1 1. Splineglättung 1.1 Motivation 1.2 Notation 1.3 Splineglättung 1.4 Kriging-Ansatz 1.5 Spezialfall, bei dem Kriging und Splineglättung übereinstimmen 2. Räumliche Whittaker-Glättung – eine Anwendung in der Prämienberechnung

Spline-Interpolation  Splineglättung 2 1.1 Motivation Daten können Messfehler enthalten Lösung der Spline-Interpolation ist unbrauchbar Spline-Interpolation  Splineglättung Merkmale der Splineglättung Keine genaue Interpolation Anforderung an die Interpolationsfunktion f: Die Abweichungen zwischen den Funktionswerten und den beobachteten Werten dürfen an den Messstellen „nicht zu groß“ von werden.

1.2 Notation D  Rd sei das Beobachtungsfenster f(x), x  D Funktion 3 1.2 Notation D  Rd sei das Beobachtungsfenster f(x), x  D Funktion xα (=1,...,n) Messstellen in D zα=f(xα)+ α gemessenen Werte an den Stellen x (=1,...,n) Sei α ein Messfehler (=1,...,n), der folgende Eigenschaften hat: E(α) = 0; Cov(α,) = E(α) = Sα Var(α) = Sαα  Const,  

4 1.3 Splineglättung Ziel: Die Funktion f(x) mit einer glatten Funktion f*(x) zu approximieren, die folgende Voraussetzung erfüllt: der folgende Ausdruck wird minimiert: Wobei J(f*) die Krümmung der Spline-Interpolation darstellt. Die Splineglättung ist somit eine Mischung aus Spline-Interpolation und der Methode der kleinsten Quadrate.

5 Dabei steuert p das Verhältnis zwischen Glätte der Funktion und der Übereinstimmung mit den Messwerten an den Messstellen. Der Parameter p bestimmt also den Einfluss des Spline-Interpolanten und des MKQ-Schätzers auf die Lösung des Spline-Glättungs-Verfahrens: p  0: Die Lösung ist annähernd ein MKQ-Schätzer (insbesondere p = 0  MKQ-Schätzer) Mit wachsendem p nähert sich die Lösung der des Spline-Interpolationsverfahrens. In R²:

Problem des Splineglättungsverfahrens: Bestimmung des Parameters p 6 Lösung (Matheron, Wahba) Wobei: K(h)=|h|²log|h|, Basisfunktionen,z.B.: L=2, für x = (x1,x2) Problem des Splineglättungsverfahrens: Bestimmung des Parameters p

1.4 Kriging-Ansatz Z(x) = Y(x) + (x)  x  D 7 1.4 Kriging-Ansatz Man kann die formale Äquivalenz mit dem Modell des intrinsischen Kriging k-ter Ordnung in leicht modifizierter Form auf die Spline-Glättung anwenden; Wir betrachten nun das Zufallsfeld Z(x) und zerlegen es in ein intrinsisches Feld k-ter Ordnung Y(x) und einen zufälligen Fehler (x) Z(x) = Y(x) + (x)  x  D z(x1),...,z(xn): Gemessenen Werte an den Stellen x1,..., xn Sei K(h)=Cov(Y(x),Y(x+h)) (h  Rd, x,x+h  D) die Kovarianz des Zufalls-Feldes Y(x) Sei S(h)=Cov((x),(x+h)) (h  Rd, x,x+h  D) die Kovarianz des zufälligen Fehlers (x)

S(h) = E((x)(x+h))  x,x+h  D, h  Rd 8 Der zufällige Fehler (x) genügt dabei folgenden Bedingungen: Das Zufallsfeld und der zufällige Fehler sind unkorreliert: Cov(Y(x), (x)) = 0  x  D Der Fehler hat den Erwartungswert Null: E((x)) = 0  x  D Die Kovarianz des Fehlers hat somit folgende Form: S(h) = E((x)(x+h))  x,x+h  D, h  Rd

Falls folgend Bedingungen erfüllt sind: 9 Ziel ist es, anhand der Messwerte z(x1),...,z(xn) das Zufallsfeld Y(x) durch intrinsisches Cokriging zu schätzen. Schätzer: Falls folgend Bedingungen erfüllt sind: {} ist zulässig, falls gilt: setze 0 = -1, fl(x0)=fl(x):  h  Rd:

Lösung durch duales Kriging: 10 Lösung durch duales Kriging: Wobei im R2 z.B.: fl(x) = (x1)k1(x2)k2, k1+k2  k; x = (x1,x2)  D  R² (im Fall k=2: 1, x1, x2, (x1)², x1 x2,(x2)² )

11 1.5 Spezialfall: Übereinstimmung der Cokriging- Lösung und des Splineglättungsverfahrens Sei nun x  R², L=2, k=1; Und wählt man im dualen Kriging für die Kovarianz von Y(x): Und für die Kovarianz von (x): „Weißes Rauschen“

dass die beiden Lösungen übereinstimmen, falls p=c0/bs 12 So erkennt man, wenn man die beiden Schätzer Y*(x) und f*(x) vergleicht, dass die beiden Lösungen übereinstimmen, falls p=c0/bs