Varianz einer Binomialverteilung Rechnerische Herleitung für n = 1 und n = 2: n = 1 Mit E(X) = µ = n·p : µ = 1·p =p Somit: V(X) = (1-p)(0-p)² + p(1-p)² = (1-p)p² + p(1-p)² = p² - p³ + p -2p² + p³ = p(1-p) = 1·p(1-p) n = 2 µ = 2·p =2p Somit: V(X) = ……
Varianz einer Binomialverteilung Rechnerische Herleitung für n = 1 und n = 2: n = 1 Mit E(X) = µ = n·p : µ = 1·p =p Somit: V(X) = …= 1·p(1-p) µ = 2·p =2p n = 2 Somit: V(X) = (1-p)²(0-2p)² + 2p(1-p)(1-2p)² + p² (2-2p)² = (1-p)²4p² + 2p(1-p)(1-2p)² + p²2²(1-p)² = p(1-p)[(1-p)4p + 2 (1-2p)² + p·4(1-p)] = p(1-p)[ 4p-4p² +2 -8p +8p² +4p - 4p²] = p(1-p)[ 2] = 2 ·p(1-p) Also: V(X)=n·p·(1-p) .... auch noch allgemein zu zeigen
Standardabweichung einer Binomialverteilung Wir hatten bereits gezeigt: (aber nicht allgemein bewiesen) a) E(X) = µ = n·p b) V(X)=n·p·(1-p) Für die Standardabweichung kannten wir bereits: s = √ V(X) s² = V(X) Dieser Zusammenhang gilt auch hier und wird später ausführlich genutzt. (s-Umgebung, also gut merken!!!)