARCH(1,1)-Modell wurde 1993 von Glosten, Jagannathan und Runkle vorgeschlagen; Darstellung: σt² = α0 + w (Xt - 1) X²t – 1+ ßσ²t-1 , α + αˉ für Xt – 1 < 0 mit w (Xt - 1) = α für Xt – 1 ≥ 0