Definition vs. Satz, Satzverständnis -Aspekte bei der Behandlung mathematischer Sätze- SE Ausgewählte Kapitel der Didaktik- Logische Grundlagen der Mathematik Dozent: T. Krausche Referentin: Stefanie Ahlers

Gliederung: Unterscheidung zwischen Definitionen und Sätzen Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen Zur Rezeption mathematischer Beweise Rahmenplan

Leitmotive „Was muss bewiesen werden?“ + „Warum muss ich das beweisen?“

Welche der folgenden mathematischen Behauptungen muss man begründen und welche nicht? In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel gleich 180°. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, in dem gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind. Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind stets gleich groß. (2a+3b-4c)*5y 5x-16=19 (a+b)²=a²+2ab+b² a²=a*a Wenn die Quersumme einer natürlichen Zahl durch 3 teilbar ist, so ist die Zahl selbst durch 3 teilbar.

1. Unterscheidung von Definitionen und Sätzen Satz: sprachliches Gebilde, das seinem Charakter nach einen Beweis erfordert

Welche der folgenden mathematischen Behauptungen muss man begründen und welche nicht? Lösung In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel gleich 180°. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, in dem gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind. Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind stets gleich groß. (2a+3b-4c)*5y 5x-16=19 (a+b)²=a²+2ab+b² a²=a*a Wenn die Quersumme einer natürlichen Zahl durch 3 teilbar ist, so ist die Zahl selbst durch 3 teilbar.

1. Unterscheidung von Definitionen und Sätzen Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 % der richtigen Antwort 57 70 47 56 24 39 77 48

1. Unterscheidung von Definitionen und Sätzen Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 % der richtigen Antwort 57 70 47 56 24 39 77 48 % der richtigen Antwort (Zirkel) 87 93 67 73 60

1. Unterscheidung von Definitionen und Sätzen Fazit von Walsch: 1. Thema „Definitionen und Sätze“ muss im Unterricht gründlich besprochen werden 2. „1.“ Festigen und vertiefen mithilfe Lehrplan (Definitionen als solche bewusst machen und Beweisnotwendigkeit von Sätzen herausarbeiten) 3. Tests

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2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen Untersuchungsziel: Wie verstehen Schüler der Mittelschule (ab 9.Klasse), Lehrerstudenten und Mathematiklehrer im Zusammenhang mit dem Beweis folgende Begriffe: den hypothetischen Charakter einer mathematischen Aussage den Sinn des Beweises als Wahrheitskriterium für mathematische Aussagen

2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen Aussage: Wenn ein Außenwinkel eines Dreiecks einem ihm nicht anliegenden Innenwinkel gleich ist, dann ist die Summe der Innenwinkel des Dreiecks größer als 180°. Voraussetzung: ABC ist ein Dreieck mit den Innenwinkeln α, β, γ δ ist der Außenwinkel der dem Innenwinkel α anliegt δ = β Behauptung: α+β+γ>180° Beweis: α + δ =180° (Vor. 2, Nebenwinkel) α+β=180° (Vor.3,4) α+β+γ>180° (Vor.1, 5)

2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen Fragen an die Schüler: Ist die Aussage wahr in unserer Geometrie? Ist der Beweis korrekt? Ergebnisse: Ja Nein ? Frage 1 (Aussage) 21 142 1 Frage 2 (Beweis) 83 60

2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen Einige Schüler- Aussagen: Frage 1: „Ja“ (falsche Kenntnisse) Die Aussage ist wahr, weil in jedem stumpfwinkligen Dreieck δ = β ist, weil δ und β Außenwinkel sind, die derselben Seite AB anliegen. Die Aussage ist wahr, weil in jedem stumpfwinkligen Dreieck die Summe der Innenwinkel stets größer als 180° ist. Frage 1: „Nein“ Die Aussage ist falsch, weil wir stets gelernt haben, dass die Innenwinkelsumme immer 180° beträgt. Der bewiesene Satz ist falsch, weil die Voraussetzung falsch angegeben wurde. Es stimmt nicht, dass δ = β. Deshalb ist auch der Beweis unkorrekt, weil man von einer falschen Voraussetzung ausgegangen ist.

2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen Fazit der empirischen Untersuchungen: Falsches Verständnis der Begriffe „Beweis“, „Satz“, „Voraussetzung“, „Behauptung“, „Folgerung“ sowie Missverständnis des hypothetischen Charakter einer mathematischen Aussage (für Schüler gilt: Aussage= Behauptung) Beweis ist kein Wahrheitskriterium für SchülerInnen: S oft der Meinung, dass Satz falsch (wahr) ist, obwohl Beweis als korrekt (unkorrekt) anerkennt wurde Unterschiedliches Verständnis des Wahrheitsbegriffes einer Aussage Beispiel: Aussage ist wahr (falsch), wenn Behauptung wahr (falsch). Wenn Schüler von Wahrheit der Aussage (Behauptung) intuitiv überzeugt sind (nicht logisch), halten sie Beweis für überflüssig!

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3. Zur Rezeption mathematischer Beweise Schwierigkeiten: Sprache der Mathematik beim eigentlichen Lesen des Textes Zeichenstruktur Ausdruck und Syntax Bedeutungskonzentration bei dessen Interpretation und den Verstehensbemühungen des Lesers Überbetonung bestimmter Lernmethode in Lerngeschichte

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4. Rahmenplan Klasse 5/6: Stufenwinkelsatz, Nebenwinkelsatz, Innenwinkelsatz für Dreiecke und Vierecke Kongruenzsätze für Dreiecke Klasse 7/8: Sätze über Scheitel-, Neben- und Stufenwinkel Satz des Thales Satz über die Winkelsumme im Dreieck Wahl 7/8: Umfangswinkelsatz und den Mittelpunktswinkelsatz Satz über die Außenwinkel im Dreieck Satz über den Inkreis- und den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks, Satz über die Winkelsumme im n-Eck.

4. Rahmenplan Klasse 9/10: Satz des Pythagoras Strahlensätze Satz von Vieta Sinussatz, Kosinussatz Satz von Cavalieri Wahl 9/10: Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck Kathetensatz, Höhensatz Wahlpflicht: Kreisgeometrie: Sätze vom Umfangswinkel, vom Mittelpunktswinkel und vom Sehnentangentenwinkel

4. Rahmenplan Sekundarstufe 2: Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung Satz von BAYES

Diskussion Wie kann man bei SchülerInnen Einsicht in die Notwendigkeit des Beweisens erzielen?

Literatur: Dörfler, W.; Fischer, R. (1978): Beweisen im Mathematikunterricht, Klagenfurt Wittmann, E.Ch.(1981): Grundlagen des Mathematikunterrichts, Braunschweig Tietze, U.-P.;Klika, M.; Wolpers, H. (Hrsg.) (2000): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Braunschweig/ Wiesbaden Walsch, W.(1975): Zum Beweisen im Mathematikunterricht, Berlin Rahmenlehrpläne der Grundschule, Sekundarstufe I und II