Theorie der unscharfen Mengen Wintersemester 2005/2006

Vorlesung Übung Montags, 09.15–11.00h, MIB-1107 Theorie der unscharfen Mengen Vorlesung Montags, 09.15–11.00h, MIB-1107 Übung Freitags (ungerade Woche), 09.15–11.00h, MIB-1107 Veranstalter Dr. Tatiana Starostina E-mail: Tatiana.Starostina@math.tu-freiberg.de Tel. 3786 Sprechstunde nach Vereinbarung

Literatur 1). Dirk H. Träger Einführung in die Fuzzy-Logik Theorie der unscharfen Mengen Literatur 1). Dirk H. Träger Einführung in die Fuzzy-Logik Teubner, Stuttgart, 1994. 2). Hans Bandemer und Siegfried Gottwald Einführung in die Fuzzy Methoden 4. Auflage, Akademie-Verlag, Berlin 1993 3). Hans Bandemer and Siegfried Gottwald Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Methods with Applications John Wiley & Sons, Chichester 1995. 4). George J. Klir and Bo Yuan Fuzzy Sets and Fuzzy Logic – Theory and Applications Prentice Hall, 1995. 5). Hans-Jürgen Zimmermann Fuzzy set theory and its applications 2nd ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991.

Geschichte Vermutung: es gibt eine dritte Region Theorie der unscharfen Mengen Geschichte Platon (427-347a.d.) Vermutung: es gibt eine dritte Region zwischen „wahr“ und „falsch“ Aristoteles (384-322a.d.) Das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten (bestimmt die Entwicklung mathematischer und logischer Systeme in den nächsten zwei Jahrtausenden)

Theorie der unscharfen Mengen Geschichte Moderne Philosophen wie G. Hegel und B. Russel nahmen Platons Vermutung wieder auf. Georg Hegel (1770-1831) B. Russell (1872-1970) Russel: „The law of the excluded middle is true, when precise symbols are employed, but it is not true, when symbols are vague, as, in fact, all symbols are.“

Geschichte J. Lukasiewicz (1878-1956) M. Black (1909-1988) Theorie der unscharfen Mengen Geschichte J. Lukasiewicz (1878-1956) ● systematische Alternative zur zweiwertigen Logik ● „wahr (1)“, „possible (1/2)“, „falsch(0)“ ● später vier und fünfwertige Logik ● schließlich unendlichwertige Logik „alle Zahlen im Intervall [0,1]“ ● Verfahren zur numerischen Darstellung von Unschärfe von Symbolen (in Anlehnung an Russel) ● Definition der Ungenauigkeit oder Vagheit eines Symbols unter Zuhilfenahme des Komplements: es gibt mindestens ein Element, das weder vollständig zum Symbol noch vollständig zum Komplement gehört ● Menge der Elemente, die nicht eindeutig zugeordnet werden können: „frings“ = Fransen M. Black (1909-1988)

Geschichte Lotfi Zadeh (geb. 1921) Theorie der unscharfen Mengen Geschichte Lotfi Zadeh (geb. 1921) grundlegender Artikel „Fuzzy-Sets“ (1965) Theorie der unscharfen Mengen verbindet darin Blacks Idee der „frings“ mit Lukasiewiczs unendlichwertiger Logik Theorie der unscharfen Mengen wurde durch die Beobachtung Lotfi ZADEHs ausgelöst, dass Menschen anscheinend in Kategorien denken und kommunizieren, die sich von den in Mengenlehre und Logik verwendeten (dualen) Strukturen unterscheiden. Dies war zwar schon früher erkannt worden, aber ZADEH war der erste, den diese Beobachtung zur Formulierung einer neuen Theorie veranlasste.

Theorie der unscharfen Mengen Geschichte 70-iger Jahre: einige europäische Wissenschaftler befassten sich mit der unscharfen Logik und entwickelten erste erfolgreiche Anwendungen für industrielle Prozesse und Regelungen 80-iger Jahre: ● Entdeckung des praktischen Nutzens in Japan: erste fuzzy-geregelte Waschmaschinen, Staubsauger → höherer Bedienkomfort, Aufsehen als denkende Konsumgüter ● erster Fuzzy-Regler in großtechnischer Anwendung → Vermutung als neues Universalwerkzeug der Regelungstechnik ● Skepsis in Europa, besonders in Deutschland → Qualitätsverbesserung bei Fuzzy-Einsatz oft durch zusätzliche Sensorik erreicht 90-iger Jahre: Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control von Hochschulen aufgegriffen → Fuzzy-Technologie keine vorübergehende Mode, sondern Revolution, die mit Denkgewohnheiten bricht und praktisch vorzeigbar Vorteile bringt → neuer Zweig der Regelungstechnik ist entstanden → Querschnittswissenschaft, die auch in nichttechnischen Bereichen Vorteile verspricht

Ziele der Theorie der unscharfen Mengen 1) Modellverbesserung (Relaxierung); 2) Komplexitätsreduktion; 3) Modellierung von Unsicherheit; 4) bedeutungserhaltendes Schließen.

