Zentralprojektion „Perspektive“ Die geometrischen Grundlage der räumlichen Skizzen und Schaubilder

Darstellende Geometrie: Ein Teilgebiet der Geometrie ist die Darstellende Geometrie. Die 1. Aufgabe der Darstellenden Geometrie ist die Abbildung räumlicher Gegenstände in der Zeichenebene. Abbildungsverfahren: • Parallelprojektion und • Zentralprojektion Diese Abbildungsverfahren liefern: maßhaltige (oft unanschauliche) als auch anschauliche Abbildungen plastisch-räumlicher Gegenstände.

„Maßhaltige“ Abbildung: Darstellung der: • „wahren“ Form • „wahren“ Längen von Strecken • „wahren“ Größen von Winkel Sie können direkt aus den Zeichnungen abgelesen werden. Diese Zeichnungen vermitteln nicht immer eine Vorstellung von der „plastisch – räumlichen“ Form und der Wirkung des Gegenstandes. Das Lesen solcher Abbildungen erfordert • Übung und • räumliches Vorstellungsvermögen

Günter Domenig: Werkzeichnung Fassade „Zentralsparkasse“ Wien

Günter Domenig: Werkzeichnung Fassade „Zentralparkasse“ Wien

Günter Domenig: Werkzeichnung Fassade „Zentralsparkasse“ Wien

„Anschauliche“ Abbildungen Darstellung von • Form • Räumliche Anordnung • Oberflächenqualitäten • Licht und Schatten • Spiegelung und Reflexion Abbildungsverfahren: • Militär- und Kavalierprojektion (allgemeine Parallelprojektion) • Axonometrie (senkrechte Parallelprojektion) • Zentralprojektion („Perspektive“)

Die 2. Aufgabe der Darstellenden Geometrie ist • die Behandlung und Lösung räumlicher Konstruktionsprobleme in der Zeichenebene.

Projektion: Die Abbildung des Raumes auf eine Ebene

p Z Projektionsstrahl Bildebene Zeichenebene Objekt Standebene

Projektion : Abbildung Projektionszentrum: Augpunkt Z Bildebene: Zeichenebene p Projektionsstrahl: Sehstrahl r Punkt im Raum: Objektpunkt P Bild des Punktes P: Bildpunkt Pc

Pc = ZP * p

Verschwindungsebene: u Fernelemente: Fernpunkt Qu Ferngerade gu Fernebene au

Zusammenfassung: Voraussetzung für die Zentralprojektion Jedem Punkt des Raumes wird ein Punkt in der Bildebene zugeordnet. Jeder Geraden im Raum wird eine Gerade in der Bildebene zugeordnet. (Geradentreue) Ein Punkt der mit Z zusammenfällt kann nicht abgebildet werden Eine Gerade die Z enthält bildet sich als Punkt ab (projiziernde Gerade) Eine Ebene die Z enthält bildet sich als Gerade ab Elemente einer Ebene die Z enthält und parallel zur Bildebene ist bilden sich auf der Ferngeraden der Bildebene ab. („die Bilder liegen im Unendlichen“) •

Zentralprojektion: Parallelprojektion: Abbildungsverfahren Geradentreu (Linearität) Doppelverhältnistreu Geradentreu (Linearität) Parallelentreu Teilverhältnistreu

Zentralprojektion: Modell: Pyramide Kegel Parallelprojektion: Modell: Prisma Zylinder

Zentralprojektion: Parallelprojektion: Allgemeine Parallelprojektion Militärprojektion Kavalierprojektion Senkrechte Parallelprojektion Kotierte Prejektion Axonometrie Zugeordnete Normalrisse Zweitafelverfahren

Perspektivität Perspektivitätszentrum : Z Perspektivitätsachse : a Ist die Zuordnung zweier verschiedener Ebenen aus einem Zentrum, das in keiner der beiden Ebenen liegen darf. Den Punkten der einen Ebene werden Punkte der anderen zugeordnet. Zu den Punkten zählen auch die Fernpunkte. Perspektivitätszentrum : Z Perspektivitätsachse : a Zuordnungsgerade: r 2 zugeordnete Ebenen: a - b Zugeordnetes Punktepaar: P - P‘

Perspektivität • die Zuordnungsgeraden sind gerichtet und gehen von Z aus; • Zugeordnete Punkte liegen auf Zuordnungsgeraden; • Liegen mehrere Punkte auf einer Zuordnungs- geraden so fallen die zugeordneten Punkte in einem Punkt zusammen (Inzidenz); • Einer Geraden wird wieder eine Gerade zugeordnet; • Zugeordnete Geraden schneiden einander auf auf der Schnittgeraden (Perspektivitätsachse) der beiden zugeordneten Ebenen.

Perspektivität Fluchtpunkt : F Verschwindungspunkt: V Spurpunkt: S Fluchtpunkt der Geraden g: Fg Spurpunkt der Geraden g: Sg

Perspektivität Die Bilder paralleler Geraden haben bei Zentralprojektion einen Punkt in der Bildebene gemeinsam: den Fluchtpunkt. • Parallele Gerade haben einen Fluchtpunkt • Parallele Gerade im Raum gehen nicht in parallele Geraden der Bildebene über • eine Zentralprojektion ist nicht parallelentreu • eine Zentralprojektion ist nicht teilverhältnistreu

Perspektivität Fluchtpunkt : F Fluchtgerade: Fg Fluchtebene: Fe Verschwindungspunkt: V Verschwindungsgerade: v Vewrschwindungsebene: u Spurpunkt: S Spurgerade: Sg

Perspektivität • Zu jeder Ebene im Raum gibt es eine zu ihr parallele Fluchtebene durch Z. Diese schneidet die Bildebene in der Fluchtgeraden der Ebene. • Die zur Bildebene parallele Verschwindungsebene durch Z schneidet eine beliebige Ebene im raum in der Verschwindungsgeraden der Ebene. • Die Schnittgerade einer beliebigen Ebene im Raum schneidet die Bildebene in der Spurgeraden der Ebene. • Fluchtgerade, Verschwindungsgerade und Spurgerade einer Ebene sind stets zueinander parallel. • Parallele Ebenen haben eine Fluchtgerade gemeinsam. • Die Fluchtpunkte aller Geraden einer Ebene liegen auf der Fluchtgeraden der Ebene. Parallele Geraden haben einen Fluchtpunkt gemeinsam.

Perspektivität • Die Verschwindungspunkte aller Geraden einer Ebene liegen auf der Verschwindungsgeraden der Ebene. • Ist eine Gerade a der Ebene a parallel zur zur Spurgeraden der Ebene a, so ist die zugeordnete Gerade der Ebene b ebenfalls parallel zur Spurgeraden. • Das Teilverhältnis bleibt bei Perspektivität (Zentralprojektion) nicht erhalten: ein Mittelpunkt einer Strecke geht nicht in den Mittelpunkt der zugeordneten Strecke über. • Bei Perspektivität (Zentralprojektion) bleibt das Doppelverhältnis erhalten. Unter Doppelverhältnis versteht man das Verhältnis der Teilverhältnisse, in das die Punkte C und D die Strecke AB teilen: (AC : CB) : (AD:DB)

Perspektive Kollineation - Perspektive Affinität Ende der Vorlesung Thema der 3. Vorlesung: Perspektive Kollineation - Perspektive Affinität