Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten1.

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1 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten1 Diese Fragen sollten Sie nach V1 beantworten können –Wichtige Eigenschaften von Modellen –Modelle und ihre Fehler –Gibt es richtige Modelle –Techniken zur Reduktion der Komplexität –Aufgabe von Modellen im Lebenszyklus eines Systems –Wie können Modelle die Realität ergänzen –Wann kann die Realität an Modellen gemessen werden –Überlegen Sie sich ein Beispiel aus Ihrem Umfeld und zeigen Sie typische Modellierungsschritte auf –Was bringt mir die Vorlesung –Welchen Aufwand will ich investieren

2 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten2 Diese Fragen sollten Sie nach V2 beantworten können - 1 1.Wie können wir Komplexität reduzieren 2.Was meint man mitStukturierung von Daten Zerlegung von Aufgaben Wiederverwendung von Komponenten Standardisierung von Vorgehen und Schnittstellen 3.Welche Elemente des Qualitätsmanagements müssen wir beachten 4.Was sind technische Objekte und wie können wir sie zu Systemen verbinden 5.Was bedeuten die 3 K des Ingenieurwesens 6.Was bedeuten die 3 S hoher Produktivität

3 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten3 Diese Fragen sollten Sie nach V2 beantworten können - 2 1.Was ist eine virtuelle Anlage und wozu können wir sie einsetzen 2.Was ist ein Modul und welche Typen unterscheiden wir 3.Warum trennen wir Beschreibung und Verhalten und wie hängen beide zusammen, wenn wir Verhalten simulieren 4.Wie unterscheidet sich der modulare Ansatz vom Ansatz der technischen Objekte 5.Wie setzt man im klassischen Software Engineering die 3S um

4 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten4 Diese Fragen sollten Sie nach V3 beantworten können 1. Was leisten Prozessmodelle? 2. Wann lohnt sich der Einsatz eines Prozessmodelles? 3. Was leistet der RUP? 4. Was sind die Grundideen des RUP? 5. Welche Hilfsmittel bietet der RUP an? 6. Wie finde ich weitere Informationen im RUP Handbuch? 7. Was ist Tailoring? 8. Zu was ist Tailoring nützlich? 9. Wie passe ich einen Workflow an ein konkretes Problem an? 10. Was sind die Elemente eines Prozessmodelles?

5 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten5 Diese Fragen sollten Sie nach V4 beantworten können - 1 1.Was ist ein Objekt und wie beschreiben wir es 2.Was ist eine Klasse und zu was nutzt sie 3.Welche Beziehungen zwischen Klassen/Objekten kann man zur Modellierung verwenden 4.Was bedeutet Vererbung 5.Was sind Komponenten und Dienste 6.Ziele des Komponentenansatzes

6 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten6 Diese Fragen sollten Sie nach V4 beantworten können - 2 1.Was ist die UML 2.Wie beschreibt die UML Klassen 3.Wichtige Beziehungen zwischen Klassen 4.Was ist ein Use Case 5.Was ist ein Klassendiagramm 6.Wie beschreibt man eine Komponente 7.Wie liest man ein UML Diagramm

7 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten7 Diese Fragen sollten Sie nach V5 beantworten können –Was bedeutet testgetriebene Entwicklung –Was ist ein JUnitTest –Geben Sie mindestens 3 Aggregationsstufen an und beschreiben Sie ihre Funktion bei der Wiederverwendung –Was sind Entwurfsmuster und welche Bedeutung haben sie –Beschreiben Sie das Strategy Pattern –Was sind Frameworks –Beschreiben Sie die Beziehung zwischen Entwurfsmustern, Frameworks und Komponenten und veranschaulichen Sie sie durch ein UML Diagramm –Wie entwickelt man ein Framework –Was ist ein Anti Pattern –Wann setzt man Komponenten ein –Beschreiben Sie die 3 Komponentenarchitekturen

8 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten8 Simulation komplexer technischer Anlagen Vorlesung 6:Modellierung des Verhaltens technischer Komponenten Grundlagen der Numerik Das sollten Sie heute lernen Was ist eine Simulation? Wie beschreiben wir technische Komponenten Simulation auf Großrechnern Rechnen auf endlichen Maschinen Fehler bei Operationen Diskretisierung von Funktionen Integration von Funktionen Differenzieren von Funktionen

