Sekante - Tangente P(x0/f(x0) Q(x0+Δx/f(x0+ Δx)) Sekante Tangente
Q Q wandert gegen P Sekante wird zur Tangente Δy P Δx Δx Δx
Q Steigungsdreieck Δy P Δx
Steigungsdreieck Q Δy P Δx
Steigungsdreieck Q Δx Δy P
Δx Δy P Tangentensteigung Δx geht gegen Null!!! ???
P(x0/f(x0)) Q(x0+Δx/ f(x0+ Δx)) Sekante Tangente f(x0+ Δx) f(x0) Δx x0
P(x0/f(x0)) Q(x0+Δx/ f(x0+ Δx)) Sekante Tangente f(x0+ Δx) f(x0) Δx x0
Einführung der Differentialrechnung von G.W. Leibniz Trick: Δx ist nicht gleich Null Δx geht gegen Null!!! So wird vermieden, dass der Nenner des Bruches Δy/Δx Null wird. Berechnung der Tangentensteigung G.W. Leibniz 1646 - 1716
Einführung der Differentialrechnung von Isaac Newton Entwickelt die Differentialrechnung ausgehend vom Problem der Momentangeschwindigkeit Gleichförmige Bewegung: v = s/t = konstant Ungleichförmige Bewegung: Durchschnittliche Geschwindigkeit I. Newton1643 - 1727 „Differenzenquotient“
Anstieg der Tangente = Momentangeschwindigkeit Zeit t Weg s Δt Δs Anstieg der Sekante: Durchschnittsgeschwindigkeit Anstieg der Tangente= Momentangeschwindigkeit:
Definition der Momentangeschwindigkeit Die Funktion f: R→R, s=f(t) beschreibt die Abhängigkeit des Weges von der Zeit t. Der folgende Grenzwert ergibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t0:
Zeit t Weg s Δt Δs f(t0+Δt) f(t0) t0 t0+Δt 0← Δt
Kurvendiskussion Spezielle Punkte der Kurve sind Nullstellen: y = 0 Schnittpunkte mit der x-Achse Extremstellen: Lokale Maxima und Minima Wendepunkte
Lokales Maximum y‘=0 y‘‘<0 Monoton steigend Monoton fallend Tangentensteigung positiv negativ Tangentensteigung Null y‘‘<0 Tangentensteigung nimmt ab
Lokales Minimum y‘=0 y‘‘>0 Tangentensteigung Null Tangentensteigung Negativ Monoton fallend Positiv Monoton steigend Tangentensteigung nimmt zu y‘=0 y‘‘>0
Wendepunkt y‘‘=0 y‘‘<0 y‘‘>0 Rechtskurve Linkskurve Tangentensteigung nimmt ab nimmt zu y‘‘<0 y‘‘>0 Rechtskurve Linkskurve y‘‘=0 Positive Krümmung Negative Krümmung Wendepunkt Weil sich im Bereich von W die Krümmung (y‘‘) ändert, ist y‘‘‘≠ 0