Einsatzmöglichkeiten für GeoGebra in der 5. Klasse AHS Mag. Christian Dorner BSc

Fragen die man sich stellen könnte Welche Verständnisprozesse können mit GeoGebra gefördert werden? Welche Fehlvorstellungen können vermieden werden? Was soll unbedingt schon in der 5. Klasse gemacht werden? Wie stark soll fokussiert werden? Wann soll GeoGebra im Unterricht eingesetzt werden? Welche Anforderungen stellt die sRP? Reines Erlernen des Programms oder mathematische Inhalte? Computer oder Handheld? Welche Funktionen des Programms sollen im Unterricht durchgenommen werden? GeoGebra oder TiNspire? Macht uns der Computer nun schlau oder dumm? Wie initiiere ich Denkvorgänge bei SchülerInnen anstatt wildes Herumziehen mit netten Effekten ? Mit welchen Werkzeugen sollen die SchülerInnen arbeiten? Welche Inhalte eignen sich für einen Bearbeitung mit GeoGebra?

Standardisierte Reifeprüfung Minimalprogramm Zeichnen und Untersuchen von Funktionsgraphen Gleichungen und Gleichungssysteme lösen Anwendungen in der Statistik (Quelle: https://www.bifie.at/system/files/dl/srdp_ma_konzept_2013-03-11.pdf, 27.2.2014)

Zeit Fokussierungsgrad SchülerIn LehrerIn erweiternd vollständig teilweise unstrukturiert Aktiv

Fokussierungsgrad in GeoGebra Vollständig vorgegeben Wesentliche Elemente sind hervorgehoben Werkzeugleiste ist kaum benutzbar Variationsmöglichkeiten sind bewusst eingeschränkt Teilweise vorgegeben Konfiguration kann/muss ergänzt oder verändert werden Werkzeugleiste teilweise benutzbar Wesentliche Elemente sind teilweise hervorgehoben Unstrukturiert GeoGebra wird selbstständig und ohne Vorgaben und Einschränkungen genutzt Bleibt innerhalb der von GeoGebra vorgegebenen Möglichkeiten Erweiternd Es werden neue/eigene Werkzeuge erstellt GeoGebra an sich, wird als Werkzeug verwendet (nach: Roth, J., 2008, verändert)

Einbinden in eine längere Sequenz Zeit Einbinden in eine längere Sequenz Entdecken Lernen Werkzeug II Fokussierungsgrad Nicht vorstrukturierte Nutzung SchülerIn Werkzeug I Demonstration LehrerIn erweiternd vollständig teilweise unstrukturiert Aktiv

Demonstrationsapplets Anschauliches Erklären Interaktive Abbildung Tafel 2.0 die Lehrperson ist aktiv passive Schüleraktivität am Beginn eines Denkprozesses bzw. prozessbegleitend Kleiner Ausschnitt des Lehrstoffes Vollständig fokussiert Im Unterricht: Einstiegsphase oder Erarbeitungsphase

Demonstrationsapplets - Ideen Trigonometrie Einheitskreis 3D Skizzen Funktionen Füllfunktionen Funktionen (Zuordnungsaspekt, Variationsaspekt, Fehlvorstellungen) Kosten- und Erlösfunktionen Zeit-Ort-Funktionen Wirkung von Parameter Lineare Funktion: k und d Quadratische Funktion: Allgemeine Termdarstellung: a,b und c Scheitelpunktform: d und e Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl Parameterdarstellung einer Geraden Aufgabe Von der Plattform eines Leuchtturms, die sich in der Höhe h über dem Meeresspiegel befindet, sieht man das Boot A mit dem Fernrohr unter dem Tiefenwinkel α. Nach Schwenken des Fernrohres um den Horizontalwinkel ω sieht man das Boot B unter dem Tiefenwinkel β. Fertige eine Skizze an! (Quelle: Malle, G. /Woschitz, H. /Koth, M. /Salzger, B., 2010, S.119, verändert)

mögliche Gefahren passive Schüleraktivität Zusehen statt Mitdenken kein selbstständiges Denken das Programm wird nicht erlernt ohne weitere Verwendung nutzlos, benötigt eine weitere Vertiefung

Demonstrationsapplets und Fehlvorstellungen Graph as a picture Error (Quelle: Malle, G. /Woschitz, H. /Koth, M. /Salzger, B., 2010, S.143)

Entdeckungsapplets Ziel: einen mathematischen Zusammenhang/Sachverhalt selbständig entdecken bzw. heuristisches Entdecken SchülerInnen sind aktiv, es wird eine kognitive Anstrengung verlangt Konfiguration vollständig/teilweise vorgegeben (Fokussierungsgrad) Kleiner Ausschnitt des Lehrstoffes Im Unterricht: Einstiegs- oder Erarbeitungsphase

Entdeckungsapplets - Ideen Näherungsweise Angabe von Zahlen Auswirkung von Messfehler Trigonometrie Gleichungen der Form sinϕ=c bzw. cosϕ=c und ihre Visualisierung Funktionen Wirtschaftsmathematik: Veränderung der variablen Kosten und dem Break-even-Point Zeit-Ort-Funktionen: Veränderung der Geschwindigkeiten und dem Treffpunkt

mögliche Gefahren SchülerInnen sind mit der Konfiguration überfordert der Fokussierungsgrad ist zu gering wildes Hin- und Herziehen, das Wesentliche wird nicht erkannt Fragestellungen leiten den/die Schüler/in nicht zu dem zu entdeckenden Zusammenhang zu viel Ablenkung

Lernapplets Ziel: Festigung von Grundwissen/Grundkompetenzen Bestehen aus folgenden Punkten Aufgabenstellung Kognitiver Anstrengung (bildliche Darstellung, …) Möglichkeit zum Nachlesen des Stoffs Aktive kognitive Fähigkeit der SchülerInnen Auf einen kleinen Ausschnitt des Lehrstoffes beschränkt Hohe Fokussierung im Unterricht: Ergebnissicherungsphase

Beispiele Mengen und Mengendiagramme Vorzeichen von Sinus und Cosinus Lineare Funktionen Zeichnen des Funktionsgraphen Steigung von Geraden Veränderung der Parameter k und d Darstellung eines Zahlenpaars als Pfeil Darstellung eines Zahlenpaars als Punkt

mögliche Gefahren keine bzw. zu offene Aufgabenstellung das Wesentliche wird nicht hervorgehoben, der Fokussierungsgrad ist zu gering es wird keine kognitive Anstrengung der SchülerInnen verlangt man kommt durch einfaches Klicken/Probieren weiter Lösung ist zu offensichtlich keine Möglichkeit den Stoff nachzulesen

nicht vorstrukturierte Nutzung Kommunikationsmittel heuristisches Argumentationsmittel in mathematischen Diskussionen „Denkzeug“/Unterstützung Entlastung von Routinetätigkeiten, Delegation an den Computer bzw. GeoGebra zu komplexe Vorgänge werden ausgelagert entlastet Kontrollinstanz Überprüfen von zuvor abgelaufenen Prozessen (Denkvorgänge, Rechnen und Operieren, …) (nach: Roth, J., 2008, verändert)

Computer-Algebra-System Wichtige Begriffe in der 5. Klasse Numerische Ausgabe Ausmultiplizieren/Faktorisieren Gleichungen lösen können Gleichungssysteme lösen können Zuteilungen Erweiterung Vektoren (rechnet mit Zahlenpaaren) Aufgabe: Von drei verschiedenen quadratischen Gleichungen der Form x²+px+q=0 ist jeweils eine besondere Eigenschaft bekannt: Gleichung 1: Die Lösungen unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen. Gleichung 2: Eine Lösung ist der Kehrwert der anderen. Gleichung 3: Genau eine der beiden Lösungen ist 0. Was kannst du in diesen drei Fällen aufgrund der Bedingung über die Koeffizienten p und q aussagen? Gib jeweils drei Beispiele an! (Quelle: Herget, W., 2000, S.58, verändert)

Untersuchungsergebnisse CAS Die vertraute Handhabung von CAS ist ein langer Prozess SchülerInnen brauchen fast ein Schuljahr um Sicherheit im Umgang mit CAS zu bekommen und um das CAS sinnvoll beim Problemlösen zu benutzen SchülerInnen experimentieren mit CAS mehr SchülerInnen die ein CAS benutzen haben ein besseres Testergebnis, als SchülerInnen die keines benutzen (nach: Weigand, H., 2009)

