Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Vorlesung Wasserwirtschaftliche Modellierung Themen: Vorlesung 7 Softcomputing Grundlagen der Fuzzy Logik Fuzzyfizierung.

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1 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Vorlesung Wasserwirtschaftliche Modellierung Themen: Vorlesung 7 Softcomputing Grundlagen der Fuzzy Logik Fuzzyfizierung – Regelinferenz – Defuzzyfizierung Anwendungsbeispiele

2 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken analysieren anwenden verstehen erinnern Lehrziele der Veranstaltung erschaffen bewerten Sie beschreiben die wesentlichen Unterschiede zwischen klassischen Modellierungsansätzen und Fuzzy Logic Modellen. Sie kennen die Grundprinzipien der Logik der Unscharfen Wissenszusammenhänge. Sie erstellen vollständige Fuzzy Logic Modelle mit Zugehörigkeits- funktionen, Regelinferenzen und Defuzzyfizierungsfunktionen für Aufgaben aus der Wasserwritschaft. Sie treffen eine geeignete Wahl für ein Modellierungskonzept in Abhängigkeit der jeweiligen Aufgabenstellung bzw. der fachlichen Rahmenbedingungen.

3 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken „Genauigkeit ist nicht gleich Wahrheit” (Henri Matisse) „Insofern sich die Gesetze der Mathematik auf die Realität beziehen, sind sie nicht zuverlässig. Und sofern sie zuverlässig sind, beziehen sie sich nicht auf die Realität.” (Albert Einstein) Prinzip des Soft Computing unscharfes Wissen unsicheres Wissen Imperfektes Wissen:

4 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Soft Computing verbindet... - Fuzzy Logic - Neuronale Netze - evolutionäre Strategien wie genetische Algorithmen - probabilistic computing Soft Computing (weiches Rechnen) unterscheidet sich von dem konventionellen Hard Computing (hartes Rechnen) in dem Soft Computing toleranter für Ungenauigkeiten und Unsicherheiten ist. (Zadeh, 95) Soft Computing: Was ist das?

5 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken „ When the complexity of a system rises, accurate statements do loose sense and ingenious statements loose accuracy“ Lotfi Zadeh Fuzzy logic

6 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken „ Wenn die Komplexität eines Systems ansteigt, verlieren präzise Aussagen an Sinn und sinnvolle Aussagen an Präzision “ Das Gesetz der Unvereinbarkeit von Zadeh Lotfi Zadeh Fuzzy Logic

7 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Klassische Mengentheorie nach Cantor Beschreibung durch Aufzählung: Zugehörigkeit: Liefert für jedesden Wert 1 oder 0 1 …. Zugehörigkeit 0 …. Nichtzugehörigkeit „Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen“

8 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Abfluss extrem Q = 12300 m³/s gehört zu den scharfen Mengen: extremmit Zugehörigkeitsgrad von 1,0 großmit Zugehörigkeitsgrad von 0,0 normalmit Zugehörigkeitsgrad von 0,0 1,0 0 Zugehörigkeitsgrad 1,0 Zugehörigkeitsgrad großnormal Q = 11700 m³/s gehört zu den scharfen Mengen: extrem mit Zugehörigkeitsgrad von 0,0 großmit Zugehörigkeitsgrad von 1,0 normalmit Zugehörigkeitsgrad von 0,0 [ m³/s ] 200001200080002000 1230011700 Klassische Mengenlehre

9 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken großnormalextrem Abfluss [ m³/s ] 200001200080002000 1,0 Zugehörigkeitsgrad 0,2 0,8 0,6 0,4 [µ] 1,0 0 Zugehörigkeitsgrad 0,2 0,8 0,6 0,4 [µ] extremgroßnormal Q = 12300 m³/s gehört zu den scharfen Mengen: extrem mit Zugehörigkeitsgrad von 0,4 großmit Zugehörigkeitsgrad von 0,6 normalmit Zugehörigkeitsgrad von 0,0 Q = 11700 m³/s gehört zu den scharfen Mengen: extremmit Zugehörigkeitsgrad von 0,2 großmit Zugehörigkeitsgrad von 0,8 normalmit Zugehörigkeitsgrad von 0,0 11700 12300 Fuzzy Sets: unscharfe Mengen

