Folie 1 §21 Das Produkt von Matrizen (21.1) Definition: Für eine (m,n)-Matrix A und eine (n,s)-Matrix B ist das (Matrizen-) Produkt AB definiert als (21.2) Regeln: Die folgenden Regeln ergeben sich unmittelbar durch Einsetzen: Die Matrix C = AB ist also die (m,s)-Matrix mit den Koeffizienten Beachte: Die Spaltenanzahl (hier n )von A muss mit der Zeilenan- zahl von B übereinstimmen, damit das Produkt überhaupt gebildet werden kann.

Folie 2 Kapitel IV, §21 1 o t(AB) = (tA)B = A(tB) Beachte: Im Allgemeinen gilt nicht AB = BA. Zum Beispiel: 2 o A(B + C) = AB + AC 3 o (A + B)C = AC + BC 5 o (AB) T = B T A T 4 o A(BC) = (AB)C Oder: (21.3) Lineare Abbildungen als Matrizenprodukt: Aus dem vorletzten Paragrafen ist bekannt, dass sich jede lineare Abbildung

Folie 3 Kapitel IV, §21 ist daher Y = f(X) als Spaltenvektor in K mx1 – -- (21.4) Komposition und Matrizenprodukt: Bezüglich der Standard- einheitsbasen in K n = K nx1, K m = K mx1 und K s = K sx1 liefert bezüglich der Standardbasen durch die Matrix A mit eindeutig darstellen lässt. Für den Vektor als Spaltenvektor von der Form Y = AX als Matrizenprodukt AX der (m,n)-Matrix A mit der (n,1)-Matrix X 

Folie 4 Kapitel IV, §21 Facit: Matrizen beschreiben die linearen Abbildungen (§19), ihre Wirkung wird durch das Produkt AX gegeben (21.3) und die Komposition durch AB (21.4). (21.5) Definition: Eine K-Algebra ist ein K-Vektorraum R zusammen mit einer Multiplikation eine (m,n)-Matrix A die lineare Abbildung f = f(A) von K n nach K m und eine (n,s)-Matrix B die lineare Abbildung g = f(B) von K s nach K n. Die Komposition ist wieder linear und wird gegeben durch das Produkt AB der Matrizen: Das Produkt definiert auf K nxn (m = n !) die Struktur einer K-Algebra: mit: 1 o t(hk) = (th)k = h(tk) 2 o h(k + l) = hk + hl, (h + k)l = hl + kl 

Folie 5 Kapitel IV, §21 K nxn mit dem Matrizenprodukt ist eine assoziative K-Algebra; ebenso Hom(V,V) für einen K-Vektorraume V. für alle t aus K und alle h,k,l aus H. Die Algebra heißt assoziativ, wenn stets 3 o (hk)l = h(kl). Die Algebra heißt kommutativ, wenn stets 4 o hk = kh. Sei H eine K-Algebra. Ein Element e aus H heißt Eins (-element), wenn stets 5 o he = eh = h. In einer K-Algebra H mit Eins e heißt k eine Inverse zu h aus H, wenn 6 o hk = kh = e. Ein Element h einer K-Algebra H mit Eins heißt invertierbar, falls eine Inverse zu h gibt.

Folie 6 Kapitel IV, §21 (21.6) Beispiele: 1 o C(I), der R-Vektorraum der stetigen Funktionen auf einem Intervall I mit Werten in R mit der üblichen Multiplikation (punktweise) 2 o Im Falle der Existenz ist die Inverse zu h eindeutig bestimmt und wird auch mit h -1 bezeichnet. In dem für uns wichtigen Falle der Algebra K nxn der (n,n)-Matrizen ist die Einheitsmatrix E (= E (n) ) mit. Bemerkung:. 1 o Eine Eins ist im Falle der Existenz eindeutig bestimmt und wird auch mit 1 bezeichnet (nicht verwechseln mit 1 in K !). Die invertierbaren Matrizen in K nxn sind die Matrizen, die einen Isomorphismus definieren, und das sind die Matrizen mit Rang n. ist eine assoziative und kommutative R-Algebra mit Eins: 1(x) = 1. Die invertierbaren Elemente sind genau die Funktionen f ohne Nullstelle und die Inverse ist dann

Folie 7 Kapitel IV, §21 2 o Analog liefern die stetigen C-wertigen Funktionen C(I,C) auf I eine assoziative und kommutative C-Algebra. 3 o Der K-Vektorraum K[T] der Polynome wird mit der Multiplikation zu einer kommutativen und assoziativen K-Algebra mit Eins. 4 o R 3 mit dem Vektorprodukt Die Eins ist das konstante Polynom P = a 0 mit a 0 = 1. Die invertierbaren Elemente sind die konstanten Polynome P = a 0, wobei a 0 von 0 verschieden ist ist eine R-Algebra. Diese Algebra hat keine Eins, denn XY steht immer senkrecht auf Y.

Folie 8 Kapitel IV, §21 5 o Die Quaternionenalgebra: H := R 4 mit der üblichen Vektorraumstruktur und der folgenden Multiplikation: Die Algebra ist nicht assoziativ, man teste mit e 1 + e 2, e 1, e 2. Die Algebra ist nicht kommutativ, es gilt aber stets XY + YX = 0. Die Algebra erfüllt stets ((XY)Z) + ((YZ)X) + (ZX)Y) = 0. Das ist die Jacobi-Identität, die für Lie-Algebren eine wichtige Rolle spielt. H ist eine assoziative R-Algebra mit 1 (= e 1 ), H ist nicht kommutativ. Jedes von Null verschiedene Element in H ist invertierbar. Verbreitete Notation: 1 = e 1, i = e 2, j = e 3, k = e 4. Dann: i 2 = j 2 = k 2 = -1, 1 2 = 1, ij = k = -ji, jk = i = - kj, ki = j = - ik und 1i = i1 = i, 1j = j1 = j, 1k = k1 = k. XY durch bilineare Fortsetzung.