Das Konzept unscharfer Mengen

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1 Das Konzept unscharfer Mengen
Basisdefinitionen und Darstellungsformen 16/04/2017

2 Das Konzept der unscharfen Mengen
Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) Charakterisierung unscharfer Mengen Grundlegende Mengenrelationen Typen unscharfer Mengen 16/04/2017

3 Grundbegriffe (klassische Mengenlehre)
Definition : (Menge) „Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten Wohlunterschiedenen Objekten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen“ [Cantor 1966] bestimmt – es ist eindeutig entscheidbar ob ein Objekt zu einer Menge gehört oder nicht. Wohlunterschieden – es ist eindeutig entscheidbar, ob zwei beliebige Elemente gleich oder ungleich sind. 16/04/2017

4 Beschreibung von Mengen
aufzählende Form A = { x1, ... , xn } beschreibende Form in ihr werden die Elemente über gemeinsame Eigenschaften charakterisiert. A = { x | x  Ω und B(x) } Ω – Grundmenge (z.B. die Menge aller Computer) x - Variable B(x) – Bedingungen Funktionen (Indikatorfunktion) fA: Ω  { 0, 1 } a  Ω gilt: f(a) := 1 , falls a  A f(a) := 0, falls a  A 16/04/2017

5 A = { x | x  Ω , 16 <= RAM(x) <= 64 }
Beispiel: A = { x | x  Ω , 16 <= RAM(x) <= 64 } Ω - Ist die Menge aller Computer 16/04/2017

6 Definition : (Kardinalität)
Die Kardinalität einer Menge A ist die Anzahl ihrer Elemente. (geschrieben card(A) oder |A|) Definition : (A = B) A = B  (x  A : x  B) und (x  B : x  A ) Definition : (A ≠ B) A ≠ B  (x  A : x  B) oder (x  B : x  A ) Definition: (Potenz Mengen) P(A) = { x | x  A } 16/04/2017

7 Definition: (unechte Teilmenge)
Definition: (unechte Teilmenge) A  B  (x  A : x  B) Definition: (echte Teilmenge) A  B  A  B und A ≠ B Definition: (Vereinigungsmenge) A  B = { x | x  A oder x  B } Definition: (Schnittmenge) A  B = {x | x  A und x  B } Definition: (Disjunkte Mengen) dis(A, B)  A  B =  Definition: (Differenzmenge) A \ B = { x | x  A und x  B } 16/04/2017

8 Definition: (Komplementmenge)
Definition: (Komplementmenge) A = { x | x  Ω und x  A} Definition: (Kartesisches Produkt) A1 x A2 x ... x An = { (x1, x2, ... , xn) | x1  A1 , ... , xn  An} Definition: (Konvexe Mengen) Eine Menge A  n heißt konvex, wenn für je zwei Punkte P1, P2  A auch alle Punkte der Verbindungssträcke zwischen P1 und P2 zu A gehöhren. 16/04/2017

9 Gesetzte der klassischen Mengenalgebra
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10 Das Konzept der unscharfen Mengen
Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) Charakterisierung unscharfer Mengen Grundlegende Mengenrelationen Typen unscharfer Mengen 16/04/2017

11 Charakterisierung unscharfer Mengen
Der Mengenbegriff setzt voraus das eindeutig bestimmt werden kann ob ein Objekt zu einer Menge gehört oder nicht. [Cantor] In der Realität existiert nicht eine derart präzise Zugehörigkeit. z.B. „die Schönheit eines Baumes “ oder „kleine und große Menschen“ [Zadeh]  die scharfe Unterscheidung an den Randbereichen „aufzuweichen“ und „abzustufen“ Die Bildmenge von f wird erweitert: von { 0, 1 } auf [ 0, 1 ] 16/04/2017

12 Beispiel: (Stufenfunktion vs. stetige Funktion )
„starkes Fieber“ soll in einer Zahlen Menge beschrieben werden. Problem: was soll der Grenzwert sein? (z.B °C) 16/04/2017

13 Definition: (fuzzy set)
Eine unscharfe Menge (Fuzzy-Menge) wird charakterisiert durch eine Funktion μ. (die Bildmenge ist das reelles Einheitsintervall) μ : Ω  [ 0, 1 ] μ – Zugehörigkeitsfunktion / membership function μ(x) – Zugehörigkeitsgrade / grades of membership (Ω)- die Menge aller bildbaren Fuzzy-Mengen über Ω Fuzzy-Einermenge / fuzzy singleton – eine Fuzzy-Menge die genau ein Element mit einem zugehörigkeitsgrad (>0) enthält. gewöhnliche Mengen sind spezielle Fuzzy-Mengen 16/04/2017