9 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten9 Simulation Definition nach VDI-Richtlinie 3633 Simulation ist die Nachbildung eines dynamischen Prozesses in einem Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind. Erfahrungen –Wir denken nur in Modellen - kein Modell ist auch ein Modell –Modellieren heißt abstrahieren - Fehler durch Weglassen –Modelle sind nicht wahr oder falsch, sondern adäquat Häufiges Vorgehen –Identifiziere wichtige Komponenten (Analyse) –Beschreibe Verhalten durch Daten und Methoden (Entwurf) –Implementiere in Modul (Numerische Methoden) –Integriere Komponenten in System –Parametrisiere System und seine Komponenten –Untersuche Zeitverhalten –Interpretiere Ergebnisse

10 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten10 Bildung von Modellen Problem mathematisches Modell mathematisches Modell physikalisches Modell physikalisches Modell Analyse des mathe- matischen Modells Existenz von Lösungen Analyse des mathe- matischen Modells Existenz von Lösungen Numerisches Modell Konsistenz, Konvergenz Numerisches Modell Konsistenz, Konvergenz Analyse und Darstellung der Ergebnisse Analyse und Darstellung der Ergebnisse Simulation Daten- Beschaffung Daten- Beschaffung Modul Verknüpfung Modul Verknüpfung Entwurf und Implementierung eines Programms

11 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten11 Modelle technischer Vorgänge Basismodell Erhaltungsgleichungen für Masse, Energie und Impuls Grundform zeitliche Änderung einer Systemgröße y = Differenz aus Quellen und Senken -Simulationsmodelle erfordern mathematische Modelle und darauf abgestimmte Daten -Datenmodelle müssen Semantik des Weltausschnittes und der Modellierung seines Verhaltens enthalten (Ontologie) -Mathematische Modelle a) differentielle Betrachtungsweise Das ist gewöhnliche Differentialgleichung am Ort x i b) Integrale Betrachtungsweise an Zeitpunkten t n und t n+1 Das ist eine Integralgleichung c) Systeme von Differentialgleichungen erhält man, wenn - mehrere Systemgrößen - mehrere Ortspunkte zu berücksichtigen sind.

12 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten12 Beschreibung einer technischen Komponente Parameter verbinden Modell mit realen Komponenten Zustand beschreibt Systemgrößen Schnittstelle verbindet Systemgrößen unterschiedlicher Komponenten nach dem Ursache- Wirkungsprinzip Methode Simulieren berechnet Werte der Systemgrößen zum Zeitpunkt t n+1

13 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten13 Komponentenbasiertes Modell eines Kreislaufes

14 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten14 The Virtual Powerplant as base for training and distributed student projects Core simulation by ZIRKUS System simulation by FLOWNET Safety analyses with ATHLET Validation through PBMM

15 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten15 MPBR: System Design Return

16 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten16 Modular program system ZIRKUS for reactor physics calculations KUGEL (SPHERE) NIVERM NEVA MICROX MAGRU HBLOCK VORNEK BUCK NECKAR/THERMIX SBURN Core design

17 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten17 Model for annular PBMR core design Return

18 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten18 PBMM facility of Potchefstoom University South Africa

19 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten19 Anwendung detaillierter Simulationsmodelle Detaillierte Modelle erlauben –Interpolation zwischen Messwerten(Verringerung teuerer Messungen) –Untersuchungen von alternativen Lösungen(Variantenkonstruktion) –Optimierung des Betriebs unter aktuellen –Randbedingungen (Betriebsmanagement) –Untersuchungen in GrenzbereichenStörfallsimulation) –Überwachung der Steuerungstechnik(Fehlererkennung) Detaillierte Modellierung erfordert –Detaillierung der Beschreibung –Integration neuer Effekte –verlässlichere Materialdaten –zuverlässigere Experimente –exaktere Randbedingungen –Integration von Erfahrungen aus Nachbardisziplinen

20 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten20 Rechnen auf endlichen Maschinen endlich viele Stellen- Rundungsfehler endlich viele Werte- Diskretisierungsfehler endlich viele Schritte- Abbruchfehler endlich viele Rechnerkomponenten- Rechenergebnisse von Anlage abhängig Problem gut konditioniert- Rundungsfehler spielen keine Rolle Problem konsistent- alle Diskretisierungsfehler gleiche Ordnung Problem konvergent- alle Abbruchfehler gleiche Ordnung Ziel: Numerische Fehler klein gegen Fehler aus Simulation, Mathematik, Physik

