L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Nach einem Vortrag von Lucia Del Chicca und Markus Hohenwarter ÖMG-Tagung 25 April 2014 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Die Problemstellung Es ist allgemein bekannt, dass wenn wir ein bestimmtes Kapital zur Verfu¨gung haben, es besser ist dieses in unterschiedliche Finanzprodukte zu investieren, anstatt nur in ein Einziges (die sogenannte Diversifikation). Bei einer gegebenen Menge von Finanzprodukten, stellen sich einige Fragen wie: In welche davon sollte man investieren? Wie sollte man das Kapital am besten aufteilen? Und vor allem: Gibt es eine Kombination von Finanzprodukten die besser ist als alle anderen?
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz .,. Motivation .., Der Fall von 2 Finanzprodukten l¨asst sich mit den mathematischen Kenntnissen der Oberstufe vollst¨andig l¨osen .., Der allgemeine Fall von n Finanzprodukten kann im Rahmen eines Projektes bzw. einer Projektarbeit behandelt werden (dazu braucht man die Methode des Lagrange-Multiplikators) L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Wir haben zur Verfu¨gung: .,. Kapital = 1 .,. A1, A2, . . . , An Finanzprodukte Frage: In welche dieser Anlagem¨oglichkeiten oder deren Kombinationen sollen wir investieren? Gibt es “bessere” und “schlechtere” Finanzprodukte? L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz ZIEL einer Investition: so viel wie m¨oglich gewinnen mit so wenig wie m¨oglich Risiko. Eine “gute” Investmentstrategie ist eine mit großer erwarteter Rendite und geringem Risiko. L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz 2 “Gr¨oßen” fu¨r die Finanzprodukte: .,. Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn, Trend) µ entspricht dem gesch¨atzten Wert, den das Finanzprodukt zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wird L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz 2 “Gr¨oßen” fu¨r die Finanzprodukte: .,. Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn, Trend) µ entspricht dem gesch¨atzten Wert, den das Finanzprodukt zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wird. .,. Volatilit¨at σ stellt das Risikomaß eines Finanzproduktes dar. L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Jedem Finanzprodukt Ai mit i = 1, . . . n k¨onnen wir ein Paar (σi , µi ) zuordnen und in einem Trend-Volatilit¨ats-Diagramm eintragen L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz 5 Finanzprodukten in Trend-Volatilit¨ats-Diagramm L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz DEFINITION: .,. Risikoloses Finanzprodukt: bei dem wir, unter normalen Voraussetzungen, in jedem Moment den Wert des Produktes fu¨r jeden Zeitpunkt in der Zukunft exakt berechnen k¨onnen .,. Risikobehaftetes Finanzprodukt: bei dem wir gegenw¨artig nicht exakt berechnen k¨onnen, welchen Wert es zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wird L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz In Hinsicht auf den Trend-Volatilit¨ats-Ansatz k¨onnen wir in manchen F¨allen bereits klar sagen, dass eine Investition in eine bestimmte Aktie gegenüber der in eine andere zu bevorzugen ist. Frage: Wie sieht es aber mit Kombinationen von Finanzprodukten aus? L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz DEFINITION: Eine Kombination von verschiedenen Finanzprodukten heißt Portfolio (von Finanzprodukten). Um von Rendite und Volatilit¨at eines Portfolios zu sprechen, brauchen wir eine zus¨atzliche Gr¨oße: Korrelation .,. Korrelation ist ein Maß fu¨r den Zusammenhang zweier Aktien, hat immer einen Wert zwischen −1 und 1 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Notationen: A1, A2, . . . , An µ1, µ2, . . . , µn Aktien zur Verfu¨gung erwartete Renditen von A1, A2, . . . , An in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Volatilit¨aten von A1, A2, . . . , An in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Korrelation von Ai und Aj σ1, σ2, . . . , σn ρij = Korr (Ai , Aj ) L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von A1, . . . , An Y = x1A1 + x2A2 + . . . + xnAn wo xi = Anteil des Kapitals, das in Ai investiert wird (i = 1, . . . , n). Als Nebenbedingung gilt also: x1 + x2 + . . . + xn = 1 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Fu¨r Y ist µY = x1µ1 + x2µ2 + . . . + xnµn und L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Wo befindet sich das allgemeine Portfolio Y mit den Koordinaten (σY , µY )? Betrachten wir als erstes den Fall zweier Aktien: L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Kombinationen aus 2 Aktien Seien: A1, A2 µ1, µ2 Aktien zur Verfu¨gung erwartete Renditen von A1, A2 in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Volatilit¨aten von A1, A2 in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Korrelation von A1 und A2 (wir betrachten den allgemeinen Fall −1 < ρ12 < 1) Kapital zur Verfu¨gung σ1, σ2 ρ12 1 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz 2 Aktien in Trend-Volatilit¨ats-Diagramm L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von A1 und A2 Y = x1A1 + x2A2 = tA1 + (1 − t)A2 wo t = Anteil des Kapitals, das in A1 investiert wird (σY , µY ) = GeoGebraBook Aktienportfolio: http://ggbtu.be/b110094 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Konvexe Kurve aller Portfolios aus A1 und A2 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Opportunity Set und Portfolio mit minimaler Volatilit¨at L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Efficient Border (Effizienzlinie) L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Kombinationen aus 5 Aktien Seien: A1, A2, A3, A4, A5 µ1, µ2, µ3, µ4, µ5 Aktien zur Verfu¨gung erwartete Renditen von Ai , . . . , An in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Volatilit¨aten von Ai , . . . , An in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Korrelation von Ai , Aj mit i , j = 1, . . . , 5 Kapital zur Verfu¨gung σ1, σ2, σ3, σ4, σ5 ρij 1 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz 5 Aktien in Trend-Volatilit¨ats-Diagramm L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von Ai mit i = 1, . . . , 5 Y = x1A1 + x2A2 + x3A3 + x4A4 + x5A5 mit x1, . . . , x5 Anteile von Kapital die in A1, . . . , A5 investiert sind (σY , µY ) = GeoGebraBook Aktienportfolio: http://ggbtu.be/b110094 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Opportunity Set der Kombination von 5 Aktien L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Wo liegen die “besten” Portfolios? L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Effizienzlinie und Portfolio mit minimaler Volatilit¨at der Kombination von 5 Aktien L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz Literatur: Hull, J. (2011). Risikomanagement. Banken, Versicherungen und andere Finanzistitutionen. Pearson. Schnid, F., Trede, M. (2006). Finanzmarktstatistik. Springer. Sharpe, W.F., Alexander, G.J. (1990). Investments. Prentice-Hall International Editions. Sydsaeter, K., Hammond, P. (2004). Mathematik fu¨r Wirtschaftswissenschaftler. Pearson Studium. L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz