Hydraulik I W. Kinzelbach 2. Hydrostatik

Hydrostatik Druck und Piezometerhöhe Kräfte auf Flächen unter Wasser Unterscheidung: ebene Flächen gekrümmte Flächen Auftrieb und Schwimmen Schwimmstabilität

Druck (1) Definition Druckkraft ist normal zu der gedrückten Fläche Druck ist flächenspezifische Kraft, Einheit: 1 N/m2 = 1 Pa

Druck (2) Ein ruhendes Fluid kann keine Scherkräfte aufnehmen Spannungen in jeder Ebene sind Normalspannungen (Druck) Druck ist ein Skalar  

Druck (3) (Druckgradient in z Richtung)   (Druckgradient in z Richtung) (hydrostatische Druckverteilung)

Druck (4) const ist Referenzdruck, frei wählbar Absolutdruck wichtig für Kavitation, Verdampfen Relativer Druck (Überdruck) entscheidend für Strömungsvorgänge  

Druck, Druckhöhe, Piezometerhöhe (1) Druck p Druckhöhe Piezometerhöhe Pa mFS mFS

Druck, Druckhöhe, Piezometerhöhe (2)

Druckeinheiten 1 Pa = 1 N/m2 1 mWS = 0.1 at 1 mmHgS = 1 Torr = 0.00135 mWS 1 at = 1.0197 bar 1 bar = 105 Pa

Was ist die treibende Kraft für Strömungen? z = 0 Nicht Differenzen in p sondern Differenzen in hp

Druckverteilung in inhomogenen Fluiden (Schichtung)

Hydrostatisches Paradox Vergleiche Druckkraft am Boden bei gleicher Fläche und Gewicht des Wassers

Kommunizierende Gefässe

Messung des Drucks (1) U-Rohr Manometer misst relativen Druck Gleichgewicht:

Messung des Drucks (2) Piezoresistiver Halbleiterdruck- aufnehmer (Pressure transducer) nutzt Widerstandsänderung bei Deformation Druckdose

Messung des Drucks (3) Bourdon‘sche Röhre Alle messen relativen Druck!

Ölhydraulik

Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen K=rghA K=rghA/2 K=?

Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen Regeln: 1) Druckkraft auf Fläche = Gewicht des Druckkörpers = Volumen des Druckkörpers * r * g = gedrückte Fläche * Druck im Flächenschwerpunkt Wirkungslinie der Druckkraft geht durch den Schwerpunkt des Druckkörpers (nicht durch den Schwerpunkt der gedrückten Fläche!! sondern durch ihren Druckmittelpunkt)

Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen Druckkörper h Für ebene Flächen sind die Umrisse des Druckkörpers durch eine flächennormale Auftragung der Druckhöhe über der gedrückten Fläche gegeben.

Herleitung der Regeln (Fläche achsensymmetrisch um h-Achse) Daraus: hD

Regel 2: Allgemein Schwerpunkt eines homogenen Körpers Für symmetrische Körper (bezüglich h-Achse): xD = 0

Beispiel Gesucht: F, hD Wegen Symmetrie: dh dA=b dh b F a h a   a b

Wie findet man Jx? In Formelsammlung ist gewöhnlich das Flächenträgheitsmoment um eine Achse durch den Schwerpunkt gegeben. Das Flächenträgheitsmoment um eine beliebige, dazu parallele Achse (z.B. x-Achse) folgt aus dem Steinerschen Verschiebungssatz: x hS S

Zerlegung von Kräften (1)

Zerlegung von Kräften (2) Horizontale Komponente Vertikale Komponente   unterer Teil - oberer Teil = Resultierende

Kräfte auf gekrümmte Flächen (1) Die resultierende Kraft geht durch den Schnittpunkt der Wirkungslinien der Komponenten, der generell nicht mehr auf der gedrückten Fläche liegt.

Kräfte auf gekrümmte Flächen (2) Resultierende verläuft durch den Drehpunkt – Wasserlast bringt kein zusätzliches Moment

Kräfte auf gekrümmte Flächen (3) Oberflächennormale Auftragung zur Bestimmung der Gesamtkraft nicht mehr sinnvoll

Kräfte auf gekrümmte Flächen (4) Beispiel: b h P Gesucht: Kraft, Moment um P

Auftrieb Archimedisches Prinzip   Archimedisches Prinzip Auftrieb = Gewicht des verdrängten Fluids Angriffspunkt der Auftriebskraft: Schwerpunkt des Deplacements

Aräometer Auftriebskraft FB = Gewicht des Aräometers ist konstant Eintauchtiefe grösser oder kleiner, je nach spezifischem Gewicht des Fluids

Schwimmen und Schwimmstabilität (1)   sD sD sK sK Deplacement sK unter sD: immer schwimmstabil

Schwimmen und Schwimmstabilität (2) sK über sD  

Schwimmen und Schwimmstabilität (3) FA SK SV G Mr M hM O   M: Metazentrum hM: metazentrische Höhe

Schwimmen und Schwimmstabilität (4)   Das entstehende Drehmoment ist A: In der Ruhelage von der Wasserlinie umschlossene Fläche hM   DV SK a SV SU Stabilitätsbedingung:

Schwimmen und Schwimmstabilität (5) Beispiel Quader z=0 f t G FA h b Quaderabmessungen: b,h,l t: Tiefgang f: Freibord Quader= Q  Fluid=  Gesucht: Stabilitätsbedingung Lösung:

Sohlwasserdruck Welche Dichtung ist sinnvoller?

Der Operator  Nabla Operator: Definition Schreibweise, die uns das Leben leichter macht

Vier Anwendungen Anwendung auf Skalar: Gradient Ergebnis der Operation: Vektor Dieser gibt die Richtung der stärksten Abnahme des skalaren Felds p an. Beispiel: Höhenlinien

Vier Anwendungen Anwendung auf Vektor als Skalarprodukt: Divergenz Ergebnis der Operation: Skalar Die Divergenz eines Vektorfeldes gibt die Stärke einer lokalen Senke oder Quelle an Eine erhaltene Vektorgrösse hat Divergenz 0

Vier Anwendungen Anwendung auf Vektor als Vektorprodukt: Rotation Ergebnis der Operation: Vektor Die Rotation eines Vektorfeldes gibt die lokale Drehgeschwindigkeit an, mit der sich ein infinitesimaler Körper im Strömungsfeld drehen würde

Vier Anwendungen Anwendung auf Vektor als Tensorprodukt Ergebnis der Operation: Tensor zweiter Stufe Der Tensor enthält die Deformation durch ein Strömungsfeld. Symm. Anteil: Drehung, assym. Anteil: Scherung