Prof. Dr. Dieter Baums Fachhochschule Gießen-Friedberg Fachbereich IEM IT-Kompaktkurs in BR-Alpha Wirtschaftsmathematik Folge 5 Differentiation von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Prof. Dr. Dieter Baums Fachhochschule Gießen-Friedberg Fachbereich IEM

Differentiation Differenzenquotient und Differentialquotient Differentiationsregeln Höhere Ableitungen Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Differentiation Differenzenquotient und Differentialquotient Lineare Funktionen Nichtlineare Funktionen ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Steigung der Linearen Funktion ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Steigung der Nichtlinearen Funktion ©Prof.Dr.D.Baums 2002

©Prof.Dr.D.Baums 2002

Differentiation Differentiationsregeln Konstantenregel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Umkehrfunktion ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Konstantenregel ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Summenregel ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Produktregel ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Quotientenregel ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Kettenregel ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Umkehrfunktion ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Differentiation Höhere Ableitungen f‘ : f‘(x) erste Ableitung f“ : f“(x) zweite Ableitung f(n) : f(n)(x) n-te Ableitung ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Höhere Ableitungen f‘ : f‘(x) erste Ableitung ist wieder eine Funktion bedeutet graphisch die Steigung f“ : f“(x) zweite Ableitung ist die Ableitung der Ableitungsfunktion bedeutet graphisch die Krümmung f(n) : f(n)(x) n-te Ableitung ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Steigung Krümmung monoton steigend f‘(x) > 0 monoton fallend f‘(x) < 0 streng monoton steigend f‘(x) > 0 streng monoton fallend f‘(x) < 0 Krümmung Linkskümmung, konvex f‘‘(x) > 0 Rechtskrümmung, konkav f‘‘(x) < 0 ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Differentiation Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung Extrema Sattel- und Wendepunkte Kurvendiskussion ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Lokale Extremwerte Lokales Maximum Lokales Minimum ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Sattel- und Wendepunkte Sattelpunkt Wendepunkt ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Kurvendiskussion Bestimmung des Definitionsbereichs Bestimmung der Definitionslücken Untersuchung der Funktion für x Bestimmung der Nullstellen f(x)=0 Bestimmung der Extremwerte und Sattelpunkte f‘(x)=0 Bestimmung der Wendepunkte f“(x)=0 Untersuchung der Steigung f‘(x) und der Krümmung f“(x) Skizze ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Kurvendiskussion Krümmung und Steigung: x  [ ; x1[ : f(x) streng monoton fallend, konvex x  ]x1 ; x2] : f(x) streng monoton steigend, konvex x  [x2 ; x3[ : f(x) streng monoton steigend, konkav x  ] x3 ; [ : f(x) streng monoton steigend, konvex Definitionsbereich: unbegrenzt Definitionslücken: keine x   f(x)   x   f(x)   Wendepunkte: f“(x)=0 x2=1/3 , x3=1 lokale Extrema: f‘(x)=0 x1=0 , x3=1 lokale Extrema: f‘(x)=0 x1=0 , x3=1 Nullstellen: x1=0 ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Literatur H.Holland und D.Holland: Mathematik im Betrieb, 6. Aufl. Gabler 2001 J.W.Bishir und D.W.Drewes: Mathematics in the Behavioural and Social Sciences, Harcourt, Brace & World 1970 ©Prof.Dr.D.Baums 2002

Prof. Dr. Dieter Baums Praktische Informatik, Medieninformatik Fachhochschule Gießen-Friedberg Fachbereich Informationstechnik - Elektrotechnik - Mechatronik Wilhelm-Leuschner-Straße 13 D-61169 Friedberg Tel.: +49 6031 604 247 Fax.: +49 6031 604 184 Dieter.Baums@iem.fh-friedberg.de ©Prof.Dr.D.Baums 2002