Die wichtigste Anwendungen der unscharfen Mengen (methodische Sicht) Theorie der unscharfen Mengen Die wichtigste Anwendungen der unscharfen Mengen (methodische Sicht) Theoretische Anwendungen: Mathematik (Algebra, Logik usw.); Ökonomie; Psychologie. Modellbasierte und algorithmische Anwendungen: Unscharfe Optimierung; Unscharfes Clustern; Unscharfe Petri-Netze; Unscharfe mehrkriterielle Analyse; Unscharfe Netzplantechnik.

Die wichtigste Anwendungen der unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen Die wichtigste Anwendungen der unscharfen Mengen Informationsverarbeitung: Unscharfe Datenbanken; Fuzzy-Programmiersprachen. Wissensbasierte Anwendungen: Fuzzy Control; Unscharfe Datenanalyse; Fuzzy-Expertensysteme.

Anwendungsgebiete Wirtschaftswissenschaften; Entscheidungstheorie; Theorie der unscharfen Mengen Anwendungsgebiete Wirtschaftswissenschaften; Entscheidungstheorie; Finanzdienstleistungen; Mathematik: - Topologie; - Algebra; - Graphen und Netze; - Optimierung usw. Naturwissenschaften: - Physik (Quantenmechanik, Strömungsdynamik); - Chemie (Wirkstrukturanalyse); - Medizin; - Geologie, Ökologie usw. Ingenieurwissenschaften: - Regelung und Steuerung (Elektrotechnik, Maschinenbau); - Automatisierung; - Qualitätssicherung (unscharfe Datenanalyse).

Typen der Unsicherheit Theorie der unscharfen Mengen Typen der Unsicherheit

Theorie der unscharfen Mengen Klassische Mengen

Klassische Mengen Beispiel Theorie der unscharfen Mengen Klassische Mengen Beispiel Die Grundmenge X ist über folgende Fahrzeuge gegeben: Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug -Wagen ca. 2km/h 50 km/h 100 km/h 180 km/h 250 km/h 350 km/h 800 km/h

Klassische Mengen Beispiel Die Menge A der schnellen Fahrzeuge: Theorie der unscharfen Mengen Klassische Mengen Beispiel Die Menge A der schnellen Fahrzeuge: A={Flugzeug} Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug

Klassische Mengen Beispiel Die Menge A der schnellen Fahrzeuge: Theorie der unscharfen Mengen Klassische Mengen Beispiel Die Menge A der schnellen Fahrzeuge: A={VW Golf, Porsche, Formel1, Flugzeug} Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug

Unscharfe Mengen Mathematische Notation nach ZADEH: Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen Mathematische Notation nach ZADEH: für endliche unscharfe Mengen: für „stetige“ unscharfe Mengen:

Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen

Unscharfe Mengen Beispiel Abb. Darstellung der unscharfen Menge Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen Beispiel Abb. Darstellung der unscharfen Menge „Schnell“ = {(Dreirad; 0), (Traktor; 0,1), (Trabant; 0,2), (VW Golf; 0,4), (Porsche; 0,6), (Formel1; 0,7), (Flugzeug; 1)}.

Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen Unscharfe Mengen werden durch Zugehörigkeitsfunktionen (ZGF) repräsentiert. Die Art der Darstellung ist von der Grundmenge X abhängig. X hat endlich viele Elemente Besitzt X sehr viele Elemente oder X ist ein Kontinuum, z.B. kontinuierliche Messgrößen   diskrete Darstellung von ZGF parametrische Darstellung von ZGF

Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen Theorie der unscharfen Mengen Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen 1) Trapezförmige mit a < b < c < d . 2) Dreieckförmige (Trianguläre) a b d x  1

Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen Theorie der unscharfen Mengen Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen 3) Monoton fallende Funktion lineare Funktion: (L-Funktion) a b x  1 geglättete Funktionen:

Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen Theorie der unscharfen Mengen Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen 4) Monoton steigende Funktion lineare Funktion: (-Funktion) a b x  1 geglättete Funktion: (geglättete -Funktion)

Weitere Typen der Zugehörigkeitsfunktionen Theorie der unscharfen Mengen Weitere Typen der Zugehörigkeitsfunktionen Zadeh‘s S-Funktion Die Funktion des Exponentialtyps

Beispiel [Zimmermann, 1991]: Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen Definitionen Beispiel [Zimmermann, 1991]: Träger: = {80, 100, 120, 140, 160}

Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen Definitionen

Theorie der unscharfen Mengen -Niveaumengen x (x) 1  A

Theorie der unscharfen Mengen Klassische Mengen Operationen

Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen Operationen

Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen Operationen von unscharfen Mengen

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Theorie der unscharfen Mengen Folgerung

Eigenschaften von klassischen Mengen Theorie der unscharfen Mengen Eigenschaften von klassischen Mengen

Eigenschaften von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen Eigenschaften von unscharfen Mengen M = {a, b, c}

Eigenschaften von klassischen Mengen Theorie der unscharfen Mengen Eigenschaften von klassischen Mengen

Eigenschaften von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen Eigenschaften von unscharfen Mengen