Werkzeuge/Werkzeugapplets Erstellen von W/WA: Unterscheiden zwischen Erstellen eines Werkzeuges in GeoGebra Erstellen einer GeoGebra Datei, die als Werkzeug/Anwendung als Gesamtes dient Erweiternder Fokussierungsgrad Verwenden von W/WA vorgefertigte Dateien dienen zum Lösen eines speziellen Problems Hoher Fokussierungsgrad

Werkzeugapplet: Vektorrechnung mit GeoGebra und Geocaching (Quelle: http://simple.wikipedia.org/wiki/File:Geocache_opened.jpg, 16.4.2014) Was ist Geocaching? „Geocaching ['geːokɛʃɪŋ] ist eine Hightech Schatzsuche, das weltweit von Leuten, ausgerüstet mit einem GPS-Gerät, gespielt wird. Die Grundidee ist es, im Freien versteckte Behältnisse, genannt "Geocaches" zu suchen und zu finden, und die Erfahrungen online zu teilen. Geocacher sind eine Gemeinschaft aus jeder Altersgruppe, mit Sinn für Gemeinschaft und Umwelt...“ (Quellle: http://www.geocache.at/cms/startseite,9.4.2014) die Cache-Dichte in Wien beträgt ca. 8 Caches/km² (Quelle: http://aj-gps.net/distribution, 16.42014) (Quelle: c:geo-App für Android, 16.4.2014 )->

Problemstellung Die erste Peilung findet von N48°12.886‘ E16°21.806‘ unter einem Winkel von 31.807° statt. Die zweite Peilung wird unter dem Winkel -46.812° von N48°13.016‘ E16°22.268‘ getätigt. Das Final befindet sich beim Schnittpunkt der beiden Peilungen. Welche Koordinaten hat der Schatz? Internetforum: „2 Leute und 2 GPS Geräte nutzen Jeder peilt von einem Punkt aus .. beide laufen los...“ (Quelle: http://forums.groundspeak.com/GC/index.php?showtopic=280081, 21.3) (Quelle: https://itunes.apple.com/at/app/gctools-die-geocaching-tool/id438313105?mt=8, 16.4.2014) (Quelle: c:geo-App für Android, 16.4.2014)

𝐀𝐛𝐰𝐞𝐢𝐭𝐮𝐧𝐠=𝐃𝐢𝐟𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐳 𝐝𝐞𝐫 𝐋ä𝐧𝐠𝐞𝐧𝐠𝐫𝐚𝐝𝐞⋅ 𝐜𝐨𝐬 𝐁𝐫𝐞𝐢𝐭𝐞𝐧𝐠𝐫𝐚𝐝 ⋅𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟐 Überlegungen 𝐀𝐛𝐰𝐞𝐢𝐭𝐮𝐧𝐠=𝐃𝐢𝐟𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐳 𝐝𝐞𝐫 𝐋ä𝐧𝐠𝐞𝐧𝐠𝐫𝐚𝐝𝐞⋅ 𝐜𝐨𝐬 𝐁𝐫𝐞𝐢𝐭𝐞𝐧𝐠𝐫𝐚𝐝 ⋅𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟐 Umrechnung von GPS-Koordinaten in kartesische Koordinaten Geographische Breite: 1° entspricht 111,12 km (zweite Koordinate) Geographische Länge: schwieriger, Längengrade in der Nähe des Nordpols laufen zusammen. (erste Koordinate) Abweitung: bezeichnet dabei den Abstand zweier Punkte auf einem Breitegrad.

Final (Schatz) (Quelle: http://www.xxyyzz.cc/, 18.4.2014)

mögliche Gefahren Die Konstruktion wird nicht verstanden Werkzeuge werden zur Black-Box Selbst für die geringste kognitive Leistung wird ein Werkzeug erstellt, der Computer nimmt jegliche Denkleistung „Der schöne Schein“: Ergebnisse werden nicht hinterfragt

Einbindung in längere Sequenzen Lernpfade Regionales Fachdidaktikzentrum der PH NÖ http://rfdz.ph-noe.ac.at/material/lernpfade.html Matheonline http://www.mathe-online.at/lernpfade/ Austromath http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Jürgen Roth http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/index.html AK Mathematik Digital http://wikis.zum.de/zum/Mathematik-digital GeoGebraTube bzw. GeoGebra-Books http://www.geogebratube.org/

Welche Werkzeuge sollen im Unterricht durchgenommen werden? Goldene Regel(n): technische und inhaltliche Lernprozesse verknüpfen (zB wenn neue Werkzeuge aus der Werkzeugleiste eingeführt werden) Nur diese Werkzeuge behandeln/erstellen, die wieder gebraucht werden (vertikal und horizontal) Werkzeuge Basics: Punkt, Strecke, Gerade, Vieleck, … Schieberegler (funktionales Verständnis) (Quelle: Leuders, T., 2003)

Einbinden in eine längere Sequenz Zeit Einbinden in eine längere Sequenz Entdecken Lernen Werkzeug II Fokussierungsgrad Nicht vorstrukturierte Nutzung SchülerIn Werkzeug I Demonstration LehrerIn erweiternd vollständig teilweise unstrukturiert Aktiv

Literatur Ableitinger, Ch./Dorner, Ch./Embacher, F./Ulovec, A., (2014) Mathematik verstehen 5 Technologietraining. öbv&hpt Verlag, Wien. Clement, J., (1985), Misconceptions in graphing. In: the proceedings of the ninth conference of the international group for the psychology of mathematics education, Noordwijkerhout. Elschenbroich, H.-J., (2003), Unterrichtsgestaltung mit Computerunterstützung. In: Mathematik Didaktik, S.212-233, Cornelson Verlag Scriptor GmbH & Co. KG, Berlin. Herget, W.,(2000), Die etwas andere Aufgabe. In: Mathematik lehren, 102, S.58-59. Hirscher, H., (2013), Zum Einfluss der Informatik auf die Mathematikdidaktik – Weiterhin nur Computereinsatz und noch immer keine Medienbildung? In: GDM-Mitteilungen, 95, S.15-23. Hohenwarter, M., (2006), Funktionales Denken mit der dynamischen Mathematiksoftware GeoGebra. In: Proceedings of Eichstätter Kolloquium zur Didaktik der Mathematik, Eichstätt-Ingolstadt. Hohenwarter, M., (2006), GeoGebra – didaktische Materialien und Anwendungen für den Mathematikunterricht. Dissertation, Salzburg. Leuders, T., (2003), Chancen und Risiken des Computereinsatzes im Mathematikunterricht. In: Mathematik Didaktik, S.198-211, Cornelson Verlag Scriptor GmbH & Co. KG, Berlin. Malle, G./Woschitz, H./Koth, M./Salzger, B., (2010), Mathematik verstehen 5, öbv&hpt Verlag, Wien. Roth, J., (2008), Dynamik von DGS – Wozu und wie sollte man sie nutzen? In: Bericht über die 23. Arbeitstagung des Arbeitskreises „Mathmatikunterricht und Informatik“. Roth, J., (2008), Systematische Variation Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. In: Mathematik lehren, 146, S.17-21. Roth, J., (2005), Figuren verändern – Funktionen verstehen. In: Beträge zum Mathematikunterricht, 39 ,S.481-484. Schowalter, A., (2013), Einsatz von Geocaching mit GPS-Geräten in der Einführung der Analytischen Geometrie. In: Mathmatikunterricht, 59, S.51-59. Vogel, M., (2007), Multimediale Unterstützung zum Lesen von Funktionsgraphen – Grundlagen, Anwendungen und empirische Untersuchung eines theoriegeleitenden Ansatzes zur Arbeit mit multiplen Repräsentationen. In: mathematica didactica, 30, S.3-28. Weigand, H.-G., (2009), CAS we can!- But should we? The integration of symbolic calculators into mathematics lessons. In: the proceedings 2009 of ICTMT 9 in Metz.

Internetlinks http://aj-gps.net/distribution, 16.42014 https://www.bifie.at/system/files/dl/srdp_ma_konzept_2013-03-11.pdf, 27.2.2014 http://forums.groundspeak.com/GC/index.php?showtopic=280081, 21.3.2014 http://www.geocache.at/cms/startseite,9.4.2014 https://itunes.apple.com/at/app/gctools-die-geocaching-tool/id438313105?mt=8, 16.4.2014 http://simple.wikipedia.org/wiki/File:Geocache_opened.jpg, 16.4.2014 http://www.xxyyzz.cc/, 18.4.2014