Runde Fraktale Präsentation eines MatLab-Programms von Nele Fröse Seminar bei Prof. Chr. Kaernbach: Dynamik komplexer Systeme Juli 2007, Kiel

Warum Runde Fraktale? Eckige Fraktale wie die Kochkurve kennen wir schon. Gibt es so etwas auch ohne Ecken? Eigenschaften von fraktalen Mustern: Selbstähnlichkeit: Bekommt man einen Ausschnitt des Fraktals präsentiert, so kann man es vom Original nicht unterscheiden www.flg-online.de/faecher/ma/fraktale/einfach.htm

Idee: Sinusfunktion Mit Sinus- und Cosinusfunktionen lassen sich vielleicht runde Fraktale herstellen. Zum Beispiel Schneckenhaus-förmige

1. Kreis Xsinus=sin(x) Ycosinus=cos(x) Wobei x in kleinen Schritten von 0 bis 2Pi läuft.

2. Spirale Wir multiplizieren unsere Kurven mit einem schrittweise ansteigenden Wert Xspiral=schritt*sin(x) Yspiral=schritt*cos(x)

2. Spirale Problem: Diese Spirale ist nicht wirklich selbstähnlich. Der Abstand zwischen den Spirallinien müsste zur Mitte hin enger werden, damit man sie ins Unendliche fortführen kann.

3. Fibonacci-Zahlen Wenn der Radius der Spirale nach außen derart zunimmt, dass sich der neue Radius aus der Summe der beiden alten ergibt, haben wir Selbstähnlichkeit. Fibonacci-Zahlen: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,...

4. Fibonacci und Sinus Die Idee ist nun, die Kurven schrittweise mit der nächsthöheren Fibonacci-Zahl zu multiplizieren. Ganz so einfach ist die Sache jedoch nicht...

4. Fibonacci und Sinus Hier sieht man die Sinuskurve mit wachsender Amplitude nach den Fibonacci-Regeln. Um einen geschmeidigen Kurvenverlauf zu erzielen, wird die Kurve erst nach jeden Nulldurchgang mit der höheren F-Zahl multipliziert: xspiral=fibonacci(i)*sin(x) i=ceil(schritt*konstante)

5. Fibonacci und Cosinus Bei der zugehörigen Cosinuskurve muss die F-Zahl an der gleichen Stelle geändert werden wie bei Sinus, sonst gibt es Ecken in der Gesamt-Spirale Also eine neue F-Zahl an jeder Amplitude Allerdings entstehen dafür Zacken in der Cos-Kurve yspiral= fibonacci(i)*cos(y)

5. Fibonacci und Cosinus Um die Zacken zu glätten, müssen die Kurvenstücke abwechselnd nach oben und unten um eine F-Zahl additiv verschoben werden. yspiral= (+/-1) *fibonacci(i-3) +fibonacci(i)*cos(y)

6. Fibonacci Spirale xspiral und yspiral zusammen ergeben eine schöne selbstähnliche Spirale! Wenn man unendlich viele Windungen berechnet, kann man unendlich weit in die Spirale hineinzoomen, ohne dass sich ihr Erscheinungsbild ändert.

6. Fibonacci Spirale

Kanten-Eigenschaften Reduziert man die Schrittzahl für die Kurven, so wiederholt sich auch das Kantenmuster selbstähnlich

Mehrere Spiralen Man kann auch mehrere Spiralen verdreht darstellen.

Noch mehr Spiralen

100 Spiralen... Huch??

Zoom...

Was ist passiert? Die Schritt-Kanten der verdrehten Spiralen überschneiden sich Dabei bilden sich dichte Kreise aus Schnittpunkten, die sich in eigenartiger Weise wiederholen 1-3-1-3-1-3-1-3... Dieses Muster aus Abständen der Ringe zueinander ist selbstähnlich!

Andere Kreismuster Es bilden sich verschiedene Kreismuster je nach Kantenauflösung der Spirale Bild oben: 6, unten: 7 Die Kreise unterscheiden sich nach Dicke und Nähe Grobe Klassifizierung nach Augenmaß: Dicker Ring: , Dünner Ring: . Nahe Ringe: ... Ferne Ringe: . . .

Kreismuster-Codes 5: .,. , .,. , .,. , .,. , .,. 6: , . , . , . , . , . , . , . , . , 7: . ... . , . ... . , . ... . , . ... 8: , . , . , . , . , . , . , . , . , 9: . , . . ... . . , . . ... . . , . . ... 10: , . . . , . . . , . . . , . . . , . . . 11: . . . ,,, . . . , . . . ,,, . . . , . . . ,,, . 12: . . . . , . . . . , . . . . , . . . . , 13: . . . . ,,, . . . . , . . . . ,,, . . . . , . . 14: . . . . .,. . . . .,. . . . .,. . . . .,.

Was sagt uns das? Die Ringmuster wiederholen sich periodisch und selbstähnlich, sind also auch fraktal Die fraktalen Spiralen haben fraktale Ringmuster erschaffen! Und wir wissen nicht, bei welcher Kantenzahl welches Muster entsteht. Chaos? Oder kann man für jede Kantenzahl das Muster vorhersagen und umgekehrt?

Fazit Ich weiß, dass ich nichts weiß Vielleicht findet jemand anders heraus, wie die Kantenzahl und die Muster zusammenhängen.