21 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten21 Rundungsfehler Fehler der Grundoperationen Sei a der exakte Wert einer gesuchten Größe und ã eine Näherung, dann sind der absolute Fehler a und der relative Fehler a der Näherung ã definiert durch(1) Umgekehrt gilt(2) Für die Genauigkeit eines Resultates ist meist der relative Fehler maßgebend, da er direkt mit der Anzahl N der korrekten bedeutsamen Ziffern in a zusammenhängt: (3) Aus (2) folgt Additivität des absoluten Fehlers bei Addition, und näherungsweise Additivität von kleinen relativen Fehlern bei Multiplikation bzw. Division Anders verhält sich die Subtraktion. Hier kann aufgrund von Stellenauslöschung der relative Fehler über alle Grenzen wachsen wird genähert durch Fehler der Grundoperationen Sei a der exakte Wert einer gesuchten Größe und ã eine Näherung, dann sind der absolute Fehler a und der relative Fehler a der Näherung ã definiert durch(1) Umgekehrt gilt(2) Für die Genauigkeit eines Resultates ist meist der relative Fehler maßgebend, da er direkt mit der Anzahl N der korrekten bedeutsamen Ziffern in a zusammenhängt: (3) Aus (2) folgt Additivität des absoluten Fehlers bei Addition, und näherungsweise Additivität von kleinen relativen Fehlern bei Multiplikation bzw. Division Anders verhält sich die Subtraktion. Hier kann aufgrund von Stellenauslöschung der relative Fehler über alle Grenzen wachsen wird genähert durch

22 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten22 Interpolationsformel von Lagrange Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen An den Stützstellenmuß wegen der Interpolationsbedingung gelten Für diegelten die Beziehungen und allgemein Diesind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist. Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1. 1/2 Der Versuch wird durch Klick gestartet Die mathematische Darstellung der Eulerzahl lautet: Die Limesbildung meint, daß bei einem sehr groß gewählten n das numeri- sche Ergebnis und die mathematisch exakte Lösung übereinstimmen. Diese Theorie stimmt jedoch nur solange n so klein bleibt, daß 1/n nicht in den Bereich der Rundungsfehler von 1 gelangt. Auf unseren Rechnern beträgt die Mantissenlänge für double 53 (für float 24). Daraus ergibt sich ein Rundungs- fehler an der 55 Stelle. Nähert sich n dem Wert,so erhält man für die Ergebnisfunktion ein Sägezahnprofil mit dem Höchstwert e² bei n=. Steigt n weiter an, dann gilt f(n)=1 Für n < wirkt sich der Rundungsfehler bei der vorgegebenen Zeichengenauigkeit nicht sichtbar aus. Auswirkungen von Rundungsfehler bei der Berechnung von e

23 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten23 Bestimmung von e Ein Beispiel soll die Wirkung von Rundungsfehlern erläutern. Zu berechnen sei Nach dieser Formel wurden die folgenden Werte mit 10stelliger Dezimalarithmetik berechnet. Die Abweichungen in der rechten Spalte sind Folge von Rundungsfehlern. So gilt etwa für n = 2 10 für 1/n = 5 10 -10 und gerundet 10 -9. Für n = 2.5 10 erhält man für 1/2 = 4 10 -10 und gerundet gerade 0. Die Verwendung der Potenzreihe für würde hier Abhilfe schaffen. Im Rahmen der numerischen Experimente wird ein entsprechender Versuch mit einem 32 bit-Rechner angeboten.

24 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten24 Berechnet man aus einer Größe x über einen Algorithmus f(x) eine Größe y, so gibt es zwei Ursachen für Fehler – Fehler in x – Fehler in Operation Daraus folgt Darin bedeutetden absoluten Fehler durch die Operation den absoluten Fehler durch das Argument Nach dem Mittelwertsatz gilt oder Damit wird cond f heißt Kondition der Operation. Für cond f < 1 führt die wiederholte Anwendung einer Operation zum Verschwinden des Fehlers durch das Argument, man sagt, die Operation ist stabil. Fehler bei Operationen

25 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten25 Interpolationsformel von Lagrange Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen An den Stützstellenmuß wegen der Interpolationsbedingung gelten Für diegelten die Beziehungen und allgemein Diesind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist. Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1. 1/2 Die Summe der einzelnen Fehler ist eine normal verteilte Größe. Die Streu- ung der Normalverteilung ist. Wobei n die Zahl der Operationen und die Proportionalitätskonstante vom Rundungsfehler der einzelnen Opera- tionen abhängt. In der Visualisierung sind dargestellt: a)die Einzelfehler b)die Summenfehler c)der 2 Sigma Bereich für den Summenfehler Bei diesem Versuch werden Zufallszahlen (a) generiert und durch die Vor- schrift (a/b+1)-1 gerundet. Die Differenz zwischen der ursprünglichen und der gerundeten Zufallszahl ergibt den Rundungsfehler (Rundfe). Wobei b=10 gilt. Der Versuch wird durch Klick gestartet Fehlerfortpflanzung bei Addition

