Diese Fragen sollten Sie beantworten können Was ist ein Modell - Abstraktion Was sind die mathematischen Grundbeziehungen technischer Modelle - Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern Rundung, Diskretisierung, Abbruch Was bedeuten Kondition, Konsistenz und Konvergenz Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Abbruchfehler beherrscht Wie diskretisieren wir Funktionen Was ist ein iteratives Verfahren Nullstellensuche nach Newton Berechnen Sie für eine Funktion f(x) das Integral in (a,b)

V6: Differenziation Teil III: Grundoperationen auf diskretisierte Funktionen Kap. 6: Differenzieren von Funktionen Inhalt: Differenzenverfahren Vorwärts-Rückwärts- und zentrale Differenzen Abbruch- und Diskretisierungsfehler Konsistenz Übung: Numerisches Differenzieren

Das sollten Sie heute lernen Wie geht man vor, um numerisch Ableitungen zu bestimmen Welche Fehler macht man dabei und wie kann man sie verringern Bestimmen Sie Differenzen für beliebige Ableitungen

Numerisches Differenzieren -1 Ausgang ist die Taylorreihenentwicklung

Numerisches Differenzieren -2 Daraus ergibt sich folgende Strategie zur Bestimmung von Ableitungen diskretisierter Funktionen. 1. Stelle Tailor-Reihen-Entwicklung bis zur n-ten Ableitung auf. 2. Ist n größer 1, so müssen n-1 Ableitungen niederer Ordnung eliminiert werden. Dazu sind n-1 weitere Tailor-Entwicklungen an der selben Stelle xi aufzustellen (z.B. yi-1, yi+2, yi-2, ...). 3. Eliminiert man die Ableitungen niederer Ordnung, so erhält man Das erste vernachlässigte Glied Allgemein gilt: Zur Approximation eines Differentialquotienten der Ordnung n sind mindestens Funktionswerte an n+1 Maschenpunkten nötig. Der Abbruchfehler ist von der Ordnung xn+1 und der Diskretisierungsfehler hat die Ordnung x

Beispiel 1: Berechnung von vorwärts/rückwärts A1) Aus yi+1 folgt durch Abbruch nach dem zweiten Glied: Der Diskretisierungsfehler (Abbruchfehler/ ) ist: A2) Aus yi-1 folgt durch Abbruch nach dem zweiten Glied:

Beispiel 1: Berechnung von zentral A3) Kombiniert man beide Näherungen, so erhält man: Der Diskretisierungsfehler ist Nach dem Mittelwert der Differentialrechnung gibt es einen Wert derart, daß  = 0 wird. In der Regel ist

Beispiele 2: Näherung von Aus der Summe von yi+1 und yi-1 folgt: Spezialfall

Bildung von Differentialen bei Funktionsentwicklungen Ist Ausgang der Näherung eine Diskretisierung der abhängigen Variablen, so gilt und für die Ableitungen Die Qualität dieser Näherung hängt jetzt stark von der Art der Anpassung von an y, also von der Art der Wichtung und der Basisfunktionen, ab. Es ist auch möglich, den ai die Bedeutung von Ableitungen zu geben (siehe Tailorreihen).

Näherungen höherer Ordnung -1 Näherungen höherer Ordnung kann man über beide Ansätze gewinnen Für die Differenzenmethode wird die Taylorreihe nicht schon bei der Ableitung der Ordnung n sondern erst später abgebrochen. Die höheren Ableitungen müssen ebenso wie die Ableitungen Niederer Ordnung eliminiert werden. Jedes zusätzlich berücksichtigte Glied erhöht die Ordnung der Näherung Bei der Entwicklungsmethode (Page Approximation) erhält man Näherungen höherer Ordnung mit Hilfe der Lagrange-Interpolation. Es gilt und daher

Näherungen höherer Ordnung -2 für n = 2 ist und entsprechend

Näherungen höherer Ordnung -3 Daraus kann man Ableitungen an den Punkten x2, x1 und x2 bestimmen. (Es gilt x1 - x0 = x x2 - x0 = 2 x). Die Fehlerordnung ist 0 (x2), wobei der Fehler der zentralen Ableitung etwa halb so groß wie der bei Vorwärts- bzw. Rückwärtsableitung ist.

Diese Fragen sollten Sie beantworten können Wie kann man eine Funktion numerisch differenzieren Was sind Abbruch und Diskretisierungsfehler Geben Sie Differezenapproximationen für 1. und 2. Ableitungen an Was sind vorwärts, rückwärts und zentraleDifferenzen Geben Sie Kriterien für die Auswahl eine Diskretisierungsvorschrift an