VII. Differentialrechnung

23. Der Differentialquotient

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

Gottfried Wilhelm Leibniz Differentialoperator Isaac Newton (1643 – 1727) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

23.1 Ableitungen einfacher Funktionen lineare Funktion f(x) = mx + c mit  = : insbesondere gilt für f(x) = c, d.h. m = 0: f´(x) = 0 Zeige (f + g)´ = f´ + g´ (fm)´ = f´m quadratische Funktion f(x) = x2 mit  = :

f(x) = x = x1/2 mit x  0: f(x) = x-1 mit x  0:

f(x) = xr mit r  , r  0: quadratische Funktion f(x) = x2 mit  = :

f(x) = xr mit r  , r  0: f(x) = x0 f(x)  0x-1 da 0/0 für x = 0 undefiniert wäre. Insbesondere für n  : Polynome: jeder Summand wird einzeln abgeleitet.

Satz: Ist f an der Stelle x differenzierbar, so ist f dort stetig.  Ist f an der Stelle x nicht stetig, so ist f dort nicht diffbar. Stetigkeit ist eine notwendige aber nicht hinreichende Voraussetzung für Differenzierbarkeit. Bsp. f(x) = |x| in x = 0. Satz (Kettenregel): Seien g(y) und f(x) auf  diffbare Funktionen mit y = f(x), dann gilt: Beweis: g(f(x + Dx)) = g(y + Dy) Dy = Df = f(x + Dx) - f(x) g(y) = y2 y = f(x) = 3x + 2 g(f(x)) = (3x + 2)2 (wie in der Bruchrechnung) Man berechne mit Hilfe der Kettenregel:

Satz: Sei f(x) = y auf  streng monoton und diffbar Satz: Sei f(x) = y auf  streng monoton und diffbar. Dann existiert die Umkehrfunktion g(y) = f -1(y) = x und es gilt: Beweis: Der Satz folgt mit = = 1 aus der Kettenregel. Merkregel: (wie in der Bruchrechnung) y = f(x) = 3x + 2 g(y) = f -1(y) = x = (y - 2)/3 g(f(x)) = ((3x + 2) - 2)/3 = x

Satz (Produktregel): Seien f(x) und g(x) auf  diffbar, dann gilt [f(x).g(x)]´ = f´(x).g(x) + f(x).g´(x) Merkregel: (f.g)´ = f´g + fg´

Man zeige mit der Produktregel: (mf)´ = mf´ für m = const. Man zeige mit der Produktregel: dx3/dx = 3x2 (x3)´ = (x2.x)´ = 2x.x + x2.1 = 3x2

Mittelwertsatz: Sei f:[a, b]   auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar und auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig. Dann gibt es ein x0  (a, b) mit = f´(x0) Verallgemeinerung: Seien f und g auf [a, b] differenzierbar und sei g´ ≠ 0 für x  :[a, b]. Dann gibt es ein x0  (a, b) mit =

Satz (l´Hospitalsche Regel): Seien f(x) und g(x) auf dem abge-schlossenen Intervall [a, b] differenzierbar, sei g´ ≠ 0 für x  [a, b]. Ist und existiert dann ist f(x) = x g(x) = x2 + x/5 Guillaume Marquis de L'Hôpital (1661 – 1704)

2x7 + 5x4 + 3x + 6 + 3x-2 + 5x-5 x7/6 + 2 x-3/4 + 3x0 3x-4/3 + 5x-p