Didaktik der Linearen Algebra Übergangsmatrizen Referenten: Leif Stuhrmann René Kühne
Übersicht Problemvorstellung Wiederholung Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien
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Übersicht Problemvorstellung Wiederholung Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien
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Problem Die drei Firmen A, B und C führen einen völlig neuartigen Mikrochip auf dem Markt ein. Zu Beginn besitzt A 40%, B 20% und C 40% Marktanteil. Während des ersten Jahres verliert A 5% seiner Kunden an B und 10% an C, B gibt 15% seiner Kunden an A und 10% an C ab, und C verliert jeweils 5% seiner Kunden an A und B. Während der folgenden Jahre verändern sich die Marktanteile stets nach demselben Schema.
Problem Welche Marktanteile besitzen die drei Firmen am Ende des ersten, zweiten und dritten Jahres? 5 % zu A und 5 % zu B 5 % zu B und 10 % zu C 15 % zu A und 10 % zu C
Matrizenmultiplikation Beachte: Stimmen die inneren Zeilen überein, so ist das Produkt definiert. Die äußeren Zahlen geben die Größe des Produktes an.
Problem Nach einigen Jahren haben sich die Marktanteile eingependelt und verändern sich nicht mehr. Alle drei Unternehmen genießen ihren großen wirtschaftlichen Erfolg. Wie lautet der Name des Marktführers? 1.Jahr 2.Jahr
Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes System: (1) Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ. (1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:
Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes System: (1) Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ. (1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:
Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes System: (1) Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ. (1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:
Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes System: (1) Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ. (1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:
Zahlenbeispiel Bestimmung der Eigenwerte der Matrix A
Problem Nach einigen Jahren haben sich die Marktanteile eingependelt und verändern sich nicht mehr. Alle drei Unternehmen genießen ihren großen wirtschaftlichen Erfolg. Wie lautet der Name des Marktführers? 1.Jahr 2.Jahr
Lösung mit Derive
Anwendung Bei Konzerten sind die Preise in 3 Klassen A, B und C unterteilt. (A ist die teuerste, dann folgt B und C ist schließlich billigste). 70% bleiben am nächsten Wochenende bei ihrer Preisklasse. Von A aus wechseln 30% zu B und 0% zu C. Von B wechseln 20% zu A und 10% zu C. Von C wechseln wiederum 20% zu B und 10% zu A. Die Veranstalter wollen auf lange Sicht gleich viele Karten von jeder Preisklasse verkaufen. Nur die Besucher der Klasse A sollen ihr Übergangsverhalten ändern. Untersuche, wie sich das Übergangsverhalten derjenigen Mitglieder, die Klasse A gewählt haben, ändern müsste, damit auf lange Sicht je 400 Karten der Klassen A, B und C reserviert werden können.
Lösung Übergangsmatrix:
Lösung Übergangsmatrix: Lösung von
Lösung Übergangsmatrix: Lösung von Lösung:
Anwendungsszenarien Verteilungsprobleme Mischungsprobleme Stochastische Probleme (Korrektheit von Wettervorhersagen)
Anwendungsszenarien Verteilungsprobleme Mischungsprobleme Stochastische Probleme (Korrektheit von Wettervorhersagen)
Anwendungsszenarien Verteilungsprobleme Mischungsprobleme Stochastische Probleme (Korrektheit von Wettervorhersagen)
Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!