Geostatistik in der Geoinformation I Einführung & Deterministische Verfahren Vortrag GIS-Seminar WS 01/02 Von: Andreas Benoit Betreuer: Prof. Schuh

Deterministische Verfahren Übersicht Einführung Warum interpolieren / approximieren ? Was ist interpolieren / approximieren? Deterministische Verfahren Approximation und Interpolation mit Basisfunktionen Polynome Trigonometrische Harmonische Analyse Kubische Splines Deterministische Prädiktion Statistische Verfahren Stochastische Prädiktion [Kollokation] (siehe Jens) Kriging (siehe Jeff) 19.11.01 Deterministische Verfahren

Warum interpolieren / approximieren? Gegeben (gemessen) sind diskrete Daten Gesucht sind kontinuierliche Darstellungen Übergang durch Inter- / Extrapolation oder Approximation 19.11.01 Deterministische Verfahren

Was ist das überhaupt ? Interpolation Reproduktion der Stützstellen Wenn gleich viele Beobachtung wie Parameter existieren. Approximation Abweichung Minimieren Wenn mehr Beobachtungen als Parameter existieren 19.11.01 Deterministische Verfahren

Erscheinungsbild der Daten Die Messdaten präsentieren sich in folgender Form: l + v = Ax l = Ax + z + n Ax = deterministischer Anteil Z = Signal N = Noise (Rauschen) 19.11.01 Deterministische Verfahren

Deterministische Verfahren Beispieldatensätze Ausreißerest 7 Messungen 4. Messung ist 1 Alle anderen sind Null Klotoide 6 Messungen 19.11.01 Deterministische Verfahren

Deterministische Verfahren Berechnungsweise Das Prinzip der Berechnung ist immer gleich. Man versucht den Trend zu eliminieren. a = (ATA)-1ATz f = B (ATA)-1AT z Basisfunktion Einflussfaktoren Messungen 19.11.01 Deterministische Verfahren

Deterministische Verfahren Polynomisch – Satz 1 Grün: Polynom Grad 2 Rot: Polynom Grad 4 Blau: Polynom Grad 6 19.11.01 Deterministische Verfahren

Deterministische Verfahren Polynomisch - Satz 2 Rot: Polynom Grad 3 Blau: Polynom Grad 5 19.11.01 Deterministische Verfahren

Trigonometrisch - Satz 1 Rot: Sinus Funktion Blau: Cosinus Funktion Grün: cos und sin 19.11.01 Deterministische Verfahren

Harmonische Analyse - Satz 1 Rot: Grad 2x Blau: Grad 3x 19.11.01 Deterministische Verfahren

Trigonometrisch & Harmonische Analyse - Satz 2 Rot: Sinus Funktion Blau: Cosinus Funktion Grün: Cosinus & Sinus Schwarz: Grad 2x/3x 19.11.01 Deterministische Verfahren

Deterministische Verfahren Kubische Splines Funktion nur zwischen 2 Stützpunkten definiert, um bessere Annäherung an die lokale Umgebung Problem: „Ecken“ an den Übergängen. Lösung: ersten beiden Ableitungen müssen gleich sein, dann gleiche Krümmung Deshalb in der Regel Funktion der Grades 3 19.11.01 Deterministische Verfahren

Kubische Splines pi(x) = ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)2 + di(x-xi)3 19.11.01 Deterministische Verfahren

Kubische Splines - Satz 1 19.11.01 Deterministische Verfahren

Kubische Splines - Satz 2 Schwarze Striche sind Stützstellen 19.11.01 Deterministische Verfahren

Deterministische Verfahren Fazit Eine „richtige“ Interpolation oder Approximation gibt es nicht, zumindest mit unseren Mitteln. Verschiedene Verfahren sind für verschiedene Probleme unterschiedlich gut geeignet. Der Rechenaufwand ist z.T. erheblich unterschiedlich. 19.11.01 Deterministische Verfahren

Deterministische Verfahren Und jetzt ? Eisbrecher Jamal – Murmansker Seerederei 19.11.01 Deterministische Verfahren