Algebraische und transzendente Zahlen – - zum Beispiel 𝟐 und π („Wurzel aus 2“ und „Pi“) π-Tag Universität Bozen-Bolzano 13. März 2015 Franz Pauer Universität Innsbruck Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π 1 1 Quadrat Kreis Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π π 2 1 1 Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π Zahlengerade 1 Addieren A‘ 0‘ A A+B 1 B Multiplizieren C C∙D 1 1 Addieren A‘ 0‘ A A+B 1 B Multiplizieren C C∙D 1 D C‘ 1‘ Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π 1 2 B A A B π 1 2 3 Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π (0, 2 ) (0,1) (- 2 , 0) 1 (1,0) ( 2 , 0) 2 + 2 < π < 2 + 2 = 4 Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π (0,1) ( 𝟐 𝟐 , 𝟐 𝟐 ) 1 (1,0) Für n=4: 3.061467458 < π < 3.313708500 Für n=1000: 3.141591362 < π < 3.141595238 Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π 1995 Bailey- Borwein- Plouffe: π = lim n -> ∞ n ∑ k = 0 1 16 𝑘 .( 4 8𝑘+1 - 2 8𝑘+4 - 1 8𝑘+5 - 1 8𝑘+6 ) n = 2 : 3.141587390 n = 5 : 3.141592653 n = 6 : 3.141592654 n = 100 : 3.141592654 Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π b a 1 r b a = r 1 , also b = a.r Der Umfang des Kreises mit Radius r ist das r-fache des Umfangs des Kreises mit Radius 1, also 2rπ. Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π 𝒏 𝒏 r 𝒏−𝟏 𝒏 r 𝒏−𝟐 𝒏 r 𝟐 𝒏 r 𝟏 𝒏 r r Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

Kurzschreibweise: 𝑘=1 100 𝑘 = ? 2 und π Gauss: 1 + 2 + …… + 100 = ? Kurzschreibweise: 𝑘=1 100 𝑘 = ? 𝑘=1 100 𝑘 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) = = 50 ∙ 101 = 5050 𝑘=1 𝑛−1 𝑘 = 1 + 2 + … + (n – 2) + (n – 1) = = [1+(n-1)] + [2+(n-2)] + … + [( [𝑛 − 1] 2 + [𝑛+ 1] 2 )] = = [𝑛 − 1] 2 ∙ n Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

Fläche eines Kreises mit Radius r: lim n →∞ r² π (1 − 1 n ) = r² π 2 und π 𝒌 + 𝟏 𝒏 r 𝒌 𝒏 r 𝟏 𝒏 r 2 𝒌 𝒏 r π 𝑘 = 1 𝑛 −1 k n² 2r² π = 2 𝑟²π n² 𝑘 = 1 𝑛 −1 𝑘 = 2𝑟²π n² ∙ (𝑛 𝑛 −1 ) 2 = r²π (1 - 1 n ) Fläche eines Kreises mit Radius r: lim n →∞ r² π (1 − 1 n ) = r² π Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π Bruchzahlen (rationale Zahlen): Quotienten von ganzen Zahlen; zum Beispiel: 3 4 , −7 13 , 7,18 = 718 100 , 93,995 = 93995 1000 , … Alle Zahlen, die durch Ziffern dargestellt werden können, sind Bruchzahlen (rationale Zahlen). 𝟐 ist keine Bruchzahl: Wäre 2 = 𝑎 b , wobei a und b ganze Zahlen sind und nicht beide durch 2 teilbar, dann: 2 = 𝑎² b² , a² = 2b² a² durch 2 teilbar, also a = 2c 4c² = 2b² , 2c² = b² b² durch 2 teilbar, also auch b. Widerspruch! π ist keine Bruchzahl: Beweis viel schwieriger (Lambert, 1761) Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π 𝟐 kann nicht durch Ziffern dargestellt werden (nur Bruchzahlen können durch Ziffern dargestellt werden), wie dann? a, b, c, d Bruchzahlen a + b 2 = c + d 2 a – c = (d – b) 2 Wäre d – b ≠ 0, wäre 2 = 𝑎 −𝑐 d −b eine Bruchzahl (Widerspruch). Also: d = b und a = c. „Die Bruchzahlen a, b sind durch die reelle Zahl a + b 𝟐 eindeutig bestimmt.“ Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π (a + b 2 ) ± (c + d 2 ) = (a + c) ± (b + d) 2 (a + b 2 ) ∙ (c + d 2 ) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 Wenn (a, b) ≠ (0, 0): (a + b 2 ) ∙ (a - b 2 ) = a² - 2b² ≠ 0 Denn: Wenn b = 0: a² - 2b² = a² ≠ 0 Wenn b ≠ 0: Wäre a² - 2b² = 0, wäre ( 𝑎 b )² = 2, also 2 = ( 𝑎 b ) eine Bruchzahl. Also: 1/(a + b 2 ) = 𝑎 a² −2b² - 𝑏 a² −2b² 2 „Addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert (außer durch 0) man Zahlen der Form a + b 𝟐 , erhält man wieder solche.“ Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

Darstellung am Computer: a + b 2 durch (a, b) 2 und π Darstellung am Computer: a + b 2 durch (a, b) z.B.: -2 + 5 2 2 durch (-2, 5 2 ) (a, b) ± (c, d): = (a ± c, b ± d) (a, b) ∙ (c, d): = (ac + 2bd, ad + bc) 1/(a, b): = ( 𝑎 a² −2b² , −𝑏 a² −2b² ) Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

Rechnen mit 2 im Computeralgebrasystem MAPLE Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

Rechnen mit 2 im Computeralgebrasystem MAPLE Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π Reelle (bzw. komplexe) Zahlen, die Nullstellen von Polynomfunktionen mit rationalen Koeffizienten sind, heißen algebraische Zahlen. Reelle (bzw. komplexe Zahlen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendente Zahlen. Das heißt: für eine algebraische Zahl a gibt es Bruchzahlen (rationale Zahlen) c0, c1, c2, … , cn so, dass nicht alle = 0 sind und c0 + c1a + c2a2 + … + cnan = 0 ist. Beispiel: 2- 2 2 = 0 (c0 = 2, c1=0, c2=-1), 2 ist eine algebraische Zahl. Beispiel: 3 5 ist eine algebraische Zahl. Beispiel: Jede Bruchzahl ist eine rationale Zahl. Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik

2 und π Carl Lindemann (1882): π ist eine transzendente Zahl. Das heißt: Für alle natürlichen Zahlen n und alle rationalen Zahlen c0, c1, c2, … , cn mit c0 + c1 π + c2 π 2 + … + cn πn = 0 folgt, dass c0= c1= c2= … = cn = 0 ist. Charles Hermite (1873): Die Eulersche Zahl e ist eine transzendente Zahl. e = lim 𝑛→∞ 1+ 1 𝑛 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑘=0 𝑛 1 𝑘! Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik