Referat Bsp. 47 von Regina Böhm Nina Sturmlechner
Beispiel 47 Zeigen Sie, dass (1.476) für p>0 und ε≥0 einen Kegelschnitt beschreiben, und zwar für ε 1 eine Hyperbel! (1.476): p/r =1+ ε cos (φ-φ ₀ )
p/r = 1+ ε cos (φ-φ ₀ ) Ebene Polarkoordinaten (r, φ): x = r cosφ y = r sinφ Geometrische Bedeutung der ebenen Polarkoordinaten: r = √ x² + y² Setzen φ ₀ = 0 und drücken die Gleichung in kartesische Koordinaten aus und erhalten: √ x² + y² + εx = p
Zwischenrechnung: p = r* (1+ ε*cosφ) p = r + ε * r* cos φ r*cosφ = x und r = √(x² + y²) p = √(x² + y²) + ε * x
√x² + y² + εx = p (1-ε²)x² + 2pεx + y² = p², Bringt man den Term εx auf die rechte Seite und quadriert beide Seiten, so ergibt sich:
Setzt man ε = 1 dann erhält man folgende Gleichung: (1-ε²)x² + 2pεx + y² = p² 0 x² + 2px + y² = p² 2px + y² = p² Somit erhält man für den Fall ε = 1 eine Parabelgleichung!
Für ε≠1 kann die ursprüngliche Gleichung: (1-ε²)x² + 2pεx + y² = p² …umgeformt werden zu: (1-ε²)² (x + εp )² + 1- ε² y² = 1 p² 1-ε² p² Am Vorzeichen dieses Terms erkennt man, wann es sich um eine Ellipsengleichung oder eine Hyperbelgleichung handelt.
Je nachdem, ob 1 – ε² (also der Koeffizient von y²)negativ oder positiv ist, handelt es sich um eine Ellipsen- oder Hyperbelgleichung. Die allgemeine Form der Ellipsengleichung lautet: (1/a²) x² + (1/b²) y² = 1 Der Koeffizient von y² ist also positiv; Das bedeutet in unserem Fall, dass für ε<1 die ursprüngliche Gleichung eine Ellipsengleichung ergibt! Die allgemeine Form der Hyperbelform lautet: (1/a²) x² - (1/b²) y² = 1 Der Koeffizient von y² ist also negativ; Das bedeutet in unserem Fall, dass für ε ˃ 1 die ursprüngliche Gleichung eine Hyperbelgleichung ergibt!
Ergebnis: ε < 1 Ellipse ε = 1 Parabel ε > 1 Hyperbel