k-Sigma-Intervalle 08.02.2012 Vortrag zu dem Thema Fachmathematischer Hintergrund Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen Eigene Lerneinheit k-Sigma-Intervalle Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II Seminar Ausgewählte Kapitel der Didaktik der Mathematik Institut für Mathematik Dozentin: Dr. rer. nat. Elke Warmuth Referenten: Martin Breslein, Alexander Friedrich

Bernoulli-Versuch Nur 2 mögliche Ausgänge (Erfolg und Misserfolg) bei n-facher Ausführung von voneinander unabhängigen Bernoulliversuchen gilt wobei p Erfolgswahrscheinlichkeit und X Anzahl der Erfolge Fachmathematischer Hintergrund Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen Eigene Lerneinheit

Binomialverteilung Wie ist X verteilt? X, als die Anzahl der Erfolge, ist binomialverteilt Fachmathematischer Hintergrund Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen Eigene Lerneinheit Erwartungswert E(X) = np Varianz V(X) = np(1-p) Standardabweichung

k-Sigma-Intervalle Warum ist das so? Fachmathematischer Hintergrund Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen Eigene Lerneinheit Warum ist das so?

k-Sigma-Intervalle Fachmathematischer Hintergrund Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen Eigene Lerneinheit

1. These Die Behandlung der Normalverteilung ist für die Schule zu komplex, daher sollte auch die k-Sigma-Regel nicht behandelt werden.

Forderungen des Rahmenlehrplans 4. KH Leistungskurs Stochastik: - Normalverteilung als Grenzfall einer Binomialverteilung Fachmathematischer Hintergrund Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen Eigene Lerneinheit

Umsetzung in Lehrbüchern Fachmathematischer Hintergrund Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen Eigene Lerneinheit Bildquelle: Baum (2007), S.30.

2. These: Die k-Sigma-Regeln nur zu nennen und danach anzuwenden, ist für den Schulunterricht ausreichend.

Umsetzung in anderen Lehrbüchern: Bsp.: Schroedel (1986 und 2007) - Normalverteilung vorerst nicht erwähnt Nur Beobachtung der Histogramme von Binomialverteilungen mit zunehmendem Stichprobenumfang Histogramme immer symmetrischer Ermittlung der Werte für k- -Umgebungen an verschiedenen Stichproben Begleitender Satz: „Dies gilt insbesondere, wenn (Laplace-Bedingung).“ Fachmathematischer Hintergrund Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen Eigene Lerneinheit

Aufgabe: Fachmathematischer Hintergrund Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen Eigene Lerneinheit Angenommen Emnid hat 2000 Berliner Wahlberechtigte gefragt, was sie wählen werden. In welchem Sigma-Intervall um den Erwartungswert liegt dann die Vorhersage von Emnid bezüglich des Stimmenanteils der Piratenpartei, wenn deren Anteil 8,9% beträgt? b) Schätze ab, welchen Stichprobenumfang Emnid gewählt haben müsste, damit die Vorhersage bezüglich des Stimmenanteils der Piratenpartei (mit einem tatsächlichen Anteil von 8,9%) im 3s-Intervall liegt! Ist die Laplace-Bedingung (s >3) erfüllt? c) Welche Gründe (abgesehen vom gewählten Stichprobenumfang) könnte es für die Qualität der Vorhersage von Emnid geben? d) Du sollst bei der nächsten Bundestagswahl eine Prognose erstellen. Wie groß wählst du deinen Stichprobenumfang? Begründe! Zahlenquelle: Die Landeswahlleiterin für Berlin unter http://www.wahlen-berlin.de/wahlen/BE2011/ergebnis/karten/zweitstimmen/ErgebnisUeberblick.asp?sel1=1052&sel2=0651

Die Laplace-Bedingung ist eine Faustregel! Sie sollte nicht als Gütekriterium herangezogen werden und beispielsweise auch nicht dafür verwendet werden, einen geeigneten Stichprobenumfang herauszufinden.

3. These: Für Meinungsumfragen ist ein möglichst großer Stichprobenumfang ( ≥ 2000) das entscheidende Gütekriterium.

Literatur Baum, M. (2007). LS Stochastik. Stuttgart: Klett. Bosch, K. (2007). Basiswissen Statistik. München: Oldenbourg. Griesel, H. u.a. (2007). Elemente der Mathematik - Stochastik. Braunschweig: Schroedel. Kütting, H. & Sauer, M.J. (2008). Elementare Stochastik. Berlin: Springer. Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin (2006). Rahmenlehrplan für die gymnasiale Oberstufe - Mathematik. Berlin: Oktoberdruck AG. Strick, H. K. (1986). Einführung in die Beurteilende Statistik. Hannover: Schroedel Warmuth, E. & Warmuth, W. (1998). Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Leipzig: Teubner.