10 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Fuzzy Regelinferenz Fuzzifizierung scharfe Werte Linguistische Terme Defuzzifizierung scharfe Werte Linguistische Terme Ablaufschema Fuzzy Modell

11 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken viel wenig mittel Fuzzifizierung WENN DANN Regelinferenz Sehr langsamSehr schnell normal, langsam Defuzzifizierung Fuzzy Modelle (Prozesse)

12 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Linguistische Variable ist eine Variable, deren Werte keine Zahlen (wie bei deterministischen Variablen) oder Verteilung (wie bei einer Zufallsvariable), sondern sprachliche Konstrukte sind. Diese sprachlichen Konstrukte (oder Terme) werden inhaltlich durch unscharfe Mengen auf einer Basis- variablen definiert. (Zimmermann, 95) Beispiel: Lufttemperatur ε { kalt, warm, heiß} Fuzzy Definitionen

13 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Fuzzy-Regelinferenz Die Regelinferenz bildet die Anwendung der Fuzzy-Regeln auf die linguistischen Variablen ab Defuzzifizierung ist der Prozess der Rücktransformation von Fuzzy-Werten (linguistische Terme) in scharfe Werte Fuzzy Definitionen Fuzzifizierung ist der Prozess der Umsetzung realer Zahlen in Terme linguistischer Variablen

14 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Fuzzy Regelinferenz Fuzzifizierung scharfer Wert Linguistische Terme Defuzzifizierung scharfer Wert Linguistische Terme Fuzzy Modell 1

15 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Fuzzy Regelinferenz Linguistische Terme Defuzzifizierung scharfer Wert Linguistische Terme Fuzzy Modell 2

16 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Fuzzy Regelinferenz Fuzzifizierung scharfer Wert Linguistische Terme Defuzzifizierung scharfer Wert Linguistische Terme Fuzzy Modell 3

17 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken These:Ökologische Wirkungs- und Funktionszusammenhänge sind derart komplex, dass eine präzise Modellierung und sichere Prognose aussichtslos ist => Fuzzy Logic Modelle sind eine geeignete und zielführende Lösungsvariante

18 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Bildquelle: NZO Anwendungsbeispiel: Zonierung von Fließgewässern

19 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Fließgewässerzone Fischregion Leitfische Fischregion Gewässerzone Quelle OberlaufMittellaufUnterlaufMündung ForelleÄscheBarbeBrachse Kaulbarsch/ Flunder SalmonidenBrackwasser RhitralPotamal Epi-Meta-Hypo- Epi-Meta-Hypo- Krenal Cypriniden Klassische Zonierung von Fließgewässern

20 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Fließgewässerzone Fischregion Leitfische Fischregion Gewässerzone Quelle OberlaufMittellaufUnterlaufMündung ForelleÄscheBarbeBrachse Kaulbarsch/ Flunder SalmonidenBrackwasser RhitralPotamal Epi-Meta-Hypo- Epi-Meta-Hypo- Krenal Cypriniden Verbreitungsschwerpunkte mäßig ausgeprägt gering nicht ausgeprägt ausgeprägt Fuzzyfizierte Verbreitung

21 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken WENN SAPROBIE = unbelastet UND SAUERSTOFFGEHALT = ausgezeichnet UND SUBSTRATTYP = kiesig / Schotter UND RIFFLE-POOL-SEQUENZ = geeignet UND WINTERTEMPERATUR = sehr geeignet UND FRÜHJAHRSTEMPERATUR = geeignet UND ABFLUSSSPENDE = natürlich DANN LAICHHABITATEIGNUNG = sehr geeignet. Leichhabitateignung: Beispiel für eine Regelbasis

22 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Stückweise lineare Zugehörigkeitsfunktion Zugehörigkeitsfunktion I 1,0 0 Zugehörigkeitsgrad d ab c Trapez: f (x; a, b, c, d) Sonderfall: b = c  dreieckförmige ZGF

23 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Stetige Zugehörigkeitsfunktion Zugehörigkeitsfunktion II Normierte Gauß-Funktion:

24 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Zugehörigkeitsfunktion III Differenz sigmoide Funktion: Stetige Zugehörigkeitsfunktion

