HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken III Christian Schindelhauer

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1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken III Christian Schindelhauer schindel@upb.de

2 2 Christian Schindelhauer 30.10.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken III Zellulare Netze (I) Ursprüngliche Problemstellung: –Starres Frequenzmultiplexing für gegebene Menge von Basisstationen Gegeben: –Positionen der Basisstationen Gesucht: –Frequenzzuteilung, welche die Interferenzen minimiert Wie modelliert man zulässige Frequenzzuteilungen?

3 3 Christian Schindelhauer 30.10.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken III Zellulare Netze (II) Wie modelliert man zulässige Frequenzzuteilungen? Seien f 1 < f 2 <…< f k mögliche Frequenzen –In benachbarten Gebieten dürfen nicht f i und f i+1 zugewiesen werden sonst Interferenzen –Nachbarschaft reicht nicht als Kriterium Frequenzzuteilung im allgemeinen ist kombinatorisch schwierig

4 4 Christian Schindelhauer 30.10.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken III Voronoi-Diagramme Definition (I) Best-Station-Problem nur unter Berücksichtung von Path Loss führt zu Voronoi-Diagrammen Abstandsmaß: –Euklidischer Abstand –= L 2 -Norm –p=(p 1,p 2 ), q=(q 1,q 2 ) R 2 Bisektor B(p,q)

5 5 Christian Schindelhauer 30.10.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken III Voronoi-Diagramme Definition (II) Bisektor Zerlegt Ebene in Halbebenen D(p,q) und D(q,p) Für gegebene Punktmenge V definiere Voronoi-Region VR(p,V) eines Punkts v V:

6 6 Christian Schindelhauer 30.10.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken III Voronoi-Diagramme Definition (III) Voronoi-Region VR(p,V) Voronoi-Diagramm VD(V) Alle Voronoi-Regionen sind konvex –Beweis: Übung Voronoi-Diagramme bestehen aus Strecken, Halbgeraden und Punkten

7 7 Christian Schindelhauer 30.10.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken III Voronoi-Diagramme Struktur Voronoi-Diagramme bestehen aus Strecken, Halbgeraden und Punkten –Betrachte benachbarte Voronoi-Regionen VR(p,V) und VR(q,V) –Dann muß jeder Punkt des gemeinsamen Rands im Bisektor B(p,q) liegen, weil Jede Voronoi-Region ist konvex + Randstücke bestehen aus endlich vielen Geradenstücken Voronoi-Diagramm ist ein geometrischer Graph

8 8 Christian Schindelhauer 30.10.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken III Geometrischer Graph Geometrische Realisierung eines ungerichteten Graphen in R 2 Knoten werden auf Punkte abgebildet Kanten werden auf einfache Wege abgebildet Keine Überschneidung zwischen verschiedenen einfachen Wegen –Planarer Graph Zusammenhangskomponente –Maximaler Teilgraph indem jeder Knoten einen Weg zu jedem anderen Knoten besitzt

9 9 Christian Schindelhauer 30.10.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken III Kreis-Lemma Beweis: Übung…

10 10 Christian Schindelhauer 30.10.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken III Konvexe Hülle Voronoi-Diagramme stehen in enger Beziehung zur konvexen Hülle CH(V) einer Punktmenge V

11 11 Christian Schindelhauer 30.10.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken III Eulersche Formel