14 Parametrische Standartfunktionen
Fuzzy-Mengen werden über ihre Zugehörigkeitsfunktion beschrieben. Keine Einschränkung über die Grundmenge Keine Einschränkung über den Funktionsverlauf Beschreibung einer Funktion : Angabe einer Funktionsgleichung Explizite Auflistung von Argument-Werte-Paaren parametrische Funktionen 16/04/2017

15  - steht für den höchsten Wert mit μ() = 0
s-Funktion s(x, ,  )  - steht für den höchsten Wert mit μ() = 0  - steht für den niedrigsten Wert mit μ() = 1 z-Funktion z(x, , ) = 1 – s(x, , ) Spiegelung an der Gerden μ(x) = 0.5 s/z-Funktion s/z(x, , , , ) Aneinanderreihung von Teilabschnitten einer s- und einer z-Funktion So erzielt man einen „sanften“ Übergang in die kritischen Zonen 16/04/2017

16 Beispiel: 16/04/2017

17 Derartige Genauigkeit ist für Fuzzy-Mengen nicht nötig
In der Praxis werden trapezförmige Funktionsgrafen verwendet (oder dreiecksförmige Funktionsgraphen) fTrapez(x, m1, m2, , ) (m1, m2) - gibt den Bereich an in dem μ(x) = 1 ist  - ist die linke Schwankungsbreite (monoton steigend)  - ist die rechte Schwankungsbreite (monoton fallend) 16/04/2017

18 Der Wert der Zugehörigkeitsfunktion μ(x) ist vom Kontext abhängig
Beispiel: (Unscharfer Alteresangaben) Drei Kategorien von Alteresangaben „Jung“ , „Alt“ , „mittleren Alteres“ Der Wert der Zugehörigkeitsfunktion μ(x) ist vom Kontext abhängig „Geologischen Formationen“ oder „Lebewesen“ 16/04/2017

19 Parametrische Standartfunktionen haben zwei Vorzüge:
Angabe weniger Parameter Es gibt Effiziente Verrechnungsvorschriften für sie Eine größere Flexibilität erreicht man mit stückweise linearen Zugehörigkeitsfunktionen. Alle Punkte des Funktionsgraphen werden angegeben. 16/04/2017

20 Das Konzept der unscharfen Mengen
Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) Charakterisierung unscharfer Mengen Grundlegende Mengenrelationen Typen unscharfer Mengen 16/04/2017

21 Grundlegende Mengenrelationen
Anforderung an die Grundlegende Mengenrelationen von Fuzzy-Mengen ist, daß sie äquivalent zu den Definitionen der Klassischen Mengenlehre sein soll. Fuzzy-Menge werden spezifiziert durch ihre Elemente und deren Zugehörigkeitsgraden 16/04/2017

22 Mengenrelationen Seien A, B Unscharfe Mengen über Ω
Definition : (Gleichheit unscharfer Mengen) A = B  x  Ω : μA(x) = μB(x) Für viele Praktische zwecke ist diese Definition zu streng, deshalb werden „weichere“ Vergleichsmaße erlaubt. Definition : (ungleichheit unscharfer Mengen) A ≠ B  x  Ω : μA(x) ≠ μB(x) 16/04/2017

23 Definition: (unechte Teilmenge) A  B  x  Ω : μA(x) < = μB(x)
Definition: (echte Teilmenge) [Bothe] A  B  x  Ω : μA(x) < μB(x) Dies ist keine Verallgemeinerung der klassischen Definition Definition: (echte Teilmenge) A  B  A  B und A ≠ B Beispiel: 16/04/2017

24 Kenngrößen Definition : (Kardinalität) |A| = ∑ μA(x) x  Ω
Bei gewöhnliche Mengen erhält man die Anzahl der Elemente Bei unscharfen Mengen werden die Elemente mit deren Gewicht berücksichtigt Definition : (Relative Kardinalität) |A B| ||A/B|| = : |B| ≠ 0 |B| 16/04/2017

25 Definition : (Höhe / height) hgt(A) = sup μA(x) x  Ω
In jeder normalen Fuzzy-Menge gibt es ein Element x mit μA(x) = 1 Dies gilt jedoch nicht für alle Fuzzy-Mengen Maß für den höchsten Zugehörigkeitsgrad Definition : (Normalität) A ist normalisiert  hgt(A) = 1 A heißt subnormal  hgt(A) ≠ 1 Jede subnormale unscharfe Menge As lässt sich in eine normalisierte unscharfe Menge An umwandeln. (durch Maßstabstransformationen ihrer Zugehörigkeitsgrade) μAs (x) μAn (x) = : hgt(As) ≠ 0 hgt(As) 16/04/2017