26 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten26 Diskretisierung von Funktionen Neben der diskreten Darstellung der Zahlen interessieren in der Numerik vor allem die diskrete Darstellung von Verläufen (Funktionen) und der darauf möglichen Operationen (vor allem Integration und Differentiation). Drei Möglichkeiten der Diskretisierung von Verläufen sollen im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden. Ausgang ist y = f(x) xsteht für die unabhängigen Variablen, ysteht für die abhängigen Variablen, fgibt den Verlauf an und wird im Folgenden als Operation auf x gedeutet, die die Gerade y ergibt. a)Diskretisierung der unabhängigen Variablen wird durch Werte y i =f(x i ) dargestellt. Für weitere Operationen kann zwischen den Werten y i interpoliert werden. Als Interpolationsfunktion werden häufig Lagrange-Polynome verwendet.

27 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten27 Diskretisierung von Funktionen -2 b) Diskretisierung der abhängigen Variablen Wählbar sind die Entwicklungsfunktionen N i (x), die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten a i und die Art der Näherung von c)Diskretisierung durch statistische Methode wird über Werte beschrieben, wo x i zufällig bestimmt und nach verteilt sind.

28 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten28 Lineare Interpolation -1- y wird durch zwei Punkte x o und x 1 beschrieben. ist eine Gerade durch die Punkte (x o, y o ) und (x 1, y 1 ) Fasst man die Glieder mit y o und y 1 zusammen, so gilt Die Ausdrücke vor den Werten y o und y 1 sind Funktionen von x. Wir bezeichnen sie mit Offensichtlich gilt und

29 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten29 Lineare Interpolation -2- Höhere Interpolation heißen Lagrange-Polynome. Es gilt

30 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten30 Ihre allgemeine Form lautet: Für n = 3 Lagrange Polynome -1

31 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten31 Lagrange Polynome -2 Mit diesen Interpolationsfunktionen lässt sich eine Funktion y(x) etwa folgendermaßen nähern: x0x1x2x3x0x1x2x3

32 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten32 Interpolationsformel von Lagrange Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen An den Stützstellenmuß wegen der Interpolationsbedingung gelten Für diegelten die Beziehungen und allgemein Diesind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist. Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1. 1/2 Versuch: Mit Hilfe von der Lagrangefunktion wird xsin(x) angenähert. Variiert werden der Approximationsbereich und der Grad der Approximation. Das Approximations- gebiet wird dann in n äquidistante Intervalle unterteilt. Als n+1 Stützstellen werden die Intervallgrenzen gewählt. Der Versuch wird durch Klick gestartet Lagrange Interpolationsformel von Lagrange - 2

33 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten33 Taylor-Reihenentwicklung Folgende Festlegungen führen zur Taylor-Entwicklung: –Entwicklungsfunktionen Polynome von (x - x o ) –Entwicklungkoeffizienten Wert und Ableitung an Stelle x 0 : Art der Näherung y und stimmen an der Stelle x 0 in Wert und allen Ableitungen bis zur Ordnung n überein.

34 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten34 Taylor-Reihenentwicklung -2 Ergebnis der Näherung Abbruch- oder Verstümmelungs-Fehler entspricht erstem vernachlässigtem Glied Konvergenz

35 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten35 Stückweise Näherung -1 Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlussstellen und erreicht das dadurch, dass je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz- Funktionen je der Ordnung nj. Die Näherung heißt stückweise stetig.

36 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten36 Stückweise Näherung -2 In den folgenden Bildern vergleichen wir stückweise stetige Näherungen der Funktion durch Diskretisierungen von x und y jeweils mit verschiedenen Ordnungen und verschiedenen Aufteilungen in Untergebiete. Als Versuchsfunktionen wurden Polynome 1.Ordnung verwendet. Bei der Diskretisierung von y erfolgte die Anpassung so, dass das Integral unter Funktion und Näherung identisch sind:

37 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten37 Nullstellensuche Zu jedem Problem existiert ein Umkehrproblem Die Bestimmung des Wertes x p zu einem vorgegebenen Wert y p heißt Nullstellensuche. Zu lösen ist das Problem Für komplizierte Verläufe von f(x) kann dies nur näherungsweise geschehen. Folgender Algorithmus hat sich bewährt: Nähere x p durch Berechne Für sonst Der Algorithmus heißt Iteration.

38 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten38 Nullstellensuche -2- Die Iteration wird also abgebrochen, wenn kleiner als eine vorgegebene Schranke ist. Wird diese Schranke unterschritten, so sagt man, die Folge der sei konvergent. Folgende Fragen sind zu klären: a)Wie findet man eine passende Iterationsvorschrift? b)Welche Anfangswerte sind zu wählen? c)Unter welchen Bedingungen konvergiert die Folge der ? d)Wie schnell konvergiert die Folge der ? Antworten finden wir experimentell am Beispiel

39 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten39 Nullstellensuche -3- Sie sollen am folgenden Beispiel erläutert werden: Folgende Iterationsvorschriften bieten sich an: Dieses Verfahren heißt Newton-Verfahren.

40 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten40 Numerische Integration 1.Unterteile Integrationsgebiet a, b in Teilgebiete a i, b i 2.Nähere Funktion in Teilgebiete durch bekannte Funktionen 2.1Lagrange 2.2Gauß

41 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten41 Verfahren nach Newton Cotes -1 3.Integriere Näherungslösung Ausgang: Lagrange Interpolation Integration: Tabellierung: Die Werte des sind für verschiedene Ordnungen von Lagrange-Funktionen tabelliert.

42 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten42 Verfahren nach Newton Cotes -2 Tabelle der normierten Integrale: n Ordnung der Näherung, i Stützstelle Integralwert,

43 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten43 Verfahren nach Gauß Ausgang: Entwicklung nach Funktionen Wo N j (x) Legendere Polynome N j = f (x j ) Funktionswerte an Gauß-Punkten x i und die Anpassung von so erfolgt, dass bei einer Näherung der Ordnung n die Fläche unter einer Kurve der Ordnung 2n exakt genähert wird. Stützstellen heißen Gauß Punkte Integration: Tabellierung: Tabelliert sind die Gauß-Punkte und die Integrale.

44 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten44 Konvergenzverbesserung Ist die Konvergenzordnung mit 0 (h h-1 ) bekannt, so gilt Daraus kann man zwei Methoden zur Lösungsverbesserung ableiten: a)Richardson-Extrapolation Verändert man h q h, so gilt Eliminiert man a, so gilt Dies ist die Richardson-Extrapolation. b)Romberg-Tableau Wiederholt man eine Rechnung mit verschiedenen Maschenweiten h 0,h 1,... h n, so kann man auf je zwei Ergebnisse eine Richardson-Extrapolation anwenden. Dies führt zum folgenden Rechenschema (Romberg-Tableau).

45 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten45 Numerisches Differenzieren -1 Ausgang ist die Taylor-Reihenentwicklung:

46 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten46 Numerisches Differenzieren -2 Daraus ergibt sich folgende Strategie zur Bestimmung von Ableitungen diskretisierter Funktionen. 1.Stelle Taylor-Reihen-Entwicklung bis zur n-ten Ableitung auf. 2.Ist n größer 1, so müssen n-1 Ableitungen niederer Ordnung eliminiert werden. Dazu sind n-1 weitere Taylor-Entwicklungen an der selben Stelle x i aufzustellen (z.B. y i-1, y i+2, y i-2,...). 3.Eliminiert man die Ableitungen niederer Ordnung, so erhält man Das erste vernachlässigte Glied Allgemein gilt: Zur Approximation eines Differentialquotienten nach Ordnung sind mindestens Funktionswerte an n+1 Maschenpunkten nötig. Der Abbruchfehler ist von der Ordnung x n+1 und der Diskretisierungsfehler hat die Ordnung x

47 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten47 Beispiel 1 Berechnung von A 1 )Aus y i+1 folgt durch Abbruch nach dem zweiten Glied: Der Abbruchfehler ist A 2 )Aus y i-1 folgt durch Abbruch nach dem zweiten Glied: Der Abbruchfehler ist

48 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten48 Beispiel 1 - Fortsetzung A 3 ) Kombiniert man beide Näherungen, so erhält man: Der Abbruchfehler ist Nach dem Mittelwert der Differentialrechnung gibt es einen Wert derart, dass = 0 wird. In der Regel ist

49 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten49 Beispiele 2 Näherung von Aus der Summe von y i+1 und y i-1 folgt: Spezialfall

50 Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten50 Ist Ausgang der Näherung eine Diskretisierung der abhängigen Variablen, so gilt und für die Ableitungen Die Qualität dieser Näherung hängt jetzt stark von der Art der Anpassung von an y, also von der Art der Wichtung und der Basisfunktionen, ab. Es ist auch möglich, den a i die Bedeutung von Ableitungen zu geben (siehe Taylor-Reihen). Bildung von Differentialen bei Funktionsentwicklungen