25 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Diskrete Darstellung Zugehörigkeitsfunktion IV für jedes x ZG-Wertangeben sind Stützpunkte

26 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken NICHT: Unscharfe Mengen: Verallgemeinerung nach Zadeh: UND: ODER: Elementare Fuzzy Operatoren

27 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken A B Durchschnitt: UND 1 01 2 3

28 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken A B Vereinigung: ODER 1 01 2 3

29 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken mittelhochniedrig 1,0 warmheißkaltkleinsehr großsehr kleinmittelgroß hoch 1,0 warm mittel 1,0 kalt Min mittel Min klein Regel 1: WENN hoch UND warm DANN mittel Regel 2: WENN mittel UND kalt DANN klein Verarbeitung scharfer Eingangsgrößen mit Fuzzy Logik

30 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken mittel klein mittel Die Berechnung der Ausgangsgröße erfolgt nach der Formel: Defuzzifizierung nach der Schwerpunktmethode

31 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Relaxierung klassischer mathematischer Verfahren Modellierung von Unsicherheiten Reduzierung von Komplexität Praxisorientierte Zielsetzung

32 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Wissensbasierte Ansätze Algorithmische Ansätze Quelle: Zimmermann, 95 Bei der algorithmischen Anwendung versucht man gewöhnlich bestehende scharfe Modelle oder Methoden durch „Fuzzifizierung“ realitätsnäher zu gestalten (z.B. das unscharfe (lineare) Programmieren) Bei wissensbasierten Ansätzen benutzt man unscharfe Mengen primär zur Inhaltsdefinition der formalen Abbildung menschlichen Wissens. Verwendung von Fuzzy Technologien

33 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken erhöht hoch sehr hoch Die LAWA hat eine 3- stufige Bewertungsskala erstellt, die für die Beschreibung der Schadstoffkonzentrationen im Wasser verwendet wird (Umweltbundesamt 1993) : WPI = f (Chlorid, O 2-GEHALT, BSB 5, TOC) Wasserverunreinigung (Water Pollution Index WPI) Bewertung des Umweltzustandes (WPI) wissensbasierte Anwendung

34 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Chlorid [mg/l] O 2 - Gehalt [mg/l] BSB 5 [mg/l] TOC [mg/l] Bewertung des Umweltzustandes (Werte) wissensbasierte Anwendung

35 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Bewertung des Umweltzustandes (WPI Skala) wissensbasierte Anwendung

36 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Bewertung des Umweltzustandes (Beispiele) wissensbasierte Anwendung Für den Rhein beziehen sich die Werte auf Angaben des Umweltbundesamtes (1993) und für den Schil auf Angaben von Sarbu (1994) Fuzzy-Inferenz DefuzzifizierungFuzzifizierung

37 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Darcy-Gleichung für den horizontalen Fluss : und für den vertikalen Fluss : (dreidimensionale) Kontinuitätsgleichung : v x,,v y,v z = Filtergeschwindigkeit k xx,k yy,k zz = ungesättigte Leitfähigkeit y= Saugspannungspotential C= spezifische Feuchtekapazität q= aktuelle Bodenfeuchte S´= Senken- bzw. Quellenterm Wasserbewegung in der Bodenmatrix 1 (das Gesetz von Richards )

38 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Es handelt sich um eine stark nichtlineare Funktion, deren Ermittlung mit hohem experimentellen Aufwand verbunden ist. Das hat bisher verhindert, dass das Gesetz von Richards in zwei- oder gar dreidimensionalen operationellen bodenhydrologischen Modellen Eingang gefunden hat. Die Leitfähigkeits-Wassergehaltsbeziehungen K xx (Θ), K yy (Θ), K yy (Θ) und die Saugspannungs-Wassergehaltsfunktion („pF- Kurve“) müssen bekannt sein. Probleme bei der Lösung der Richards-Gleichung Quelle: Bronstert, 1994 Die Kombination der drei Gleichungen ergibt die partielle Differentialgleichung für den ungesättigten Fluss in der Bodenmatrix der „Richards-Gleichung“ Wasserbewegung in der Bodenmatrix 2 (das Gesetz von Richards)

39 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Quelle: Bronstert, 1994 Wasserbewegung in der Bodenmatrix algorithmischen Anwendung