Aussagenlogik G. Laner 03/04 Grundlagen der EDV Aussagenlogik G. Laner 03/04

Aussage Aussagenlogik Was versteht man unter einer Aussage? Einen Satz, dem eindeutig das Resultat "wahr" oder "falsch" zugeordnet werden kann. Mögliche Schreibweisen: wahr w, 1, true falsch f, 0, false G. Laner 2003/04

Wahrheitstabellen Aussagenlogik Bieten eine Übersicht über alle möglichen Kombinationen von mehreren zusammengesetzten Aussagen. Aussagen werden über aussagenlogische Operatoren verknüpft, den JUNKTOREN. Unterschieden wird nach ein-, zwei- und mehrstelligen Junktoren. G. Laner 2003/04

Negation Aussagenlogik (Verneinung) Operator: Ø Wahrheitstabelle: a Ø a w f f w G. Laner 2003/04

Konjunktion Aussagenlogik (UND-Verknüpfung) Operator: Ù Wahrheitstabelle: a b a Ù b w w w w f f f w f f f w Umgangssprachlich: sowohl, als auch G. Laner 2003/04

Disjunktion Aussagenlogik (ODER-Verknüpfung) Operator: Ú Wahrheitstabelle: a b a Ú b w w w w f w f w w f f f Umgangssprachlich: oder (einschließend) G. Laner 2003/04

Antivalenz / Alternative Aussagenlogik Antivalenz / Alternative (ENTWEDER ODER-Verknüpfung) Operator: `Ú Wahrheitstabelle: a b a`Ú b w w f w f w f w w f f f Umgangssprachlich: entweder oder (ausschließend) G. Laner 2003/04

Implikation / Subjunktion Aussagenlogik Implikation / Subjunktion (IMPLIZIERT-Verknüpfung) Operator: ® a heißt Prämisse, b Konklusion Wahrheitstabelle: a b a ® b w w w w f f f w w f f w Umgangssprachlich: wenn - dann / aus - folgt G. Laner 2003/04

Äquivalenz Aussagenlogik Operator: « Wahrheitstabelle: a b a « b w w w w f f f w f f f w Umgangssprachlich: genau dann, wenn G. Laner 2003/04

Beispiel 1: Aussagenlogik Wahrheitstabelle: p q r (p ® ( q Ú r )) w f G. Laner 2003/04

Beispiel 1: Aussagenlogik Wahrheitstabelle: p q r (p ® ( q Ú r )) w f G. Laner 2003/04

p q r s (Ø (( p « (q Ù r)) ® ( s Ú (Ø q )))) Aussagenlogik p q r s (Ø (( p « (q Ù r)) ® ( s Ú (Ø q )))) w w www w w w f f f f f f f f w w ww f f f f w w w wf f f f w w f f w w f f w wf f w wf f w f wfw f w f wf w f wf w f f wf f f f f f fwf f f f f f w w f f f f f f f f w ww ww w w w f f f f f f wwf f f f f f w f w w w w w w wfw w w w w w w f w f w w w w wfw f w w w w f f f f wwww f f f f w ww w G. Laner 2003/04

Tautologie - Kontradiktion Aussagenlogische Formel, die für alle Kombinationen der Aussagenvariablen den Wert "wahr" hat. Kontradiktion Aussagenlogische Formel, die für alle Kombinationen der Aussagenvariablen den Wert "falsch" hat. Indeterminiert Mindestens eine Kombination ergibt "wahr" und mindestens eine ergibt "falsch". G. Laner 2003/04

KKNF - Kanonische konjunktive Normalform Normalformen KKNF - Kanonische konjunktive Normalform Konjunktive Verknüpfung von Basisdisjunktionen. Bsp.: (p Ú q Ú Ø r) Ù (p Ú Ø q Ú r) KDNF - Kanonische disjunktive Normalform Disjunktive Verknüpfung von Basiskonjunktionen. Bsp.: (p Ù q Ù Ø r) Ú (p Ù Ø q Ù r) G. Laner 2003/04

Gesucht: äquivalente KDNF Normalformen p w f q w f r w f Ø (Ø p ® q) Ú r w f Gesucht: äquivalente KDNF Alle Kombinationen, die Resultat "w" haben, werden gesucht und verarbeitet. (p Ù q Ù r) Ú (p Ù Ø q Ù r) Ú (Ø p Ù q Ù r) Ú (Ø p Ù Ø q Ù r) Ú Ú (Ø p Ù Ø q Ù Ø r) G. Laner 2003/04

Gesucht: äquivalente KKNF Normalformen p w f q w f r w f Ø (Ø p ® q) Ú r w f Gesucht: äquivalente KKNF Alle Kombinationen, die Resultat "f" haben, werden gesucht und verarbeitet. (Ø p Ú Ø q Ú r) Ù (Ø p Ú q Ú r) Ù (p Ú Ø q Ú r) G. Laner 2003/04

NAND / NOR Junktoren (Sheffer / Peirce Operatoren) NAND (Sheffer-Operator) entspricht NOT AND NOR (Peirce-Operator) entspricht NOT OR p w f q w f p ­ q f w p w f q w f p ¯ q f w G. Laner 2003/04

Äquivalenz-Umformungen Um eine Normalform zu erreichen, dürfen als Junktoren nur Ú, Ù und Ø vorkommen. Daher sind die Junktoren « und ® durch geeignete Konstrukte zu ersetzen (siehe nächste Folie). Zusätzlich sind Umformungen nach den DE MORGAN - Gesetzen notwendig: Ø ( a Ù b ) entspricht (Ø a Ú Ø b ) Ø ( a Ú b ) entspricht (Ø a Ù Ø b ) Weitere Umformungen: a Ú ( b Ù c ) entspricht ( a Ú b ) Ù ( a Ú c ) a Ù ( b Ú c ) entspricht ( a Ù b ) Ú ( a Ù c ) G. Laner 2003/04

Äquivalenz-Umformungen p w f q w f p ® q w f Ø p f w Ø p Ú q w f p w f q w f p « q w f (p ® q) Ù (q ® p) f w (Ø p Ú q) Ù (Ø q Ú p) f w G. Laner 2003/04