26 Definition: (Konvexität) Eine unscharfe Menge A ist konvex 
x1, x2  und   [ 0, 1 ] gilt: μA( x1 + (1- ) x2 ) <= min{ μA(x1), μA(x2) } Sei A eine konvexe unscharfe Menge, dann gilt daß zwischen zwei Elementen x1 und x2 gibt es kein Element x3 mit μA(x3) <= min{ μA(x1), μA(x1) } Beispiel: 16/04/2017

27 Definition: (Träger / support)
supp(A) - der Träger einer unscharfen Menge A über Ω. supp(A) = { x  Ω | μA(x) > 0 } Definition: (Kern / core) core(A) - der Kern einer unscharfen Menge A über Ω. core(A) = { x  Ω | μA(x) = 1 } Definition: (-Schnitt / -cut) A - der -Schnitt einer unscharfen Menge A über Ω. -Schnitt  Niveaumenge A = { x  Ω | μA(x)   } :   [ 0, 1 ] 16/04/2017

28 A> = {x  Ω | μA(x) >  } :   [ 0, 1 ]
Definition: (Scharfe -Schnitt / strenge -cut) A> - der Scharfen -Schnitt einer unscharfen Menge A über Ω. A> = {x  Ω | μA(x) >  } :   [ 0, 1 ] Beispiel: 16/04/2017

29 Resolutionsidentität
Der -Schnitt ist eine horizontale Sichtweise unscharfer Mengen. Die Beziehung zwischen einer unscharfen Menge und der Gesamtheit ihrer Niveaumengen wird mit dem Begriff Resolutionsidentität beschrieben 16/04/2017

30 Jede unscharfe Menge bestimmt eindeutig die Gesamtheit ihrer Niveaumengen.
und Die Gesamtheit der Niveaumengen bestimmt eindeutig eine unscharfe Mange. 1 A = ∫  A ∫ - Vereinigungsbindung A – bezeichnetet eine unscharfe Menge , so das gilt: μA(x) =  μA(x) : x  Ω Die Resolutionsidentität kann sowohl: über die -Schnitte über die strengen -Schnitte Beschrieben werden 16/04/2017

31 Durch die Resolutionsidentität lässt sich jede unscharfe Menge als ein System von klassischen Mengen beschreiben mathematische Verfahren für unscharfe Mengen kann man zurückführen auf schon Definierte mathematische Verfahren für klassische Mengen Beispiel: 16/04/2017

32 Das Konzept der unscharfen Mengen
Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) Charakterisierung unscharfer Mengen Grundlegende Mengenrelationen Typen unscharfer Mengen 16/04/2017

33 Typen unscharfer Mengen
Definition: (fuzzy set) Eine unscharfe Menge (Fuzzy-Menge) wird charakterisiert durch eine Funktion μ. (unscharfe Mengen vom Typ 1l) μ : Ω  [ 0, 1 ] Es wird keine Aussage die Grundmenge gemacht  Elemente der Grundmenge Ωx können selbst wieder unscharfe Mengen über eine andere Grundmenge Ωy sein. Fuzzy-Mengen dieses Typs heißen: „unscharfe Mengen zweiter Stufe“ Entsprechend werden „Fuzzy-Mengen höher Stufe“ gebildet. 16/04/2017

34 μ : Ω  L : L - ist ein Verband
Die Bildmenge jedoch wird bei Zadehs festgelegt. (das Einheitsintervall) Definition: (L-Fuzzy-Menge) Eine L-Fuzzy-Menge wird charakterisiert durch eine Funktion μ. μ : Ω  L : L - ist ein Verband z.B. L = [ 0, 1 ] x [ 0, 1 ] oder L = [ 0, 1 ]n Fuzzy-Mengen Typ 1 sind spezielle L-Fuzzy-Mengen Definition: (unscharfe Mengen vom Typ 2) Eine unscharfe Mengen vom Typ 2 wird charakterisiert durch eine Funktion μ. μ : Ω  F1 : F1 – ist eine Menge, deren Elemente vom Typ 1 sind Fuzzy-Mengen Typ 2 sind spezielle L-Fuzzy-Mengen 16/04/2017

35 Definition: (unscharfe Mengen vom Typ n)
Eine unscharfe Mengen vom Typ n wird charakterisiert durch eine Funktion μ. μ : Ω  Fn-1 : Fn-1 – ist eine Menge, deren Elemente vom Typ n-1 sind. In der weiteren Theorieentwicklung haben Typ n : n>2 keine signifikante Bedeutung erlangt. 16/04/2017

36 The End 16/04/2017