Vom graphischen Differenzieren zum Ziel: das was wir graphisch bestimmt haben wollen wir jetzt berechnen rechnerischen Differenzieren f‘(x0) = lim f(x0+h) – f(x0) h h → 0

Die h-Methode Wir wollen die Steigung einer Funktion bestimmen Große Teile der Berechnungen sind uns wohl vertraut Das können wir bereits! Oder nicht?

Können wir! 4 4 - 3 m = 4 - 3 6 - 4 Ein Beispiel: 3 6 - 4 m = 0,5 4 6 Sind 2 Punkte einer linearen Funktion gegeben, können wir die Steigung m einfach berechnen.

Das war einfach! Aber wie geht das nun bei nicht-linearen Funktionen? f(x) – f(x0) Differenzenquotient m = x - x0 f(x) Hier die Geogebra-Datei plenumableitung02 aufrufen: Punkt B bewegen! f(x0) x0 x Wir wollen die Steigung im Punkt (x0/f(x0)) berechnen. Dazu nehmen wir einen weiteren Punkt der Funktion zu Hilfe und können so die Steigung m berechnen.

War das schon alles? Natürlich nicht ! Was nun? Wir haben zwar eine Steigung berechnet, nicht aber die Steigung der Funktion im Punkt (x0/f(x0)), sondern die der Geraden durch die beiden Punkte. Was nun?

Ein Trick muss her! Der Hilfspunkt zu x liegt um h weiter als x0 , wo wir die Steigung suchen. Würden die Punkte näher zusammen liegen, wäre das Ergebnis viel genauer. Wird also h sehr klein, ist das Ergebnis viel genauer ! Hier noch einmal die Geogebra-Datei plenumableitung02 aufrufen: Punkt B bewegen! f(x0+h) f(x0) x0 x0+h

Berechnen wir m, dann sieht das nun so aus: f(x0+h) – f(x0) h f(x0+h) – f(x0) m = x0+h - x0 Und wie soll uns das jetzt weiterhelfen ???

Ein Beispiel muss her! Zahlen! f(x0+h) – f(x0) h Wir suchen die Steigung der Funktion f(x) = x2 an der Stelle x0 = 2 . Dazu brauchen wir einen Hilfspunkt, der um „h“ weiter liegt. Die beiden Punkte lauten dann also (2 | 4) und (2+h | f(2+h)) Na wunderbar, mit 2 Punkten können wir arbeiten! Dann mal los... Hier die Geogebra-Datei plenumableitung01 aufrufen: Punkt B bewegen und das Hilfsobjekt a (= Gleichung der Sekante) beobachten. f(x0 + h) – f(x0) x0 + h - x0 Es ist m = (2+h)2 - 4 4 + 4h + h2 - 4 h2 + 4h m = = = 2 + h - 2 h h h (h + 4) = = h + 4 h

Klasse! Wir sind ja auch noch nicht ganz fertig! Die Steigung der Funktion im gesuchten Punkt ist also h + 4. Aber Moment mal.... Was sollen wir denn mit dem h anfangen? Wir haben doch immer noch die Steigung mit 2 Punkten berechnet? Wir sind ja auch noch nicht ganz fertig!

lim (h + 4) = 4 Die Steigung der Funktion f(x) = x2 Die Überlegung war, dass die beiden Punkte sehr nah zusammen liegen sollten, damit das Ergebnis möglichst genau wird. Das machen wir jetzt! Wenn der zweite Punkt um „h“ entfernt liegt, machen wir h ganz einfach unendlich klein (sehr sehr klein) lim (h + 4) = 4 Hier noch einmal die Geogebra-Datei plenumableitung01 aufrufen: Punkt B bewegen Gleichung beobachten! h->0 Man bildet den Grenzwert (limes) für h gegen 0. Die beiden Punkte liegen damit sozusagen aufeinander und wir haben nicht mehr die Steigung einer Geraden, sondern die Steigung in einem Punkt berechnet. Die Steigung der Funktion f(x) = x2 an der Stelle x0=2 beträgt also 4.

Wie ging das noch mal ? 1. Ich berechne den Differen-zenquotienten m mit Hilfe eines weiteren Punktes, dessen x-Wert von der zu untersuchenden Stelle x0 den Abstand „h“ hat. m = f(x0+h) – f(x0) h 2. Ich bilde den Grenzwert für h gegen 0 und erhalte die Ableitung (= Steigung) an der Stelle x0 f‘ (x0) = lim f(x0+h) – f(x0) h h → 0

Der Differenzenquotient m Zusammengefasst: Der Differenzenquotient m m = f(x) – f(x0) x – x0 f(x0 + h) – f(x0) x0 + h - x0 zu m = wird für x = x0 + h m = f(x0+h) – f(x0) h oder - vereinfacht - zu Und die Ableitung von f(x) an der Stelle x0 , kurz f‘(xo) , ist, wenn h gegen 0 geht, der Grenzwert des Differenzenquotienten, also: f‘(x0) = lim f(x0+h) – f(x0) h h → 0 Alles klar ?

2. Was bedeutet die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 ? Die drei Fragen: 1. Wie ist der Differenzenquotient definiert? m = f(x0+h) – f(x0) h 2. Was bedeutet die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 ? f‘(x0) = lim f(x0+h) – f(x0) h h → 0 3. Wie kann die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 berechnet werden ? Setze die Werte für x0 und h in den Funktionsterm f(x) ein! Setze dies in den Differentenquotienten ein ! Forme um, kürze h, und lasse dann h gegen Null gehen.

Aufgaben (Lösungen siehe AB 1) : Berechne zu f(x) = 4x² + 2 x - 1 den Differenzenquotienten m und f‘(x0) mit … 1.) h = 2 und x0 = 1 2.) h = 1 und x0 = 2 3.) h = 1 und x0 = 0

Aufgaben: