Prolog und Prädikatenlogik I

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1 Prolog und Prädikatenlogik I
Prolog Grundkurs WS 99/00 Christof Rumpf GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

2 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Logikprogrammierung Prolog wurde um 1970 von Alain Colmerauer und seinen Mitarbeitern in Marseille mit dem Ziel entwickelt, die Programmierung von Computern mit den Mitteln „der Logik“ zu ermöglichen. GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

3 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Pure Prolog Das sogenannte Pure Prolog oder Database-Prolog entspricht einer Teilmenge der Sprachdefinition eines praktischen Prolog-Entwicklungssystems und enthält keine extra- oder metalogischen Komponenten wie: Cut, Type-Checking Arithmetische Operationen Datenbasismanipulation zur Laufzeit GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

4 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Prolog und Logik Pure Prolog-Programme entsprechen den Ausdrücken der Hornklausellogik, die eine Teilmenge der Prädikatenlogik 1. Stufe ist. Das Beweisverfahren Resolution ermöglicht Inferenzen aufgrund von Prolog-Programmen oder Hornklauseln. GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

5 Prädikatenlogik  Prolog
Prädikatenlogik 1. Stufe Hornklauseln Prolog KNF GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

6 Prädikatenlogik 1. Stufe
Inventar der Syntax: Individuenkonstanten a, b, c, ... Individuenvariablen x, y, z, ... Prädikate P(Arg1,...,Argn), Argi  TERM Quantoren ,  Junktoren , , , ,  Terme GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

7 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Formeln der PL1 Wenn P ein n-stelliges Prädikat ist und t1,...,tn Terme sind, dann ist P(t1,...,tn) ein Literal. Literale sind Formeln. Wenn  und  Formeln sind, dann sind auch ,   ,   ,   ,    Formeln. Wenn  eine Formel ist und x eine Individuen-variable, dann sind auch (x) , (x)  Formeln. GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

8 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Klauseln Wenn P ein n-stelliges Prädikat ist und t1,...,tn Terme sind, dann ist P(t1,...,tn) ein Literal. Literale sind Klauseln. Wenn  ein Literal ist, dann ist auch  eine Klausel. Wenn  und  Klauseln sind, dann ist auch    eine Klausel. GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

9 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Hornklauseln Hornklauseln sind Klauseln, die genau ein nicht-negiertes Literal und beliebig viele negierte Literale enthalten. Vater(x,y)   Elternteil(x,y)   Männlich(x) Sterblich(sokrates) GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

10 Konjunktive Normalform
Eine Formel ist in konjunktiver Normal-form, wenn sie eine Konjunktion von Klauseln repräsentiert. K1  ...  Kn, Ki KLAUSEL Formeln der Prädikatenlogik können durch Anwendung logischer Äquivalenzregeln in die konjunktive Normalform gebracht werden. GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

11 Logische Äquivalenzregeln
Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz Konditional- und Bikonditionalgesetz De Morgan Komplementarität Idempotenz Identität GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

12 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Kommutativität P  Q  Q  P P  Q  Q  P GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

13 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Assoziativität (P  Q)  R  P  (Q  R) (P  Q)  R  P  (Q  R) GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

14 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Distributivität P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R) P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R) GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

15 Konditional- & Bikonditionalgesetz
P  Q  P  Q P  Q  (P  Q)  (Q  P) GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

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De Morgan (P  Q)  P  Q (P  Q)  P  Q GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

17 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Komplementarität P  P  1 (Tautologie, allgemeingültig) P  P  0 (Kontradiktion, Inkonsistenz) P  P (Doppelte Negation) GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

18 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Idempotenz, Identität P  P  P P  P  P P  0  P P  1  1 P  0  0 P  1  P GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

19 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Quantorengesetze Negation Distribution Dependenz Bewegung Prenex Normalform GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

20 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Quantoren-Negation x   x  x   x  x   x  x   x  GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

21 Quantoren-Distribution
x (  )  x   x  x (  )  x   x  x   x   x (  ) x (  )  x   x  GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

22 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Quantoren-Dependenz x y   y x  x y   y x  x y   y x  GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

23 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Quantoren-Bewegung   x   x (  )   x   x (  ) (x )    x (  ) (x )    x ( ) Hier wird vorausgesetzt, daß die quantifizierte Variable nicht frei in der Formel vorkommt, die jeweils außerhalb des Quantorenskopus erscheint. GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

24 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Prenex-Normalform Eine PL1-Formel befindet sich in Prenex-Normalform, wenn alle Quantoren am Anfang der Formel stehen. (x F(x))  (y G(y)) Quantorenbewegung, Gesetz y x (F(x)  G(y)) GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

25 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Skolemisierung Existenzquantoren können eleminiert werden, indem existenzquantifizierte Variablen durch Skolemkonstanten substituiert werden. Liegt ein Existenzquantor im Skopus von Allquantoren, werden die Skolemkonstanten mit den jeweiligen allquantifizierten Variablen durch Parametrisierung in Abhängigkeit gebracht. GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

26 Skolemisierung: Beispiele
y x ((man(x)  (woman(y))  loves(x,y)) x ((man(x)  woman(G))  loves(x,G)) x (man(x)  y (woman(y)  loves(x,y))) x (man(x)  (woman(G(x))  loves(x,G(x)))) GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I

27 GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I
Ausblick Nächste Woche werden wir ein Prolog-Programm behandeln, das PL1-Formeln in Prolog-Programme übersetzt. GK Prolog: Prolog und Prädikatenlogik I